線框在變化磁場中的電磁感應綜合問題研究

電磁感應綜合問題是高考物理壓軸題的常見題型，對學生的綜合分析能力和物理核心素養要求較高，本文以變化磁場中的線框模型為例，重點突破電磁感應中的力學及能量問題，歸納總結其解題思路.線框運動產生動生電動勢，線框靜止產生感生電動勢.通過例題分析歸納總結其解題思路，提升學生解決問題的能力.

1線框在變化磁場中的運動模型

當線框進入變化磁場中，其運動情況較為復雜，當線框只有一邊進入磁場時，此時只有一邊切割磁感線.當整個線框進入磁場時，會有兩邊切割磁感線，但由于兩邊所在處的磁感應強度大小不同，產生的電動勢也不同，從而產生感應電流，而感應電流又會受到安培力的作用，阻礙線框的相對運動，

例1如圖1所示，邊長為 、質量為 m= 1kg 、電阻 R=1Ω 的勻質正方形剛性導體線框ABCD和直角坐標系 xOy 均處于豎直平面內.在第一象限的空間內存在垂直于紙面向里的磁場，磁感應強度在 x 方向均勻分布， y 方向上滿足 B=2+ ky （各量均采用國際單位）.初始時，線框的 A 與坐標原點 O 重合， AB 邊與 x 軸重合.現給線框一個沿x 軸正方向的速度 v₀=1m/s ，并且給線框一個豎直向上的恒力 ，當線框 A 點下降的高度為h=1.25m 時，線框恰好達到最大速度，且此時線框中的電流 I=2.5A .若整個運動過程中，線框始終處于同一豎直平面內， AB 邊始終保持水平，不計空氣阻力，重力加速度為 g=10m/s² .求：

（1）k 的數值；（2）線框從開始到最大速度運動的時間 Ψ_t ·

解析（1）線框運動過程中，設線框上邊和下邊處的磁感應強度為 B₁ 和 B₂，x 方向磁感應強度大小不變，所以左右兩邊電動勢相互抵消，上下兩邊產生的電動勢之差為線框的電動勢，設任意時刻感應電流為 I ，線框受力分析如圖2所示，當速度到達最大時，線框處于平衡狀態，列平衡方程為： mg-F= B_：IL-B_：IL ，其中 B₂-B₁=kL ，解得 k=2T/m

（2）由閉合電路的歐姆定律有 E 21 = B₂Lv_s1-B₁L_y2 ，

又因為任意時刻的感應電流為 BLu，-BLUy，且線框最大速度時電流為Ⅰ=2.5A，化簡得最大速度： v_ym=1.25m/s ，

對線框用動量定理： （mg+B₁IL-F-B₂IL）t= mv_y-0 ，

化簡安培力的沖量： I_A=（B₂-B₁）ILt=

最大速度時對速度微分求和：

1.25m ，解得 I_A=5N?s .

當到達最大速度 v_ym 時運動的時間化簡得： t= （204號

點評該題巧妙地將動量定理引入電磁感應問題，通過微分求和與動力學方程的聯立，解決了傳統教學中時間累積效應難以處理的問題.在電磁感應線框運動問題中，關鍵在于分析線框的受力特點和運動特點，建立準確的動力學方程和動量定理方程，再運用微觀求和思想，便可以求解線框運動的位移、時間等物理量.

2線框進入磁場后靜止狀態下磁場變化模型

在線框進人磁場的過程中，會產生動生電動勢，此時主要運用動力學和能量、動量思想來解決相關問題.而當線框進人磁場后處于靜止狀態時，若磁場發生變化，則會產生感生電動勢，此時主要依據磁通量的變化率來求出電動勢，進而解決相關問題.

例2光滑絕緣的水平面上有垂直平面的磁場，磁場被分成區域I和Ⅱ，寬度均為 L ，其俯視圖如圖3所示，兩磁場磁感應強度隨時間 Ψ_t 的變化如圖4所示， 0～T 時間內，兩區域磁場恒定，方向相反，磁感應強度大小分別為 2B₀ 和 B₀ ，一電阻為 R ，邊長為 L 的剛性正方形金屬框abcd，平放在水平面上， ^ab?cd 邊與磁場邊界平行. t=0 時，線框 ab 邊剛好跨過區域I的左邊界以速度 v₀ 向右運動.在T時ab 度近似為零，此時線框被固定，如圖3中的虛線框所示.隨后在 T～2T 時間內，I區磁感應強度線性減小到O，Ⅱ區磁場保持不變； 2T～3T 時間內， I 區磁感應強度也線性減小到0.求：

（1）t=0 時線框所受的安培力 F ：（2）t=1.2T 時穿過線框的磁通量 Φ ·（3）2T～3T 時間內，線框中產生的熱量 Q

圖3

圖4

解析 （1）t=0 時， ab 和 cd 邊產生的電流均沿順時針，感應電流為

線框受的安培力為 ^ab?cd 之和： F_☉=2BIL+ 9BL2U。，方向向左.

（2）t=1.2T 時，磁場區域I、Ⅱ的磁感應強度大小分別為 1.6B₀…B₀ ，線框在I區和 I 的面積均為 ，磁通量為：

（3）2T～3T 時間內，只有磁場區域 I 中磁感應強 度大小發生變化，線框產生感應電動勢

線框產生的熱量為：

點評分析線框在磁場中運動過程時，線框左右兩邊切割磁感線產生電動勢，由于磁場方向相反，產生的感應電流相加，且兩邊都產生安培力，方向向左.通過計算兩邊安培力之和，可求出安培力.當線框靜止于變化的磁場中，會產生感生電動勢，此時的難點在于求出切割磁感性的線框的有效面積，以及判斷磁通量的變化率是否為定值.

3結語

通過對以上兩個例題的深入分析，本文系統地構建了電磁感應綜合問題的分析思路.將動力學和動量定理方程有機整合，突破了傳統教學中單一公式套用的局限性，為解決復雜電磁感應問題提供了清晰的邏輯框架.在建立物理模型時，微分求和與動量定理的結合，以及在變化磁場中的遷移應用，有效強化了學生的科學推理能力與多學科知識融合意識，有助于學生在電磁感應問題的學習中取得更好的效果.

參考文獻：

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