回歸原點提素養，高數視角本質彰

說題就是教師在現代教育理論的指導下，通過交流研討題目而達到對題目的深度理解，促進說題教師個人與教師團隊共同發展的一項實用且有效的教研活動模式.吳立寶教授在《教師說題教研的三階段六功能》一文中指出，說題教研落腳于示范引領，致力于資源共享，著眼于問題診斷，著力于行為改進，聚焦于成果轉化.說題教研具有自我展示功能、信息傳遞功能、指導探索功能、調節完善功能和成果轉化功能1.說題比賽需要發揮集體的智慧，擴大認知的邊界，說題比賽使參與說題的教師個人和教師團隊相互促進，共同提升，促使教師由教書匠進入教育家的狀態[2].因此，說題比賽對教師專業成長意義重大，開展說題比賽是大勢所趨.

為推動高中數學課堂教學改革，提高我市高中數學青年教師\"數學理解、教材理解和教學理解\"的專業能力，適應全國高考Ⅰ卷的命題風格，市基礎教育研究室特舉辦高中數學青年教師說題展示評比活動.在此次比賽中，筆者所在參賽隊伍獲得各縣區第一名的優異成績，現把筆者參賽準備、比賽片段、比賽感悟與大家分享.

1說題比賽案例展示

此次說題比賽分別從試題呈現、思路探究、問題溯源、類題同解和教學啟示五個環節向評委和同行進行展示，筆者以3人組隊的形式參賽，3位說題教師定位不同，分工明確.其中1號說題教師負責高屋建甄，說問題溯源，說變式推廣，說教學啟示；2號說題教師和3號說題教師分別扮演課堂上的老師和學生的角色，以情景劇的形式向大家呈現如何循序漸進地引導學生從自身思維的原點和困惑點出發探索問題，從而形成通法、妙法.接下來給大家還原此次說題比賽中的精彩片段.

1.1題目呈現

（2023年全國新高考數學 I 卷第22題）（1）證明：當 02 ，若 x= 0是 f（x） 的極大值點，求 Ψ_a 的取值范圍.

1.2解法探究

1.2.1初探未熟未曾過，眼中山水尚淺時

生（3號說題教師扮演）：第（1）問比較基礎，兩邊分別構造差函數，求導判斷導函數的正負性，獲得原函數的單調性就可以啦，兩邊唯一不同的是左邊需要求兩次導數才能判斷出導函數的正負性，稍微麻煩一些.

師（2號說題教師扮演）：很好，你還能想到別的方法嗎？讓我們一起回到試題的原點[3]，題目設置兩個不等式證明，有可能其中一個是在為另一個作鋪墊，

生：右側的不等式簡單易證，難道是想用右側的結論證明左側？可是求完導之后是“余弦函數”，“正弦”消失了，還怎么用右側的結論呢？

師：哪個知識點可以將“余弦\"轉化成“正弦\"？

生：二倍角公式！將余弦轉化成正弦，再用右側結論放縮，令函數 G（x）=x-x²-sinx ，則可以得到

師：（小結）第（1）問與教材例題高度相似，考查學生對基本思想方法的掌握，學生采用的第一種方法來源于課本中兩個實數通過作差比較大小，這也讓我們得到了一種證明不等式的常用方法，即構造差函數后研究函數單調性，求函數最值.但當要證明兩個及兩個以上不等式的時候，可考慮借助已證得的不等式來證明其他的不等式.

下面探究第（2）問的解法.

思路一：端點效應.

生：第（2）問連續求導兩次，依然沒有思路.

師：我們不妨回歸到函數問題的原點，你還記得研究函數的一般路徑嗎？

生：一般會先分析函數的定義域、奇偶性或對稱性、單調性、周期性、有界性和函數式結構.

師：本題提到了極值點，你還記得求極值的基本方法嗎？

生：根據課本中極值的概念和求極值的基本方法，先求導函數的零點，再利用其兩側導函數值的正負性判斷極值.函數 f（x） 是定義域為 （-1，1） 的偶函數，所以可以將研究范圍縮至（0，1），而根據極大值點的特征可知，函數 f（x） 在 x=0 附近先增后減，導函數先正后負， f^′（0）=0 ，這說明存在實數 δ ，使 f^′（x） 在 （0，δ） 上單調遞減， f^′′（x）?0 在 （0，δ） 上恒成立，根據極限思想，只需讓 f^′′（0）?0 即可.

師：導數是量化研究函數局部性質的工具，但f^′′（x）=0 一定能推出 x=0 是極大值點嗎？

生：不能，比如 f（x）=x³，f^′′（x）=0 ，但 x=0 并不是極值點，因此需要對剛才的結果進行充分性論證.當 時，導函數既有 sinx ，又有分式結構，可以考慮用第（1）問的不等式放縮，而右側形式簡單，則先用右側放縮， 時不合題意.

師：棒！當 時，也需要這樣討論嗎？

生：不用.因為 cos（-ax）=cosax ，所以 也不符合題意，接下去也只要證 的充分性就行了.我想到了主元更替法，當 時， f^′（x）= 1-χ2p（x），其中p（x）=-√2x2+x+√2，p（0）= .根據極限思想， lim_x0⁺p（x）gt;0 ，則 哎呀，不等號傳遞失敗，這個方法不行.

師：是可以考慮用第（1）問的不等式進行放縮.因為 不符題意，所以我們期望 時導函數小于零，帶著這個目標繼續探究.

生：當 時，利用第（1）問的結論，導函數可放縮為 x1左側放縮后的式子正負不確定，而右側放縮與目標方向一致，所以用右側放縮，通分化簡得 f^′（x）lt; 1-χ2·（-a2x2+a2x2+a2+2-a2），只要考慮括號里的三次函數正負號即可.綜上所述， 或 alt; ：

師：通過思路一，我們得到了已知函數極值點求參數范圍問題的基本思路，先聚焦局部特征，運用端點效應和極限的局部保號性，簡化運算，縮小參數范圍，再通過放縮，優化函數，最后通過求導判斷極值，驗證充分性.

思路二：半分參.

生：老師，對于思路一，我還有別的想法，其中f^′（x）lt;0 在（0，δ）上的恒成立問題，可以用半分離參數的方法得到兩個函數 和 h（x）= -asinax ，觀察圖象（圖1）， g（0）=h（0） ，所以只需要g（x） 在 x=0 附近下降的比 h（x） 慢即可，導數是研究變化快慢的基本方法，所以只要 g^′（0）gt;h^′（0） 就行啦.

圖1

師：數形結合是分析問題的好方法，但不嚴謹，需要驗證其充分性，跟思路一相同， g^′（0）gt;h^′（0） 其實就是思路一中提到的 f^′′（0）lt;0 ，而這二者的本質都是極限的局部保號性.

1.2.2再探已覺山水深，通法引領我前行

師：現在讓我們回到你困惑的原點，你之前為什么連續求兩次導數還無濟于事？

生：因為導函數結構復雜，正負性難以判斷.

師：現在有了不等式放縮、優化函數的經驗，可考 慮將導函數放縮，減少函數類型，你再試試.

思路三：放縮 + 分類討論.

生：與思路一的放縮一樣，左側放縮中 f^′（x）gt;

2，除 2-a² 以外其他部分恒為正，所以根據 2-α² 的正負確定分類標準.當 2-a²?0 時，導函數大于0恒成立，這時 x=0是極小值不符合題意；當 2-a²lt;0 時，左側放縮失效，那我就從右側放縮入手，這就跟思路一充分性的證明一模一樣了.

1.2.3終探已覺意無窮，妙法收官自在真

師：思路一出于減少函數類型的考慮，對導函數進行放縮，那我們能不能考慮直接對原函數進行放縮呢？

思路四：泰勒展開.

生：利用切線不等式和第（1）問的結論可以得到 （20，但是這樣我就做不下去了！

師：想法非常好，之所以失敗是因為放縮時不等號的方向錯了，我們可以使用一種等價轉換，如用泰勒公式，將復雜的函數逼近近似地表示為簡單的多項式函數，有化繁為簡的功能，我們可以利用cos x 和 的泰勒展開式將 f（x） 轉化為高次函數，即

我們發現在 x=0 附近，影響函數極值的最重要因素是二次項系數，所以只需讓二次項系數小于0，即可得到答案.

師：（小結）通過以上分析，我們得到處理這類問題的思路，先聚焦函數的局部特征，運用端點效應和極限的局部保號性，簡化運算，縮小參數范圍；或者將問題轉化為恒成立問題，優化函數，通過求導判斷極值，驗證前面結果的充分性即可.

1.3高數視角本質彰，居高臨下意圖顯

高觀點解題是指針對中學數學中具有高等數學背景或與高等數學緊密結合的題型，在解題過程中融入高等數學思想，以初等數學的方法巧妙求解.一方面，高觀點解題可以有效鍛煉學生的思維能力，對初等數學所用方法進行深入思考和探究，在探尋規律性的過程中體會定理的準確性，從而提升對知識的理解力；另一方面，初等數學與高等數學研究的方向往往具有一致性，很多初等數學的題目是由高等數學初等化而來的，因此，站在更高更廣的角度來審視高中數學題可以激發學生探究數學的興趣，提升學生的數學核心素養.

事實上，在人教A版選擇性必修第二冊中求極值的基本方法，就是高等數學中的第一充分條件.另外，在高等數學中，對函數極值的研究和描述更具一般化，還給出了函數極值的第二充分條件和第三充分條件.對于上文中的 f（x） ，易知， f^′（0）=0，f^′′（0）=2- a²，f^′′（0）=0，f^?（4）（0）=a⁴+12gt;0 ，由極值的第二充分條件可知，當 f^′′（0）=2-a²lt;0，x=0 是 f（x） 的極大值點；當 f^′′（0）=2-a²gt;0，x=0 是 f（x） 的極小值點，舍去.當 f^′′（0）=2-a²=0，f^′′（0）=0，f^（4）（0）= a⁴+12gt;0 ，由極值的第三充分條件可知， x=0 是 f（x） 的極小值點，不滿足題意.

基于高觀點視角，我們也得到以下類題：

（2024年全國高考新課標I卷第19題節選）已知函數 若當且僅當 1lt; xlt;2 時， f（x）gt;-2 ，求 b 的取值范圍.

（2024年全國高考新課標甲卷第21題節選）已知函數 當 x?0 時， f（x）≥ 0，求 a 的取值范圍.

（2023全國高考甲卷理第21題節選）已知函數 ，若 f（x）

（2023全國高考 z 卷文第20題節選）已知函數 ，若函數 f（x） 在 （0，+∞） ）單調遞增，求實數 a 的取值范圍.

[2016高考數學山東（文）節選]設 ax²+（2a-1）x，a∈R 已知 f（x） 在 x=1 處取得極 大值，求實數 a 的取值范圍.

2說題比賽的感悟

2.1說題促進教師成長

說題對助力青年教師成長主要體現在兩個方面：一是有助于說題教師對題目的深度理解.因為說題教師不僅要說命題方向和命題背景，更要遵循學生的思維生成規律，循序漸進、拾級而上地將各種思路串聯并娓娓道來.因此說題教師要有清晰的說題思路，要有重點、有詳有略.二是有助于說題教師教學藝術性的提升.說題教師用恰當的教學姿態輔助說明自己對題目的理解并傳遞給其他教師，也是提升說題效率的重要策略.而教師的教學姿態是自身素質、修養的審美展示，優秀的教學姿態展示可以使說題具有藝術含量.

此外，說題還能促進整個說題教師團形成合力、抱團成長，縮小教師對題目理解程度的差異，有助于緩解師資力量不均衡等問題.說題比賽不僅能促進說題教師自身的成長，其他旁聽的同行也能接收到說題教師傳遞出來的對題目的理解和優良的教學姿態，學習并借鑒，從而提升整個教師團隊的教學藝術性.

2.2說題可以引領教學

說題教師在說考法時著眼于試題命制這一高度，有助于把握考試的重點內容與預測考試的方向，進而幫助教師通過分析考法引領解題教學.教師說題著眼于試題命制，一是需要對數學題的考點進行分析，明晰什么是考試的重點、難點等，二是需要結合課標、高考評價體系等對數學題的考點進行相應的解讀，幫助教師把握考試要求以及學生應該掌握的相關知識的水平等，引領教師明晰教學內容的范疇[4].

2.3說題促進師生交流

學生參與說題是一種新穎的教學方式，可以增加課堂上的師生交流和生生交流的機會，給枯燥無味的數學課堂增添生機和活力.學生可以通過口述與板書相結合的形式將自己的見解傳遞給其他同學，其他同學也可以玲聽說題同學的思路，達到生生之間抱團成長、形成合力、相互促進、共同成長的局面.讓學生說題，可以培養學生的表達能力、自主學習能力、批判質疑能力和合作交流能力[4].

參考文獻：

[1]吳立寶，張桂麗，王子續.教師說題教研的三階段六功能[J].教學與管理，2024（1）：27-30.

[2]洪夢，吳立寶，王富英.數學說題的內涵與結構[J].數學通報，2020，59（11）：58-63.

[3]曹鳳山，朱偉義.抓主線 明特征回歸原點—從近三年浙江高考壓軸題看函數與導數問題的求解策略[J].中學教研，2021（3）：60-62.

[4]張桂麗.高中數學教師說題教研研究[D].天津：天津師范大學，2023.Z