例談“多元”數(shù)學(xué)問題的“一元化”處理

在平時解題中，我們經(jīng)常會遇到含有兩個變量或者三個變量的數(shù)學(xué)問題，求解處理的常用基本方法就是將“多元”數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為“一元”數(shù)學(xué)問題（簡稱“一元化\"處理），往往可取得比較滿意的解答效果，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的靈活運用

策略一：通過代入消元，可實現(xiàn)“一元化\"處理.

如果題目中只含有兩個變量，且給出了這兩個變量滿足的關(guān)系等式，那么可考慮代人消元，將目標問題轉(zhuǎn)化為“一元\"數(shù)學(xué)問題，有利于靈活運用相關(guān)數(shù)學(xué)知識順利求解.

例1已知 ? ，則sin y-cos²x 的最大值為

解析：根據(jù) ? 3，可得siny ? sin x ，所以可知 ? ? 根據(jù)一 1? sin y?1 ，sin ? ，可知 ? 解得 ? ，又因為 ? ，所以有? ，于是可以得到 ? ? 綜上，可知所求 siny-cos²x 的最大值為 ? （此時 ? ，sin y=1）

評注：本題屬于三角函數(shù)中的求解最值問題，需要關(guān)注正弦函數(shù)的“有界性”在解題中的充分運用；否則，極易出現(xiàn)錯解！此外，亦可通過消去變量“ x ”求解.

策略二：通過不等式放縮，可實現(xiàn)“一元化\"處理.

靈活運用基本不等式的變形結(jié)論“若 a，bgt;0 ，則有 ? ”，以及“若 a，bgt;0 ，則有 ab? ? （注意：該結(jié)論實際上對任意 a，b∈R 均成立）”，可將“多元”數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為“一元”數(shù)學(xué)問題，有利于目標問題的巧妙獲解.

例2已知 x，y，z∈R ，且 x+y+z=5，xy-1 1yz+xz=3 ，則 z 的取值范圍是

解析：根據(jù) x+y+z=5，xy+yz+xz=3 ，可得x+y=5-z，xy+（x+y）z=3 ，所以有 xy=3- ? 又知 xy? ? （對任意 Ψ_x，y∈R 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時等號成立），從而可得 ? ，整理得3z²-10z-13?0 ，解得 ? .故所求 z 的取值范圍是 ?

評注：本題含有三個變量，首先由已知得 x+y= 5-z，xy=z²-5z+3 ，再根據(jù)不等式 ? 不僅可巧妙消去兩個變量 x，y ，而且也可獲得關(guān)于目標量“ z ”的不等式，實現(xiàn)了“一元化”處理，故此為解題的關(guān)鍵所在，值得我們?nèi)ゼ毤毱肺丁⑸钊胨伎?

策略三：通過三角換元，可實現(xiàn)“一元化\"處理.

一般地，若圓的方程為 （x-a）²+（y-b）²=r² ? ，（rgt;0） ，則其參數(shù)方程為 （參數(shù) θ∈ R）.顯然，靈活運用圓的參數(shù)方程（即實施三角換元），可將“多元\"數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為“一元”三角函數(shù)問題，從而可通過三角函數(shù)知識加以求解.

例3已知 x，y∈R ，且滿足 x²+xy+y²=1 ，那么 x+2y 的最小值為 ，最大值為

解析：因為 x²+xy+y²=1 ，所以可將其變形為? ，從而可設(shè) ? 即? （參數(shù) θ∈R） .于是 x+2y=cosθ- ? 所以，結(jié)合 θ∈R 可知所求 x+2y 的最小值等于一2，最大值等于2.

評注：本題通過對已知等式實施“配方”變形，能夠獲得“平方和”為定值，從而可通過三角換元，將目標問題轉(zhuǎn)化為“一元”三角函數(shù)問題，有利于簡捷獲解.此外，也可先“配方”得到 ? ，再實施三角換元加以求解.

策略四：通過引入?yún)?shù)，可實現(xiàn)“一元化\"處理.

若題目給出了與兩個變量有關(guān)的等量關(guān)系，則可通過引入?yún)?shù)，創(chuàng)造有利條件，也便于進一步的分析、轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)將“多元”數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為“一元”數(shù)學(xué)問題，便于靈活處理.

例4已知函數(shù) f（x）=e^x（xgt;0），g（x）= （x-1）²（xgt;0） ，若 f（m）=g（n） ，則 ∣m-n∣ 的最小值等于

解析：設(shè) f（m）=g（n）=t ，則根據(jù) mgt;0 及 e^m=t 可知 tgt;1 ，進而結(jié)合 ngt;0，（n-1）²=t 可知 n=1+ ? .又由 e^m=t ，可知 ? .于是可得 ∣m-n∣= ? tgt;1. 設(shè) ? ，則? （20求導(dǎo)得 .據(jù)此易知，當(dāng) 1′（t）gt;0 ；當(dāng) tgt;4 時， h^′（t）lt;0. 因此，函數(shù) h（t） 在（1，4）上單調(diào)遞增，在 （4，+∞） 上單調(diào)遞減.于是，可知 ? ，所以 ? 綜上可知，所求 |m-n| 的最小值等于 ? ：

評注：本題求解切入點是引入?yún)?shù) χ_t ，有利于將變 量 m，n 均用 t 加以表示，從而可將求 ∣m-n∣ 的最小 值，等價轉(zhuǎn)化為求 ? 的最小值，便于 進一步的分析、求解.

策略五：通過整體代換，可實現(xiàn)“一元化\"處理.

求解有關(guān)涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式的“多元”數(shù)學(xué)問題時，往往需要將兩個變量的某種組合（可以是這兩個變量的和、差、積、商的組合，或者其他組合）看作一個“整體\"進行代換處理，有利于將目標問題轉(zhuǎn)化為“一元\"數(shù)學(xué)問題加以解決.

例5已知函數(shù) ? ，其中a 為常數(shù)，若函數(shù) f（x） 存在兩個不同的極值點 x₁ x₂ ，且滿足 ∣x₁-x₂∣?1 ，求 |f（x₁）-f（x₂）| 的取值范圍.

解析：因為 ? ，所以? （204號 ，且 ?

于是，根據(jù)“函數(shù) f（x） 存在兩個不同的極值點x₁，x₂ ”可知，方程 x²-ax+2=0 有兩個不相等的正數(shù)根 x₁，x₂ ，所以 x₁+x₂=a，x₁x₂=2 ，且易知 agt; ? ，從而可知

?

根據(jù) ∣x₁-x₂∣?1 ，可得 x₁²+x₂²-2x₁x₂?1 ，所以 x₁²+x₂²?1+2x₁x₂=1+2×2=5 ，于是可得? 所以+2 ? ，解得 ? 于是，不妨設(shè) x₁gt;x₂gt;0 ，則必有 ? 設(shè) ? ，則本題即求 ? 的取值范圍.設(shè)函數(shù)? ，則 ? ? ，所以函數(shù) g（t） 在區(qū)間（1，2]上單調(diào)遞減，于是可得 ? 從而可知 ? 的取值范圍是? 故所求 ∣f（x₁）-f（x₂）∣ 的取值范圍是 ?

評注：本題具有一定的難度，解題關(guān)鍵在于將∣f（x₁）-f（x₂）∣ 變形為 ? ，從而極易想到對代數(shù)式 ? ”進行整體代換，有利于將問題簡單化;其次，要注意根據(jù)約束條件 ∣x₁-x₂∣?1 和不妨設(shè)x₁gt;x₂gt;0 ，準確分析、求解 ? ”的取值范圍.

總之，結(jié)合以上舉例解析可知：盡管“多元\"數(shù)學(xué)問題看似較難，但是如果能夠想辦法將其轉(zhuǎn)化為“一元\"數(shù)學(xué)問題，那么處理起來就比較容易.因此，關(guān)注文中提及到的幾個常用解題策略，有利于幫助我們靈活處理相關(guān)“多元\"數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)簡捷求解的目的.Z