三角函數(shù)解析式中參數(shù)“ω\"的求解

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，在數(shù)學(xué)體系與實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛.形如 y=Asin（ωx+φ） 的三角函數(shù)解析式中，參數(shù)“ ω ”不僅決定函數(shù)周期，還對(duì)函數(shù)圖象的伸縮變換、單調(diào)性及對(duì)稱性等性質(zhì)有深刻影響.深入理解三角函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用是準(zhǔn)確求解“ ω ”的關(guān)鍵.然而，在實(shí)際教學(xué)與學(xué)習(xí)中，學(xué)生常因?qū)Α?ω ”理解不深，面對(duì)復(fù)雜問題無從下手.因此，深入探討“ ω ”的求解方法，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解題能力意義重大.

1根據(jù)三角函數(shù)的周期性求 ω

函數(shù) y=Asin（ωx+φ） 的最小正周期為 解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期 與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系.

例1為了使函數(shù) y=sinωx（ωgt;0） 在區(qū)間[0，1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則 ω 的最小值為（ ）.

解：因?yàn)楹瘮?shù)至少出現(xiàn)50次最大值，即[0，1]上至少需要49 個(gè)周期，所以 ，則

2根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求 ω

函數(shù) y=Asin（ωx+φ） 的單調(diào)性一方面與 ω 的正負(fù)和大小有關(guān)，另一方面，單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度也與周期有關(guān)，而周期的大小由 ω 決定.因此函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間與 ω 的值密切相關(guān)，根據(jù)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性可以確定 ω 的值或取值范圍.

例2 已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) ω 的取值范圍為

解：根據(jù)函數(shù) ，令

可得 （2 所以，函數(shù) y=f（x） 的單調(diào)遞減區(qū)間為

（20號(hào) 又函數(shù) y=f（x） 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，則 解得 （20 （204號(hào) 又由 可得 即 且ωgt;0 ，則有 0lt;ω?3 令 k=0 ，可得 故實(shí)數(shù) ω 的取值范圍為

3根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性求 ω

根據(jù) 圖象的對(duì)稱中心為 （kπ，0）（k∈ z） ，令 ωx+φ=kπ（k∈Z） ，利用 _y=sinx 圖象的對(duì)稱軸方程為 ，令 z） ，結(jié)合已知的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，可求解 ω

例3已知奇函數(shù) f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0） 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，且在區(qū)間 上單調(diào)，則 ω 的值是（ ）.

解：因?yàn)楹瘮?shù) f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0） 為奇函數(shù)，所以φ=kπ+π，

又函數(shù) f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0） 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，所以 ∞π+φ=mπ，m∈Z.

所以

又函數(shù) f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0） 為奇函數(shù)且在區(qū) 上單調(diào)，則函數(shù) f（x） 在區(qū)間 上單 （20 （20 調(diào)，所以 f（x） 的周期 即 從而 0lt;ω?3

所以 故選：C.

4根據(jù)三角函數(shù)的最值（極值）求 ω

三角函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)和其圖象的對(duì)稱軸的說法是等價(jià)的，最值問題可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題來解決.

例4 已知函數(shù) f（x）=2sin ωx在區(qū)間 上的最小值為－2，則實(shí)數(shù) ω 的取值范圍是

解：顯然 ω≠0. 若 ωgt;0 ，則當(dāng) 時(shí) 因?yàn)楹瘮?shù) f（x） 在區(qū)間 的最小值為—2，所以 或 （204號(hào) 解得

若 ωlt;0 ，則當(dāng) 時(shí)， （204號(hào)=因?yàn)楹瘮?shù) f（x） 在區(qū)間 上的最小值為 ^-2 所以 或 （20 ，解得 ω?-2

綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù) ω 的取值范圍是

例5設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 （0，π） 恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則 ω 的取值范圍是（ ）.

解：依題得ωgt;0.因?yàn)椤剩?，π），所以ωx+∈ 要使函數(shù)在區(qū)間 （0，π） 恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又 的圖象如圖1

所示，則 ，解得 故選：C.

圖1

5根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)求 ω

研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題時(shí)，往往采取整體換元的思想，即通過 ωx+φ 的取值情況確定函數(shù)零點(diǎn)的情況，因此可根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況來確定 ω 的值或取值范圍.

例 6^[1] 已知函數(shù) f（x）=cosωx-1（ωgt;0） 在區(qū)間 [0，2π] 有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則 ω 的取值范圍是解：由 0?x?2π，ωgt;0 ，得 0?ωx?2ωπ 業(yè)令 f（x）=cosωx-1=0 ，則cos ωx=1 有3個(gè)根.

令 t=ωx ，則方程cos t=1 有3個(gè)根，其中 t∈ [0，2ωπ] ，結(jié)合余弦函數(shù) 的圖象（圖2）可得4π?2ωπl(wèi)t;6π ，所以 2?ωlt;3. 故填：[2，3）.

圖2

求解三角函數(shù)解析式中的參數(shù)“ ω ”，需全面理解三角函數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法與技巧.若已知周期，優(yōu)先利用周期公式；對(duì)于單調(diào)性問題，要結(jié)合ω 的正負(fù)分析函數(shù)的增減性；而對(duì)稱性和極值點(diǎn)、零點(diǎn)問題，則需利用相應(yīng)的性質(zhì)建立方程.同時(shí)，要注意對(duì) ω 的取值范圍進(jìn)行合理的討論和判斷，確保答案的準(zhǔn)確性.

從周期公式的直接應(yīng)用，到依據(jù)圖象特征進(jìn)行細(xì)致分析，再到借助單調(diào)性與對(duì)稱性挖掘隱含條件，每種方法都為我們打開了解決問題的一扇窗.通過對(duì)這些方法的系統(tǒng)學(xué)習(xí)與練習(xí)，學(xué)生不僅能熟練掌握“ ω ；的求解方法，更能深入理解三角函數(shù)的本質(zhì).

對(duì)教師而言，在教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考問題，通過典型例題與針對(duì)性練習(xí)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索、總結(jié)規(guī)律，加深對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的理解與掌握.

參考文獻(xiàn)：

[1]李鴻昌，劉開明，陳曉.高中數(shù)學(xué)一點(diǎn)一題型：二輪強(qiáng)化訓(xùn)練[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2024.Z