三新”背景下數學文化的滲透與應用

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中多次出現“情境”一詞，《中國高考評價體系》也規定了高考的考查載體之一一—“情境”，并以此承載相應的考查內容，實現滿足考查要求的目的.在“三新”（新教材、新課程與新高考）背景下，數學情境是高考評價體系中最重要的創新之一，借助數學情境與實際應用問題的設置，以靈活多變的形式，更多地出現在數學試卷中.

數學文化作為世界文化及國家文化素質教育的重要組成部分之一，是在人類文明歷史長河中不斷探索形成的數學史、數學精神及其應用等.對于數學文化的滲透與應用，可以借助數學中的名著名人、數學方法、數學工具、數學原理等不同的創新視角加以設置，合理滲透相應的數學知識與數學方法，有效增強考生的理性思維與應用意識.

1名著名人

結合中國古代數學名著及世界數學名著等，或者是數學家（如祖沖之、畢達哥拉斯、斐波那契、陳景潤等）及其對應的數學知識等，合理設置對應的數學文化問題.

例1〔2025屆重慶市南開中學高考數學第六次質檢試卷（2月份）《九章算術》是中國古代的一部重要數學著作，成書于公元1世紀左右，是《算經十書》中最重要的一部.書中商功章第二題至第七題涉及城、垣、堤、溝、塹、渠這些建筑，其形狀都是底面為等腰梯形的直四棱柱.以“城”（如圖1）為例，有如下問題：“今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺.問積幾何？答曰（ ）立方丈.\"（注：一丈等于十尺）

圖1

A.1 265.5 B.1 897.5 C.2 846.5 D.3 795.5

解析：根據題意，可得該幾何體的體積為 （2+4）×5×126.5=1897.5（ （立方丈）.

點評：涉及數學中的名著或名人的數學文化問題，往往借助對應的數學名著中記載的內容或知識加以敘述與表達，或借助數學名人的貢獻或研究范圍等加以介紹與敘述，進而合理設置與之對應的數學文化問題，合理構建對應的數學模型，利用相應的數學基礎知識與思想方法加以分析與應用.

2數學方法

通過數學中一些典型方法的應用，如尺規作圖等方面的數學文化，合理設置與之對應的數學方法方面的數學文化試題.

例2[2025屆河南省高三年級聯考（二）數學試卷]1796年，年僅19歲的高斯發現了正十七邊形的尺規作圖法.要用尺規作出正十七邊形，就要將圓十七等分.高斯墓碑上刻著如圖2所示的圖案.設將圓十七等分后每等份圓弧所對的圓心角為 α ，則

圖2

解析：由 可得 0

則

16+ 2cos2而2sin Mcos 21元 22cos 27 sin π17

可 得 所以 （204號

點評：涉及數學中的技巧、方法的數學文化問題，往往從數學方法的介紹切入，抓住對應數學文化問題的突破口，結合與之對應的數學知識加以分析與應用.

在對應的數學方法的介紹中，有與問題設置相對應的數學知識及對應解題的切入點，要合理理解與挖掘并應用.

3數學工具

通過數學中一些典型工具的應用，如圓規、算盤、計算機等方面的數學文化，巧妙融入數學應用問題中，合理設置對應的創新應用問題.

例3［2025屆安徽省“江南十校”聯考（一模聯考）數學試卷]程大位（1533—1606）是明代珠算發明家，徽州人.他所編撰的《直指算法統宗》是最早記載珠算開平方、開立方方法的古算書之一，它完成了計算由籌算向珠算的轉變，使算盤成為主要的計算工具.算盤其形長方，周為木框，內貫直柱，俗稱“檔”.現有一種算盤（如圖3）共三檔，自右向左分別表示個位、十位和百位，檔中橫以梁，梁上一珠，下撥一珠記作數字5；梁下五珠，上撥一珠記作數字1.例如：圖4中算盤表示整數506.如果撥動圖3中算盤上的3枚算珠，則可以表示不同的三位整數的個數為

解析：分類討論法.

（1）“百位\"撥動3枚算珠：300，700.

（2）“百位”撥動2枚算珠：210，250，201，205；610，650，601，605.

（3）“百位\"撥動1枚算珠：120，102，160，106，111， 151，115，155；520，502，560，506，511，551，515，555.

故符合條件的三位整數的個數為26.

點評：涉及數學中的應用工具的數學文化問題，往往借助對應的數學工具加以實際應用，古為今用或合理拓展，創設對應的數學應用場景及數學文化知識.解決問題時，要充分理解并掌握對應數學工具的應用規則、應用方法及數學本質，進而借助對應的數學知識來分析與應用.

4數學原理

通過數學中一些典型原理的應用，如體積計算公式、平行原理等方面的數學文化，合理構建與之對應的數學應用問題，將不同知識點加以巧妙聯系與應用.

例4[2025屆上海市閔行中學高三（上）期末數學試卷]我國南北朝時期的數學家祖晅提出了計算體積的祖晅原理：“冪勢既同，則積不容異.”其意思可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如圖5，陰影部分是由雙曲線 與它的漸近線以及直線 所圍成的圖形，將此圖形繞 y 軸旋轉一周，得到一個旋轉體，則這個旋轉體的體積為（ ）.

解析：依題，雙曲線 的漸近線方程為

圖7

如圖6，設直線 y= 與雙曲線、雙曲線的漸近線分別交于點 C，D 與A，B ：

聯立 可，得點 同理，可得點 ，t），

易知線段 AC，BD 繞 y 軸旋轉一周得到對應旋轉體的一個截面，其是一個圓環（如圖7中的陰影），則該圓環的面積為

所以，對應旋轉體垂直于旋轉軸的任意一個截面的面積都是 4π ，而其高為 ，利用祖晅原理可知這個旋轉體的體積為

點評：此類涉及數學原理或定理的數學文化問題，往往是多個數學知識點的交匯與綜合應用，要高度重視.

在“三新”背景下，依托數學文化的滲透與應用，結合數學中的名著名人、數學方法、數學工具、數學原理等不同的創新視角與情境創設，巧妙融入相關的數學知識與數學方法，綜合閱讀理解能力及數學應用能力等，提升考生的應用意識與創新意識等.因而，在數學復習備考過程中，有意識地加強對數學文化的相關試題的滲透應用與對應訓練，提升學生的應用意識與創新意識，合理培養學生的探究與創新精神，拓寬思維視野，提升解題能力，培養數學核心素養.Z