聚焦新教材 探索新專題 深挖三角形系列性質

1探索三角形的面積

人教A版新教材必修第二冊第55頁“閱讀與思考\"內容從數學史的發展歷程角度詳細介紹了海倫公式和秦九韶公式的由來.海倫公式是指：已知三角形的三邊長度分別為 a，b，c ，則該三角形的面積 S= ，其中 .海倫公式解決了由三角形三邊直接求出三角形的面積的問題，它具有輪換對稱的特點，形式很美，大家很容易記住它.我國南宋著名數學家秦九韶也發現了與海倫公式等價的從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”《數書九章》中的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.\"如果把以上這段文字寫成公式，那么就是 S=

對于閱讀材料中的海倫公式（秦九韶公式），教材是要求掌握的.體現在課本第54頁“拓廣探索\"第20題第（1）小問中，要求證明的三角形面積公式即海倫公式，如下：

已知△ABC的三個角 A，B，C 的對邊分別為 a ^b，c ，設 .求證：三角形的面積 S=

證明：在 ΔABC 中，由余弦定理可得cos C= ，則

其中 命題得證.

2探索三角形的中線長

三角形的中線是指連接三角形一個角的頂點和對邊中點的線段.教材中對于這一性質同樣以課后習題的形式給出，要求學生掌握.新教材必修第二冊第53頁“綜合運用\"第15題，要求學生利用余弦定理證明三角形的中線長，如下：

△ABC的三邊分別為 a，b，c ，邊 BC，CA，AB 上的中線分別記為 m_a，m_b，m_c ，利用余弦定理證明：

證法一：如圖1，在 ΔABC 中，記BC邊上的中線 AD 為m_a ，由余弦定理可知 m_a²= B 圖1 D C COS +262）-a2]，所以ma=

同理，可證得 ， m_c=

證法二：利用課本第39頁例2的結論“平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和”得出.

如圖2所示，以 AB，AC 為鄰邊構造平行四邊形 ABEC ，設 AE ，BC 交于點 D ，則 AD=m_a ，由教材中例2的結論可知 AE²+BC²= 2（AB²+AC² ，即 （2AD）²+a²= 2（c²+b²） ，可得 4m_a²=2（c²+b²）- a² ，化簡得

圖2

同理，可證得 m_c=

證法三：利用 ∠ADB ∠ADC 互補，兩次使用余弦定理證明.在 ΔABD 中， AB=c AD=m_a ，由余弦定理可得 ① 在 ΔACD 中 ，由余弦定理可得 ② 根據 cos∠ADC=-cos∠ADB，①+② 可得 ，即有 同理，可證得 m_c=

3探索三角形的高線長

三角形的高線是指從三角形的一個頂點所作的垂直于對邊的線段.新教材必修第二冊第54頁“拓廣探索\"第20題第（3）小問，證明三角形三邊上的高線長，如下：

已知 ΔABC 的三個角 A，B，C 的對邊分別為 a ，b，c，設p=a+b+c. ，求證：把邊 BC，AC，AB 上的高分別記為 h_a，h_b，h_c ，則

證明：由三角形的面積公式 ，以及海倫公式 ，可得

由 ，可得

同理，可得

4探索三角形的內切圓的半徑長

新教材必修第二冊第54頁“拓廣探索\"第20題第（2）小問，證明三角形內切圓的半徑長，如下：

已知△ABC的三個角 A，B，C 的對邊分別為 α_a ^b，c ，設 ，求證：若 r 為三角形的內切圓半徑，則

證明：設 O 為三角形內任意一點，則可得 S_ΔABC= 2p×r=pr

所以 （其中

5探索三角形的外接圓的半徑長

已知 ΔABC 的三個角 A，B，C 的對邊分別為 a .b，c ，若 R 為三角形的外接圓半徑，證明：

證明：由正弦定理可知 ，化簡可得 R= ，故有 R= 成立.

本文深度挖掘和探究了新教材必修第二冊第六章的課后習題及閱讀材料，探索了已知三角形的三邊，求解三角形的面積、中線、高線、內切圓半徑、外接圓半徑等性質這一專題.這些性質涉及的元素不僅是三角形中的基礎量，在實際生活中也有著廣泛的應用.比如，在建筑設計中，我們需要計算房屋的三角形屋頂的面積，以確定屋頂的斜度和材料的用量；在工程測量中，我們需要測量三角形的三邊長度和角度，以確定地形的高度和坡度.

因此，新教材的編排更加合理化和人性化，更加注重學生核心素養的培養和提升，也更加考驗一線教師駕馭教材的能力.我們必須要改變以往的教學模式，用新的教學理念進行教學，深挖新教材，刻苦鉆研，勇于創新，不斷探索新的專題，提高駕馭教材的能力.Z