GeoGebra輔助三棱錐的棱切球教學(xué)案例

在高中數(shù)學(xué)立體幾何的教學(xué)中，三棱錐棱切球問(wèn)題的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于理解并準(zhǔn)確地找出球心和半徑，以及如何進(jìn)行證明.由于這一問(wèn)題的抽象性和復(fù)雜性，以往在不使用輔助教學(xué)軟件GeoGebra的情況下，筆者的講解往往難以達(dá)到教學(xué)目標(biāo).但通過(guò)合理使用GeoGebra進(jìn)行嘗試后，這一教學(xué)難點(diǎn)得到了有效的改善，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，與大家共同探討.

1教學(xué)分析

了解三棱錐的基本性質(zhì)和幾何特征，理解棱切球的概念及其與三棱錐的關(guān)系，掌握使用GeoGebra進(jìn)行幾何作圖和計(jì)算的方法.

通過(guò)觀察和實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直覺(jué)，提高分析和解決問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.通過(guò)實(shí)際操作，學(xué)生能夠體驗(yàn)數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合，提高數(shù)字化學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力[1].

通過(guò)解決三棱錐的棱切球問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛(ài)，激發(fā)探索欲望和好奇心；培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和團(tuán)隊(duì)意識(shí)，提高溝通交流能力；培養(yǎng)學(xué)生對(duì)科技發(fā)展的關(guān)注和認(rèn)識(shí)，激發(fā)對(duì)未來(lái)科技發(fā)展的好奇心和求知欲.

2教學(xué)過(guò)程

2.1情境引入

前面我們學(xué)習(xí)了球的概念與性質(zhì)，并且已經(jīng)接觸了空間幾何體的內(nèi)切球、外接球，那么同學(xué)們知道什么是空間幾何體的棱切球嗎？這里，我們先以正方體為例.

內(nèi)切球：如果一個(gè)球與簡(jiǎn)單多面體的各面或其延展部分都相切，且此球在多面體的內(nèi)部，則稱這個(gè)球?yàn)榇硕嗝骟w的內(nèi)切球（如圖1）.球心到多面體各面的距離相等且等于球半徑.

圖1

圖2

外接球：多面體各頂點(diǎn)同在一球面上，這個(gè)球叫做多面體的外接球（如圖2）.

棱切球：如果一個(gè)球與簡(jiǎn)單多面體的各條棱都相切，則稱這個(gè)球?yàn)榇硕嗝骟w的棱切球（如圖3）.球心到多面體各條棱的距離相等且等于球半徑.

圖3

（注：這里教師通過(guò)GeoGebra軟件從多個(gè)視角將圖形展示給學(xué)生觀察，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力.）

2.2例題分析

下面我們重點(diǎn)通過(guò)實(shí)例來(lái)解決三棱錐的棱切球問(wèn)題：

例1正四面體S-ABC的棱長(zhǎng)為4，若球 o 與正四面體的每一條棱都相切，則球 O 的表面積為（ ）.

82 A.2π B.8π 1 π D.12π 3

先讓學(xué)生獨(dú)立思考，并嘗試作出圖形，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.

再讓學(xué)生小組合作討論，嘗試用不同的方法解決這個(gè)題目.

最后，讓學(xué)生展示討論結(jié)果.

方法一：補(bǔ)形法.

作圖過(guò)程：在GeoGebra軟件中先作出正方體的直觀圖（如圖4），然后在正方體中通過(guò)連接面對(duì)角線產(chǎn)生正四面體（如圖5），此時(shí)我們就將正四面體補(bǔ)形成為正方體.

圖4

圖5

圖6

繼續(xù)作出三棱錐的棱切球（如圖6），此時(shí)利用GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)，在電子黑板上通過(guò)旋轉(zhuǎn)視角，讓學(xué)生從多角度觀察例題圖形.

可以發(fā)現(xiàn)，三棱錐的棱切球與它的每一條棱切于中點(diǎn)，那么它就與正方體的每一個(gè)面切于中心點(diǎn).

如何求棱切球的半徑呢？

過(guò)上、下、左、右切點(diǎn)作截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題（如圖7）.所以棱切球的半徑 R 等于正方體邊長(zhǎng)的一半，而正方體的邊長(zhǎng)可以由正四面體邊長(zhǎng)求出為 ，于是求得半徑 ，進(jìn)而求出棱切球的表面積為 8π 故選擇：B.

圖7

這個(gè)補(bǔ)形法簡(jiǎn)潔明了，易于操作理解.但要注意作圖的步驟，應(yīng)先作正方體，再?gòu)恼襟w中作出正四面體.還有其他方法嗎？

方法二：幾何法[2].

我們可以從幾何的角度出發(fā)，去找棱切球的球心，通過(guò)相切建立代數(shù)關(guān)系，求出棱切球的半徑.那么如何操作呢？

根據(jù)正四面體的對(duì)稱性，球心應(yīng)該在正四面體的高線上.利用GeoGebra軟件先作出正四面體及棱切球的直觀圖（如圖8、圖9），此時(shí)利用GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)，在電子黑板上通過(guò)旋轉(zhuǎn)視角，讓學(xué)生從多角度觀察例題圖形.

圖8

圖9

如圖9，球心在高線SO上，設(shè)球心為 G ，再找到棱切球與其中一條側(cè)棱的切點(diǎn) E .那么，如何建立代數(shù)關(guān)系求半徑 R 呢？

我們可以將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，過(guò) s，o AA 三點(diǎn)取載面（如圖10、圖11），根據(jù)球與棱相切，可以得到垂直關(guān)系 GE⊥SA ，且 E 是SA的中點(diǎn)，棱切球的半徑 R=GE .按下來(lái)利用 RtΔSOA～RtΔSEG .就可以求出棱切球的半徑 R

圖10

圖11

在 RtΔSOA 中， （204號(hào)，再由相似比建立方程 ，求出半徑 R=GE= ， ，進(jìn)而可知棱切球的表面積為 8π 故選擇：B.

這個(gè)方法需要有較強(qiáng)的空間想象能力和較強(qiáng)的化幾何為代數(shù)、化空間為平面的思維，而且這個(gè)方法是通用方法.同學(xué)們可以利用GeoGebra軟件多體會(huì)一下空間幾何體的立體結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)空間思維想象能力.

方法三：向量法.

我們還可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來(lái)求棱切球的半徑.以正四面體其中一個(gè)面為底面，找到底面正三角形ABC的中心 o ，以O(shè)A為 軸，垂直于OA的直線為 x 軸， 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖12）.

圖12

容易知道，球心 G 一定在 z 軸上，設(shè)球心坐標(biāo)為

G（0，0，h） ，根據(jù)球與棱SA切于中點(diǎn) E ，且 GE⊥SA .故可以通過(guò) 建立方程求出 h ：

由已知條件可知 則 ，于是 所以有 ，即 ，解得 此時(shí) 則 ，從而可知棱切球的表面積為 8π. 故選擇：B.

這個(gè)方法的核心是利用垂直關(guān)系建立向量的等式，進(jìn)而求出棱切球的球心坐標(biāo)，

2.3方法總結(jié)

我們總結(jié)一下以上三個(gè)方法.方法一為補(bǔ)形法，此方法最簡(jiǎn)單，但不是很通用；方法二是核心方法，重點(diǎn)是空間想象能力的培養(yǎng)，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；方法三是空間向量法，在不好利用幾何法時(shí)可以用這個(gè)方法，缺點(diǎn)是計(jì)算較為復(fù)雜.

例2已知正三棱錐S-ABC中， SA=SB=SC= AB=3 ，球 o 與三棱錐S-ABC的每一條棱都相切，則球 O 的表面積為

首先利用GeoGebra軟件作出圖形（如圖13），此時(shí)利用GeoGebra軟件的優(yōu)勢(shì)，在電子黑板上通過(guò)旋轉(zhuǎn)視角，讓學(xué)生從多角度觀察例題圖形，然后獨(dú)立思考解決問(wèn)題的方法.那么，棱切球的球心在哪里，切點(diǎn)在哪里？

圖13

圖14

我們把視角停留在如圖14，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以棱切球的球心 G 一定在高線SO上，設(shè)球的半徑為 R ，棱切球與棱SA， AB 分別切于點(diǎn) E，D ，且D 為 AB 的中點(diǎn)，則可得 R=GE=GD，GE⊥SA .GD⊥AB

如圖15，在 RtΔSOA 中， ，SO=3，∠OSA=30^°. （202

如圖15，在 RtΔSEG 中， R=GE ， ∠ESG=30^° SG=2R ，則 GO=3-2R ：

在 RtΔODA 中，

圖15

圖16

如圖16，在 RtΔGOD 中， R=GD OG²+OD²= R² ，即 ，解得 .又因?yàn)镽 ，則 .故棱切球的表面積為

幾何法是解決此題的最好方法，補(bǔ)形法和空間向量法就不太合適，所以這里我們突出幾何法的思想，利用空間想象將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.這種思想不僅適用于三棱錐的棱切球問(wèn)題，也可以適用于其他的空間幾何問(wèn)題.

3課后總結(jié)及反思

通過(guò)利用GeoGebra解決三棱錐棱切球問(wèn)題的教學(xué)案例，我們看到了3D動(dòng)態(tài)幾何軟件在立體幾何教學(xué)中的巨大潛力.這種融合GeoGebra的教學(xué)方式不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力.未來(lái)，我們應(yīng)進(jìn)一步探索GeoGebra在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，為學(xué)生提供更加豐富、多樣的學(xué)習(xí)體驗(yàn).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]徐敏.GeoGebra輔助棱錐的外接球教學(xué)案例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（23）：71-73.Z