深度學習：走向核心素養

1引言

核心素養的培育是教育的核心使命，而這一目標最終必須借助具體的教學活動來落地生根.大量研究表明，學生核心素養得以有效形成的路徑，在于引導他們運用這些素養去解決實際問題.也就是說，只有讓學生置身于運用素養解決問題的真實情境中，核心素養才能真正在學生心中扎根、成長.基于此，本文將目光聚焦于一道解析幾何聯考試題，并以此為依托，匠心獨運地構建一節深度學習的講評課.在這堂課中，教師巧妙適時地質疑，同時鼓勵引導學生大膽質疑，激發學生的好奇心與求知欲.學生在這樣的氛圍下，親身經歷探索未知領域、攻克疑難問題的全過程.在教師與學生、學生與學生的深度互動交流中，大家攜手探索、共同完善知識體系與解題思路，最終達成培養學生數學綜合能力、全方位發展學生核心素養的目標，為學生的未來發展筑牢根基.

2聯考試題

題目 （2024年鹽城市三模）設橢圓c：+=1（agt;bgt;0） ）的左右焦點分別為 F₁，F₂ ，離心率是 e ，動點 P（x₀，y₀） 在橢圓 c 上運動.當 PF₂⊥x 軸時， Φ_，x0=1Φ，y₀=e

（1）求橢圓 c 的方程；

（2）如圖1，延長 PF₁，PF₂ 分別交橢圓 c 于點A，B（A，B 不重合），設 ，試

求 λ+μ 的最小值.

第（1）問只要根據條件列式求解，難度不大，橢圓C 的方程為 μ=μ₁ 第（2）問有一定難度，本文主要針對第（2）問的求解設計深度學習的講評課

圖1

3課前思考

在對學生的答題情況進行深人分析后，結合對部分學生的調研以及自身的教學思考，筆者認為以下三個關鍵因素導致了學生在本題中的低正確率

其一，方法選擇的困境.面對題目，學生難以精準抉擇解題路徑，在設點結合向量關系代入橢圓方程進行研究，還是設直線方程與橢圓方程聯立方程組并結合向量關系展開探究這兩種方法之間搖擺不定.他們對方法的合理性缺乏清晰判斷，進而引發思路的混亂，致使無法順利完成解答.

其二，字母運算能力欠缺.本小題主要涉及字母運算，部分學生雖能梳理出解題思路，但在分析字母關系時存在明顯不足，對“算理”理解模糊，無法合理地進行消元操作，從而導致運算過程雜亂無章，難以推進

其三，運算能力薄弱.由于題目中字母運算占比較大，盡管部分學生掌握了正確方法，但因自身運算能力的局限，在運算過程中或是無法持續進行，或是頻繁出現錯誤，最終導致解題失敗.

實際上，這三點問題在解析幾何的學習中具有普遍性，是學生群體中常見的“癥結”.而本題尤為突出地反映了這些問題.因此，構建深度學習課堂具有重要的現實意義.通過對這道題目的精心教學，可以有效提高學生對解析幾何試題的認知水平，增強他們在解題時選擇恰當思路方法的能力，提升對字母關系的分析能力.同時，課堂中需預留充足時間讓學生進行運算實踐，教師在此過程中加強運算指導，切實達成逐步提升學生運算能力的教學目標.

4教學過程

4.1 以退為進

你能找出一道與考題有關的題目嗎？這里有一道題目和考題有關而且你以前做過，你能利用它嗎？請大家先看下面的輔助題目，并思考第（2）問的解題思路.

問題1 設橢圓 的左右焦點分別為 F₁，F₂ ，離心率是 e ，動點 P（x₀，y₀） 在橢圓 c 上運動.當 PF₂⊥x 軸時， .x₀=1，y₀=e

（1）求橢圓 c 的方程；

（2）如圖2，若 求直線 AP 的方程.

圖2

對于問題1，不難分析出兩種解題思路.一是側重于點的坐標運算，設 A（x₁，y₁） ，利用向量關系，可得 ^A，P

兩點的坐標關系，再將兩點坐標代人橢圓方程，即可解出兩點坐標，得出直線 AP 的方程；二是側重于直線與橢圓方程的聯立運算，由韋達定理得到 ^A，P 兩點的坐標關系，最后結合坐標關系解得直線 AP 的斜率.對于思路2，還要引導學生思考，設直線 AP 的方程，到底設直線的哪種形式合理？設 y=k（x+1） ，還是設 x=my-1？ 由此強化學生的“算理”分析，以使學生的解題運算更合理

4.2 加強理解

問題2 若將問題1中的第（2）問的條件“ 改為“ ’，不考慮求直線 AP 的方程，只運用問題1的兩個思路，我們能得到什么？

問題2不強調學生求直線 AP 的方程，它側重要求學生理解 ^A，P 兩點與系數 λ 的關系，同時，將數值 改為字母 λ ，運算要求有所提高.因此，問題2不能僅僅要學生理性分析，要讓學生實踐，加強運算能力，要讓他們從運算中得到問題2的結論，從而促進條件“ 的理解.

對于思路1，大多數學生能夠得到下列過程：

設 A（x₁，y₁） ，由 ，得 x₁=-λx₀-λ -1，y₁=-λy₀ ，代入橢圓方程得 （λx₀+λ+1）²+ 2（λy₀）²=2 ，又 x₀²+2y₀²=2 ，得 （λ+1）（3λ-1）+

2λ（λ+1）x₀=0 ，又 λgt;0 ，所以

對于思路2，在問題1的思考下，學生都會設直線 AP 的方程為 x=my-1 ，代人橢圓方程 1，整理得 （m²+ 2）y²- 2my- 1= 0 ，故 y₀+y₁= （204號 由 y₁=-λy₀ ，解得 y₀=

由于增加了字母 m 的運算，不少學生只能運算到此.教師需啟發，思路2這種方法能不能得到“用λ 表示 P 點坐標”的結論呢？讓學生繼續運算思考，他們能由xo=myo-1得m= ，從而 y₀= ，化簡可得x。=2

教師追問：根據已有經驗，直線與橢圓在有一個交點情況下可求出另外一個交點，那么能否根據關系 求出 P 點的橫坐標呢？設

P（x₀，y₀） 則 ，直線 AP 的方程為 y=

x+（x+1），代人橢圓方程 ，整理得（2x₀+3）x²+2（2-x₀²）x-3x₀²-4x₀=0 由根與系數的關系，得 ，故 x₁= 代人 x₁=-λx₀-λ-1 ，同樣可求，

3.3 逐步深入

問題3 在條件改為“ 后，能求OP·OA的最大值的嗎？

問題3的合理性較強，字母 λ 隨直線 AP 繞點 F₁ 旋轉而變化， 為 λ 的函數，可能存在最大值.根據問題2的分析，學生已知道“運用思路1，能快速得出： P 點坐標可用 λ 表示”.于是，學生可得到解答：設 A（x₁，y₁） ，則 （上文已有過程），所以 ，又易知 λgt;0 ，所以 （當且僅當 λ 即 λ=1 取等），所以 的最大值為

問題4在問題2中，運用思路2，也能得到“用λ 表示 P 點坐標”，但這樣求解問題3，是不是太繁了？請同學們重新思考\" 的表達式，怎樣運用思路2合理解答？

在問題4的引導下，學生都能立即明了，不需要“用 λ 表示 P 點坐標”，直線 AP 的方程與橢圓的方程聯立，就能得到 x₁x₀+y₁y₀ .于是，他們能得到解答：

（1）若 k_AP=0 ，則

（2）設直線 AP 的方程為 x=my-1 ，代入橢圓方程 ，整理得 （m²+2）y²-2my-1=0 ， （2號 所以 x₀x₁= 所以 當且僅當 取等）.

4.4 自然過渡

問題5通過以上4個問題的分析，我們再來反思這次的考題，應該怎樣解決？為什么？

以上問題的鋪墊，學生不難分析出用思路1合理.對于直線 AP ，可用點 A 或 P 的坐標表示 λ ；對于直線 BP ，可用點 B 或 P 的坐標表示 μ ，而 P 是公共點，因此可用 P 點的坐標表示 λ 與 μ 求解.而用思路2，又要引人直線 AP 與 BP 的斜率（或斜率倒數），難以發揮公共點 P 的銜接作用，當然也可以轉化到用P 點的坐標表示 λ 與 μ ，但繞了“彎子”.

上文已得到 即 同理 ，所以 0時取等號）．也有學生利用 得出 （20 =6 ，即有 時取得等號）.

5 教學反思

“深度學習”本質是“真”教學，其內在要求學生積極主動參與學習.深度學習的顯著特征是學生與學習任務、教師、同學間的深度互動.要實現深度學習，教師需做到以下幾點：

一是設計具有挑戰性的學習任務，促使學生與任務深度互動.優質任務能將學生引人情境，激發學習動機，使其主動思考、交流并解決問題.學生在完成任務、經歷問題分析到成果交流的過程中，與任務深度互動，鍛煉意志，實現核心素養的發展

二是有效指導學生完成任務，增進與學生的深度互動.教師要給予學生足夠空間，又把控學習方向.在學生學習各環節，適時質疑引導多角度思考，巧妙引入問題幫助困難學生，指導學生厘清思路、提煉方法，推動思維進階，培養批判性思維與創新能力

三是組織學生討論交流，加強學生間的深度互動.深度學習是眾人共同參與的過程，學生身份與認知相似，易產生共鳴或引發爭論.從分歧到共識的過程，鍛煉學生傾聽、開放思考與合作能力.教師還應引導學生串聯各項學習活動，形成系統認知.