一道平面向量試題的探究與思考
2025-09-28 00:00:00安世海
中學(xué)數(shù)學(xué)·高中版 2025年9期
向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.有關(guān)向量的很多試題都獨(dú)具匠心、新穎別致，解法靈活多變.向量這部分內(nèi)容能很好地提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
濟(jì)南市高一期末學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第22題是一道平面向量題，試題如下：
題目在△ABC中，點(diǎn) P 為 ΔABC 內(nèi)一點(diǎn).（1）若點(diǎn) P 為 ΔABC 的重心，用 
表示
：（2）記 ΔBPC . ΔCPA ， ΔAPB 的面積分別為SA，SB，SC ，求證： 
：（3）若點(diǎn) P 為 ΔABC 的垂心，且 
3 
，求 cos∠APB 此題第（1）小題考查的是有關(guān)重心的向量表達(dá)式（204號(hào) 
），屬于容易題，大部分學(xué)生都能順利完成；第（2）小題證明的結(jié)論實(shí)質(zhì)是“向量奔馳定理”，雖然該定理證明的方法較多，但由于技巧性和綜合性較強(qiáng)，屬于難題，只有極少數(shù)學(xué)生會(huì)做；第（3）小題可以說(shuō)是“向量奔馳定理”的一個(gè)應(yīng)用，雖然不用“向量奔馳定理”也可以求解，無(wú)奈難度較大，會(huì)做的學(xué)生寥寥無(wú)幾.
“平面向量奔馳定理\"是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與梅賽德斯一奔馳（Mercedesbenz）汽車(chē)的三叉星徽標(biāo)志（如圖1）很相似，故形象地稱其為“向量奔馳定理”下面是筆者對(duì)這一定理及其應(yīng)用的歸納、總結(jié)和探究.
1平面向量奔馳定理
已知 O 是 ΔABC 內(nèi)一點(diǎn)，記 ΔBOC ·ΔCOA .ΔAOB 的面積分別為 SA，SB，SC ，則有 
下面給出該定理的一種常用證法.
證明：如圖2所示，延長(zhǎng) AO
與 BC 相交于點(diǎn) D ，則O
T圖2
（其中 
），得OD=
，所以 
所以 
故 
（202
2平面向量奔馳定理的推論
（1）如圖3，已知 o 是 ΔABC 內(nèi)
一點(diǎn)，且 
，則
SΔBOC：SΔCOA：SΔAOB=x：y：z. （204 （2）已知 o 是 ΔABC 所在平面
內(nèi)一點(diǎn)，且 
（x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0） ，則
圖3
①SΔBOC：SΔCOA：SΔAOB=|x|：|y|：|z|
說(shuō)明：當(dāng)點(diǎn) o 在 ΔABC 的三條邊上時(shí)，此結(jié)論不再適用，可作為特殊情況處理；當(dāng)點(diǎn) o 在 ΔABC 的外部時(shí)，結(jié)論是有變化的，以點(diǎn) O 在 AD（D 為 AO 與 BC 的交點(diǎn)）延長(zhǎng)線上的情形為例，此時(shí) 
與OD同向，即
SAOA，結(jié)論變?yōu)?SAOA+SBOB+
，故推論（2）中 ① 和 ② 需要加絕對(duì)值.
3三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）向量式
銳角三角形的重心、內(nèi)心、外心、垂心都在三角形內(nèi)部，其中等邊三角形的重心、內(nèi)心、外心、垂心重合，這個(gè)點(diǎn)叫中心；直角三角形的重心、內(nèi)心在三角形內(nèi)部，垂心是直角頂點(diǎn)，外心是斜邊中點(diǎn)；鈍角三角形的重心、內(nèi)心在三角形內(nèi)部，垂心、外心都在三角形外部，
設(shè) O 是 ΔABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c， 則由向量奔馳定理及推論可得如下結(jié)論：
（1）若 o 是 ΔABC 的重心，則 SΔBOC：SΔCOA ： 
（2）若 o 是 ΔABC 的內(nèi)心，則 SΔBOC：SΔCOA ： （20 
（2 
（204號(hào) （3）若 o 是 ΔABC 的外心，則 SΔBOC：SΔCOA ： 
（4）若 o 是 ΔABC 的垂心，則 SΔBOC：SΔCOA ： 
（20 
下面只給出結(jié)論（3）（4）的證明.
（3）證明：因?yàn)?o 是 ΔABC 的外心，令 
，所以 
·
（20
同理，S△COA 
故 SΔBOC：SΔCOA：SΔAOB=∣sin2A∣：∣sin2B∣ |sin2C|
（4）證明：連接 AO ，交 BC 于點(diǎn) D ，由上述奔馳定 理的證明知 
.因?yàn)?o 是 ΔABC 的垂心，所 以丨tan 
|| tan 
則 
1
同理 
=
所以 SA：SB：Sc=|tanA|：|tanB|：|tanC| 業(yè)
故 SΔBOC：SΔCOA：SΔAOB=∣tanA∣：∣tanB∣ |tanC| ：
特別說(shuō)明：旁心是三角形旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓）的圓心；旁 ∴ 是三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與其不相鄰的兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等；一個(gè)三角形有三個(gè)旁心（每條邊對(duì)應(yīng)一個(gè)），都在三角形外部.
若 O 是 ΔABC 中 ∠A 所對(duì)的旁心，則 SΔBOC ：
（204號(hào) 
類(lèi)似地，可以寫(xiě)出 ∠B 和 ∠C 所對(duì)的旁心向量等式.
4定理應(yīng)用舉例
例1已知點(diǎn) P 為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿
則 ΔAPB 與 ΔABC 的面積之比等于（ ）.
解析：因?yàn)锳P= 
所以6 
整理為 
由奔馳定理推論， 得 SΔBPC：SΔCPA：SΔAPB=1：2：3.
所以 
.故選：C.
此題點(diǎn) P 在 ΔABC 內(nèi)部，但所給向量關(guān)系不滿足奔馳定理結(jié)構(gòu)形式，可以先將向量關(guān)系通過(guò)向量線性運(yùn)算化成奔馳定理的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)奔馳定理得出各三角形面積之間的比例關(guān)系.
例2已知點(diǎn) P 為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 
，則△APB與 ΔABC 的面積之比等于
解析：因?yàn)?
，所以 
整理為 
由奔馳定理推 論，得 
0
此題點(diǎn) P 在 ΔABC 外部，化簡(jiǎn)得到的奔馳定理形式中 x，y，z 會(huì)有負(fù)數(shù)出現(xiàn)，此時(shí)直接使用奔馳定理
推論即可.
例3已知點(diǎn) P 為 ΔABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 
，則 ΔAPB 與 ΔABC 的面積之比等于（ ）.
D.1
解析：因?yàn)?
，所以（204號(hào) 
，即點(diǎn) P 在邊 AC 上，且 
，所以點(diǎn) P 到 AB 邊的距離等于點(diǎn) c 到 AB 邊距離的
3，則 
.故選：B.
此題點(diǎn) P 在 ΔABC 的邊上，可直接判斷面積之間的比例關(guān)系，奔馳定理在此處的作用只是提供一個(gè)分析的方向.
例4文中開(kāi)頭所給的濟(jì)南市高一期末學(xué)情檢測(cè)第22題第（3）小題.
解析：因?yàn)?P 是 ΔABC 的垂心，且 
3 
，所以tan A：tanB：tanC=1：2：3
又tan 
解得tan A=1 ，或 -1
又tan A ，tan B ，tan c 同號(hào)，所以tan A=1 ，從而tan C=3
如圖4，設(shè)直線 AP，BP，CP 分別交 BC，AC，AB 于點(diǎn) D，E ，F(xiàn) ，在四邊形 CDPE 中，因?yàn)?P 是ΔABC 的垂心，所以 ∠CDP= ∠CEP=90° ，所以 ∠DPE+ ∠ACD=180° ：
圖4
又 ∠DPE=∠APB ，則 ∠APB+∠ACB=180° 所以 tan∠APB=-tan∠ACB=-3.
故 
以上4道題目都還有其他的解法，大家可以探究一下，通過(guò)比較，可以看出平面向量奔馳定理在解決這類(lèi)問(wèn)題中發(fā)揮了重要作用，是研究向量的強(qiáng)有力工具.
