直觀想象、邏輯推理、數學運算的協同路徑

立體幾何中的空間位置關系探究、空間角的度量及其綜合問題，能提供考查學生空間想象能力、邏輯推理能力、數學運算能力的平臺，歷來是高考試題命制的熱點，也是每年高考必考的基本知識板塊，每年的考查情境與設問角度雖常考常新，但是命題的宗旨具有相當的穩定性[1].解決立體幾何中的綜合問題，要結合問題的條件場景，以及考生自身的知識儲備與思維水平，選擇恰當的視角進行分析，有利于尋求問題的突破與解法的優化.

1真題呈現

（2025年新高考I卷第17題）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥ 平面 ABCD ， AB⊥AD ，BC//AD ：

圖1

（1）證明：平面PAB ⊥ 平面PAD ：

?C，D 在同一個球面上，設該球面的球心為 O

（i）證明：點 o 在平面ABCD內；

（ii）求直線 AC 與直線 PO 所成角的余弦值.

2探究解析

2.1第（1）問的證明

（1）因為 PA 上平面 ABCD AB? 平面 ABCD ，所 以 PA⊥AB

又 AB⊥AD，AD∩PA=A，AD PA? 平面PAD ，所以 ∣AB 上平面 PAD

而 AB? 平面 PAB ，所以平面PAB」平面 PAD

2.2第（2）（i）問5個視角的分析與證明

2.2.1幾何視角（降維）

欲確定一點到 P，A，B，C，D 五個點距離相等，先設法確定一個點到 四個點距離相等，關注到 這一有些“獨特”的數值，將底面直角梯形的具體情形弄清、弄透，不難發現到 A，B，C，D 四個點距離相等的點能很快確定，而該點恰巧到點 P 的距離也相等.那么在此視角的透視下，本題就可順利化歸為平面幾何問題，實現了空間問題平面化、復雜問題簡單化.

如圖2，在線段 AD 上取一點 O ，使得 OA=1 ，取線段 BC 的中點 Q ，連接 OQ ，則可得 OB=

圖2

所以 OB=OC=OD=OP ，則 o 是球心，所以點O 在平面 ABCD 內.

2.2.2代數視角1（圓心位置坐標化）

先求底面ABCD的外接圓圓心坐標，探求出該點在底面何處，球心應該在經過該點與底面垂直的直線上.由于本題為證明題，因此可以知曉，圓心即球心.

如圖3，因為 AB，AD ，|AP| 兩兩垂直，以點 A 為坐標原點，分別以 AB，AD -AP 所在直線為 x 軸、 y 軸 ?z 軸，建立空間直角坐標系.

圖3

于是點

在平面 _xAy 中，設 ΔBCD 的外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0. （204號

將 B，C，D 三點的坐標代人圓的方程，可得 ，

解得 D=0，E=-2 （20號

F=-2 ，則 x²+y²-2y-2=0 ，即 x²+（y-1）²=3 所以 ΔBCD 的外接圓圓心為 O（0，1，0） ，半徑為 R= .而 ，所

以 OB=OC=OD=OP ，即點 P，B，C，D 均在以 O 為球心，半徑為 的球面上.所以點 o 在平面 AB CD 內.

2.2.3代數視角2（球心位置坐標化）

直接求出球心坐標，通過坐標化，尋求關于 x，y z 的方程組，并求解.

如圖3所示建系，則點 .設球心 O 的 坐標為 （x，y，z） ，半徑為 R ，則有

解得 ，則球心 O（0，1，0） ，所以 O∈ 平面 ABCD

2.2.4代數視角3（中垂線方程化）

如圖3所示建系，設 ΔBCD 外接圓的圓心為 O₁ 直線 BC 的中垂線方程為 ，直線 BD 的中垂線方程為 聯立方程組，得點 O₁（0，1，0） .因為 所以 PO₁=BO₁ ，此時球心 o 即為 O₁ ，所以點 o 在平面 ABCD 內.

2.2.5代數視角4（球面方程化）

2.3.2綜合法求空間角，“作、證、求”

如圖4所示，以 OA OP 為鄰邊，作 ?AOPQ ，則 AC= .延長 CB 到點 K ，使得 BK=1 ，連接

圖4

QK ，則知 PB//QK ，且 QK=PB=2 ，則知 QK⊥BK ：所以

在△AQC中，由余弦定理，可得cos ∠CAQ= ，所求角余弦值為

3教學啟示

如圖3所示建系，設球面 o 的方程為 x²+y²+

z²+Dx+Ey+Hz+F=0 ，將 P，B，C，D 四點的坐2+√2D+F=0，

標代入，得 解得 D= ，2+√2H+F=0，

幾何法，是基于空間幾何體及其結構特征，依托直觀想象素養，合理進行邏輯推理與分析，由因至果，側重定性分析；向量法，是基于空間直角坐標系的構建，依托數學運算素養，合理進行坐標運算與探究，以算代證，側重定量分析.兩種視角各有千秋，各有利弊，只有素養全面，方法才能信手括來，選用得當.而如今的高考創建了面向全體學生的學科素養考查框架，包括邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力五種能力，因此素養的融合是能力提升的必由之路.而高考數學命題的原則，是在知識網絡的交匯點處設計試題，淡化了解題技巧，因此學科核心素養的融合是考生在知識交匯點處駕馭思想方法的宏觀保障[2].

所以球面 o 的方程為 x²+y²+z²-2y-2=0 即 x²+（y-1）²+z²=3 ，球心 O（0，1，0） ，所以點 O 在平面ABCD內.

2.3第（2）（ii）問主要視角及解析

2.3.1坐標化視角，將幾何問題代數化

因為球心 O（0，1，0） ，則 .設 與 的夾角為 θ ，則cos θ= 所以直線 AC 與直線 PO 所成角的余弦值為

立體幾何問題的綜合應用中，幾何法與向量法是比較常用的兩種基本方法.單博教授認為解法“好\"的標準之一是“簡單自然”“簡單\"就是好算，“自然”就是好想.以該標準來衡量，向量法比較好想，但計算量較大；幾何法需要作輔助線，不好想，但是計算較為簡便而所謂的“好想與不好想”“好算與不好算”也不是一成不變的，要具體情況具體分析.高考數學強調數學的通用性和工具性，關注學生未來工作、學習必須具備的知識基礎和學科主干內容，高考數學也強調綜合性，會甄別學生是否融會貫通，強調各分支內容的聯系，會甄別學生是否從整體上建構知識框架，形成合理的認知結構.因此，探究路徑的協同是考生在整體知識框架中提升認知水準的具體落實.

參考文獻：

[1]章建躍.章建躍數學教育隨想錄：下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：760-771.

[2]黃翔，童莉，李明振，等.從“四基”“四能”到“三會”條培養學生數學核心素養的主線[J].數學教育學報，2019（5）：37-40.Z