例析帶電粒子在不同邊界磁場中的運動問題

1直線邊界的磁場

粒子運動軌跡與直線邊界形成特定幾何關系，進出磁場具有對稱性.因邊界為直線，粒子運動軌跡圓弧與直線邊界相交形成的弦、圓心與邊界的距離等幾何元素，在問題中起著關鍵作用.而且粒子在磁場中的運動時間與軌跡圓弧所對圓心角直接相關.

例1如圖1所示，水平面內直線MN上方存在方向垂直紙面向里的勻強磁場.現有電子1和2從直線 MN 上的 a 點以垂直于磁場的方向射入磁場，兩者速率相同.其中電子1入射速度方向垂直于直線 MN ，且經過 t₁ 時間從 b 點離開磁場.而電子2入射方向如圖所示，經過 t₂ 時間從 ab 的中點 c 離開磁場，則 為

圖1

解兩電子在磁場中均做勻速圓周運動，根據

題意畫出電子運動的軌跡，如圖2所示，由半徑 R=

可知，電子1和2做圓周運動的半徑相等.電子1

轉過的圓心角為 180^°，ΔaOc 為等邊三角形，則電子

2 轉過的圓心角為60°.所以電子1運動的時間t1=

，電子2運動的時間t= ，所以 （204號

圖2

評析根據粒子入射速度方向確定軌跡圓弧的圓心位置，常通過作入射速度的垂線來尋找圓心.利用幾何知識求解軌跡圓半徑與已知線段（如入射點到邊界上某點的距離）的關系.借助粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期公式，結合圓心角計算運動時間.確定出射點位置時，利用幾何圖形的對稱性質，以及已求出的軌跡半徑進行求解.

2 圓形邊界的磁場

粒子在圓形磁場區域內運動，明晰粒子運動軌跡圓與磁場邊界圓的相互關系，是解決這類問題的核心，如兩圓的交點、圓心距等幾何要素，直接影響物理量的計算.粒子的運動半徑由洛倫茲力提供向心力決定，而磁場半徑的最值問題與粒子軌跡和磁場邊界的相切、相交等臨界狀態緊密相關.

例2如圖3所示，在紙面內半徑為 R 的圓形區域中有垂直于紙面向外的勻強磁場.現有一帶電粒子從圖中A點以水平速度 v₀ 垂直于磁場射入，速度的方向與過圓心及 A 點的直線成 60^° 角，當該帶電粒子離開磁場時，速度方向改變了 120^° .則下列說法中正確的是

（A）該帶電粒子帶正電.(B)該帶電粒子帶負電.(C)該帶電粒子在磁場中運動的半徑為 (D)該帶電粒子在磁場中運動的時間為 t=

圖3

圖4

解根據粒子的偏轉方向以及左手定則可知，該粒子帶正電荷，（A）正確，（B)錯誤；如圖4所示，粒子做圓周運動半徑為 ，(C）正確；粒子在磁場中運動周期為 粒子在磁場中運動時間為 ，(D)正確.所以選項(A)(C)(D）正確.

評析根據洛倫茲力提供向心力公式得出粒子運動半徑.利用運動軌跡圓與磁場邊界圓的幾何特點，例如公用弦的中垂線過兩圓圓心、軌跡關于中垂線對稱等，確定圓心位置和半徑與已知量的關系.求磁場半徑最值時，分析粒子運動軌跡與磁場邊界的臨界情況，例如當軌跡圓與磁場邊界圓相切時，通過幾何關系建立等式求解磁場半徑最值，

3 三角形邊界的磁場

粒子在三角形磁場區域內運動，粒子運動軌跡與三角形邊界的幾何關系復雜多變，需借助三角形的邊角關系、相似三角形性質以及圓與三角形的相切、相交等條件來分析.運動時間最長和速度最大的情況，往往與粒子軌跡和三角形邊界的特殊位置關系相關

例3如圖5所示，直角三角形abc區域(含邊界）內有磁感應強度大小為 B ，方向垂直于紙面向外的勻強磁場， ∠c=30^°，bc=L .在 a 點將質量為3m ，電荷量為 q 的大量帶正電粒子射入磁場，忽略粒子之間的相互作用，且粒子的速度大小和方向都不確定，對于在磁場中運動時間最長的粒子，下列說法正確的是

（A）粒子運動時間為 (B)入射點與出射點的距離為 （C）粒子運動速度的最大值為 （204號（D）與ac邊的最大距離為

圖5

圖6

解如圖6所示，為粒子在磁場中運動時間最長的情況.此時轉過的圓心角最大，粒子在磁場中的運動時間最長.因為 ∠c=30^°，∠b=90^°，bc=L ，所以 .因為 ∠baO=90^°，∠b=90^°，∠bdO= 90^° ，所以 ∠aOd=90^° ，因為 aO=dO ，所以四邊形abdO是正方形，所以粒子做圓周運動的半徑 r= 粒子做軸圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得 則 3qBL.從ac邊射出的粒子運動時間為 （20 ，速度最大的粒子入射點與出射點距離為 ，與 ac 邊的最大距離為 故選項(D)正確.

評析運用幾何知識，根據三角形的邊角關系確定粒子運動軌跡圓的半徑與三角形邊長的聯系.例如，當粒子軌跡與三角形某邊相切時，可利用切線的性質和三角形內角關系求解半徑.求速度最大值時，分析軌跡與三角形邊界相切的臨界狀態，可以確定半徑后計算速度.計算與某條邊的最大距離時，可以結合幾何圖形，利用半徑和三角函數關系求解.

4結語

通過對上述例題的分析可知，不同邊界類型的帶電粒子在磁場中的運動問題各具特點，解題方法也各有側重.直線邊界注重對稱關系和幾何圖形構建；圓形邊界關鍵在于把握兩圓幾何聯系以及圓心角與物理量的關聯；三角形邊界則依賴于邊角關系和軌跡臨界分析.在學習和解題過程中，要善于總結歸納，依據不同邊界特征選擇合適的解題策略，