各向異性背景下傾斜裂縫儲層的地震波頻散和衰減特征

中圖分類號：P631 文獻標識碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000?7210. 20240279

Abstract：Underground rocks commonly feature multiscale fractures，which induce fluid motion relative to solid when seismic waves pass through them and thus lead to wave dispersion and attenuation. However，most cur? rent rock physics models assume background media to be isotropic and consider fractures that are horizontally or directionally oriented，often overlooking the elastic properties of rocks with fractures of varying orientations and inclinations across different frequency ranges and less analyzing seismic attenuation caused by fractures. In this regard，this study constructs a rock physics model of fractures oriented in arbitrary directions within a trans? versely isotropic（TI）background. Based on the linear slip fracture model，this study reconstructs the expres? sion form of compliance matrix of fractured rocks for the model under the low ?frequency and high?frequency limits，constructs the frequency?dependent compliance matrix of fractured rocks，and incorporates fluid by using the Gassmann equation to develop a physics model for rocks with inclined fractures under the TI background. Using this model，this study analyzes how fluid ? filled fractured rock velocity and attenuation vary with fre? quency ，fracture inclination and azimuth angle ，and quantitatively assesses the influence of background aniso? tropy on elastic properties of fracture media. The results demonstrate significant impacts of fracture inclination and azimuth angle on velocity and attenuation changes. This study underscores the effects of background aniso? tropy on both velocity and attenuation of fractured rocks，highlighting varying effects across different frequencies. Keywords：rock physics model，fracture，anisotropy，dispersion，attenuation

李林鑫，漆喬木，李小斌，等. 各向異性背景下傾斜裂縫儲層的地震波頻散和衰減特征［J］. 石油地球物理勘探，2025，60（3）：718?727.LI Linxin ，QI Qiaomu ，LI Xiaobin ，et al. Seismic dispersion and attenuation of inclined fractured reservoirunder anisotropic background［J］. Oil Geophysical Prospecting ，2025 ，60（3）：718?727.

0 引言

裂縫在各種巖石中廣泛分布，能夠提供額外的空間供流體流動，從而顯著提高地層的有效滲透性，且對油氣的富集起著重要作用[1]。此外，裂縫可以顯著降低巖石的彈性模量，并導致巖石物理性質的各向異性。因此，裂縫一直是巖石物理學和地震勘探研究的重要對象。為了準確地表征和評價裂縫儲層，可以使用裂縫巖石物理模型去表征其物理性質。裂縫巖石物理模型是聯系巖石基本物理參數與地球物理觀測資料之間的橋梁，在地震波場特征分析和地震資料解釋中起著舉足輕重的作用。當波通過地下含流體的巖石時，通常會產生速度頻散和能量衰減。描述這種頻散效應而被廣泛接受的理論是波致流（WIFF）[2]。

當 P 波垂直于裂縫傳播時，裂縫散射的波場由一個運動方程控制，這是散射理論的基礎[3]。這種波在裂縫儲層中傳播問題類似于彈性介質中裂縫的散射問題。特別地，Robertson[4]在柱坐標系中將這一問題描述為波場在 Hankel 變換下的對偶積分方程系統，隨后將其簡化為第二類 Fredholm 方程。對于流體飽和的多孔材料，其相互作用不同于相應的彈性散射，因為它涉及到由波引起的孔隙流體在裂縫和孔隙之間的流動。這種效應對于薄裂縫尤其顯著，因為薄裂縫儲層的高順應性（與相對堅硬的孔隙儲層相比）會導致流體在波動過程中流入和流出裂縫。Galvin 等[5]指出，造成散射的原因主要是波誘導的孔隙和裂縫之間的流體流動。散射幅值取決于裂縫相對于慢波波長的大小，當它們的數量級相同時，散射幅值最大。

為了更好地研究裂縫巖石的彈性特性，許多學者建立了多種裂縫巖石物理模型。對于具有各向同性背景且含有硬幣型裂縫的簡單巖石，Hudson[6?7]基于彈性波場散射理論，推導了裂縫巖石有效彈性模量。在此基礎上，Hudson 等[8]深入研究了孤立硬幣型裂縫對裂縫巖石整體性質的影響，其目的是為模擬波長大于裂縫尺寸的彈性波傳播提供有效的介質模型，但是 Hudson 模型假設裂縫密度和裂縫縱橫比較小，因此應用條件嚴格。Schoenberg 等[9?10]給出了不同類型裂縫系統的裂縫巖石附加柔度矩陣的計算公式，例如單斜裂縫、橫向各向同性（TI）背景下的裂縫等，還基于線性滑移理論描述了裂縫對巖石彈性性質的影響。Thomsen[11]研究了 TI 背景下的彈性參數，提出 Thomsen 三參數描述不同 TI 背景下的彈性模量。Chapman[12]研究了介觀裂縫與孔隙之間的流體流動，建立了流體、裂縫和孔隙共存的介質模型，并能區分裂縫和孔隙產生的各向異性，或者從地震數據預測裂縫尺度。Chapman[13]還考慮兩組裂縫的共同作用，建立了兩組不同大小和方向的裂縫組模型，能夠對實際地層的地震波頻散、衰減、各向異性給出合理的解釋。Galvin 等[14]利用已知的低、高頻柔度矩陣的表達式，將法向入射擴展到斜入射，給出了定向排列裂縫的全局頻變彈性模量（Galvinamp; Gurevich 模 型）。 Guo 等[15?16]將 裂 縫 形 態 從 無 限厚度拓展到有限厚度，并分析了周期性平面裂縫儲層、隨機間隔平面裂縫儲層和硬幣狀裂縫儲層的全角度地震波頻散特征。

雖然上述研究提出了許多裂縫巖石的等效介質模型，但目前對具有背景各向異性的巖石中傾斜裂縫的研究很少[17]。在許多裂縫地層中，背景介質是由薄互層組成，可以表現出固有的 TI 特性[18]。通過研 究 TI 背 景 下 的 埃 舍 爾 比 張 量 ，Sevostianov 等[19]推導了相應的附加柔度矩陣；許松等[20]通過散射理論的球面等效方法，計算了 TI 背景中嵌入裂縫的巖石彈性參數。然而，這兩種模型的裂縫都僅限于垂直或平行各向同性界面。為了克服這一限制，Guo等[21]研究了在 TI 背景下、裂縫以任意角度傾斜時的巖石彈性特性，分析了不同傾角下干裂縫與飽和裂縫速度隨入射角的變化，及剛度矩陣中彈性系數隨裂縫傾角的變化。Li 等[22]在 Guo 等[21]的基礎上研究了傾斜裂縫介質的速度隨方位角變化。這些研究雖考慮了背景各向異性，但未充分考慮裂縫介質中流體作用導致的速度頻散和能量衰減。凌勛等[23]改進和擴展了相關的頻散巖石物理模型， 將松弛函數附加到裂縫柔度矩陣上，構建依賴頻率的裂縫巖石柔度參數。陳天杰等[24]基于正交各向異性（OA）介質頻率相關的 AVAZ（OA?FDAVAZ）反演預測裂縫含氣性，并運用 Christoffel 方程求解正交各向異性下裂縫巖石的速度與衰減。

本 文 依 照 Galvin amp; Gurevich 模 型[14]裂 縫 柔 度矩陣低高頻極限之間的關系，構建了依賴頻率的傾斜裂縫柔度矩陣計算流程。同時考慮到背景各向異性對裂縫巖石性質的影響，通過松弛函數建立依賴頻率的法向模量，得到依賴頻率的附加柔度矩陣，與背景介質求和后，通過各向異性 Gassmann 方程求取完整的含流體頻變模量。最后，通過求解 Chri?stoffel 方程獲得任意傳播方向的傾斜裂縫巖石速度和衰減參數。相較于前人的模型，本文提出的方法可以研究傾斜裂縫巖石衰減隨傾角、方位角和頻率的變化。由于構建了背景各向異性介質中依賴頻率的裂縫巖石法相模量，本文還研究了不同頻率下背景各向異性對速度和衰減的影響。數值模擬結果表明，地震波頻率不同，背景各向異性對速度、衰減的影響也不同。

1 裂縫巖石物理模型構建方法

1. 1 干裂縫巖石物理模型構建

如圖 1 所示，裂縫與各向同性平面（即 x₁-x₂ 平面）之間的夾角（裂縫傾角）為 θ ，裂縫與垂直于各向同性平面（即 x₂-x₃ 平面）之間的方位角為 φ ，則單位裂縫法線的三個分量可以用 θ 和 φ 表示為

則三維傾斜的裂縫的單位法向向量可以表示為

n=（sinθcosφ，sinθsinφ，cosθ）

對于考慮背景各向異性的干裂縫巖石，其柔度矩陣最早由 Sevostianov 等[19]提出，為

式中： S^dry 和 s 分別為干裂縫巖石和 TI 背景介質的柔度張量； T 為干裂縫巖石的附加柔度張量； c 為背景介質的剛度矩陣。附加柔度張量 T 可用二階張量和四階張量求和表示為

式中： i，j，k，l=1～3 ；張量 α 和 β 為

圖1 在橫向各向同性背景下嵌入任意定向裂縫的巖石模型示意圖（波沿 x₁ 軸方向入射）

其中： N 為單位體積內裂隙的數量。結合式（4）、式（6）和式（7），對于一組裂縫任意傾斜的介質，可以將 T 寫為一個二階張量與一個四階張量的和（將下標改寫 111，222，333，234，135，126， ，寫成Voigt 6×6 的矩陣形式），則有

式中： θ 和 ? 為關于傾角和方位角的對稱矩陣，具體表達式為

Z_N 和 Z_T 分別為干裂隙巖石的法向和切向模量，可表示 為[21]

彈性參數 B₁，B₃，B₄ 、裂縫密度 e 可以表示為

其中： a 為 x₁-x₂ 平面上的裂縫半徑； V 為參考體積。根據式（17）計算得到的裂縫密度，后文建模直接使用裂縫密度進行計算。

1. 2 依賴頻率的飽和裂縫巖石物理模型

在一個完整的地震波周期內，在壓縮期，流體從軟的非均勻孔隙流到背景硬孔中；在膨脹期，流體又從背景孔隙中流動到非均勻軟孔中。頻率足夠低時，波的周期很長，流體在半周期內有足夠的時間流動，使得巖石處處壓力均衡，這種狀態稱為低頻極限狀態；頻率足夠高時，波的周期很短，這導致流體在半周期內幾乎沒有時間去流動，這種狀態稱為高頻極限狀態[2]。

在低頻極限狀態，巖石各處的流體壓力相等，低頻極限采用干背景介質和干裂縫組合，然后通過Gassmann 方程描述。流體飽和的任意各向異性巖石柔度矩陣的低頻極限可用各向異性 Gassmann 方程簡化形式表示為[25]

式中： i，j=1～6;S^sat 為低頻極限下飽和裂縫巖石的柔度矩陣； P_t 為總孔隙度；角標“sat”“g”和“f”分別表示飽含流體巖石、礦物顆粒和流體； ψ 為

ψ 為壓縮系數

將式（5）代入式（18）以求取低頻極限下添加流體的飽和裂縫介質的柔度矩陣，即背景空隙空間含流體的影響。為便于描述，寫成

S_lf⁰=S+T_lf^sat

式中： S_lf⁰ 為未添加流體作用的低頻極限巖石柔度矩陣，角標“lf”表示低頻極限； T_lf^sat 表示低頻極限時飽和裂縫介質的附加柔度矩陣，其在低頻極限時與干裂縫介質相同，即 T_lf^sat=T_c 。

但是當高頻波通過巖石時，裂縫中的流體不能動，這時流體會擠壓裂縫，改變裂縫的狀態，體現為裂縫巖石會變得更硬。所以在高頻極限下采用與低頻極限下未添加流體柔度矩陣相對應的形式描述[14]

S_hf⁰=S+T_hf^sat

式中： S_hf⁰ 為未添加流體作用的高頻極限巖石柔度矩陣，角標“hf”表示高頻極限； T_hf^sat 表示高頻極限下飽和裂縫介質的附加柔度矩陣。

對于長寬比較小的裂縫，在高頻極限下，法向模量 Z_N=0，Z_T 與干裂縫介質相同[14] 。在低頻極限下，法向模量 Z_N≠0 。波通過巖石時會對流體產生影響，不同的流動尺度導致了速度和衰減隨頻率的變化。這種流動方式不會受到背景各向異性的直接影響，主要受裂縫尺度的影響。因此背景各向異性中的流體流動方式和各向同性背景中一致，從而擁有相同的松弛函數。但背景各向異性會影響裂縫參數，如式（12）和式（13）所示，從而間接影響到最終的頻散和衰減。對照巖石的低、高頻極限附加柔度矩陣，裂縫模型的松馳函數可表示為[15?16]

式中 和 τ 的計算參見附錄 A 。

結合式（12）和式（13），可以建立各向異性背景下，裂縫介質法向模量與頻率的關系

Z_N（ω）=Z_Nf_fra（ω）

將得到的依賴頻率的法向模量代入式（8）可得到依賴頻率的附加柔度矩陣。將依賴頻率附加柔度矩陣與背景柔度求和可以得到裂縫巖石的柔度矩陣S_ij^°（ω）=S_ij+T_ij（ω） ，代入各向異性 Gassmann 方程（式（18））添加流體作用得到完整的飽和巖石頻變柔度矩陣。將巖石頻變柔度矩陣求逆得到的剛度矩陣代入 Christoffel 方程[26]，可以獲得彈性波速度和品質因子 Q 。

2 數值模擬

本文依照 Galvin amp; Gurevich 模型，通過線性滑移理論得到干燥傾斜裂縫柔度矩陣，再通過松弛函數將低、高頻極限聯系起來，然后通過各向異性

Gassmann 方程進行流體添加，最終建立飽和傾斜裂縫巖石物理模型。當波沿 x₁ 軸方向入射、TI 背景平行于 x₁-x₂ 平面時，此時構成的背景介質為 HTI 介質。巖石物性參數由表 1 給出，飽和裂縫中的流體參照水的參數。樣品的彈性常數由 Wang^[17] 測量得到，為具有 TI 背景的致密砂巖樣品，具體參數為：C₁₁=47.31 GPa， C₁₂=7.83 GPa， C₁₃=5.29 GPa，C₃₃=33.89 GPa ， C₆₆=19.74 GPa 。 同 時 ，選 取C₁₁=47.31GPa ， C₁₂=7.83GPa 作為各向同性背景的兩個參數。

表1 裂縫物性參數

2. 1 各向同性和 TI 背景下速度、衰減隨頻率的變化規律

2. 1. 1 方位角固定、傾角改變時

固定方位角為 0^° ，縱波沿 x₁ 軸方向入射，計算不同傾角下傾斜裂縫速度、衰減隨頻率變化（圖 2）。

圖2 固定裂縫方位角為 0^° 、不同傾角時速度（a）和衰減（b）隨頻率的變化曲線左： θ=0^° ；中： θ=45^° ；右： θ=90^°

從圖 2 左可以看出，當傾角為 0^° 時，在低頻和高頻區保持不變，在中間頻帶 （10～100Hz） ）速度隨頻率增大而增大；各向同性背景下速度整體低于 TI 背景，而各向同性背景下的衰減大于 TI 背景。從圖 2 中、圖 2 右可以看出，當傾角為 45^° 和 90^° 時，速度、衰減隨頻率變化規律不變，但各向同性背景下的速度整體高于 TI 背景，衰減則小于 TI 背景。頻率相同時，隨著傾角的增大，速度下降、衰減增大。

2. 1. 2 傾角固定、方位角改變時

固定傾角為 90^° ，分析不同方位角下裂縫介質縱波速度、衰減隨頻率變化（圖 3）。由圖 3 左、圖 3 中可以看出，當方位角為 0^° 和 45^° 時，速度在低頻和高頻區保持不變，在中間頻帶 （10～100Hz） ）隨頻率增大而增大；各向同性背景下的速度高于 TI 背景，衰減低于 TI 背景。由圖 3 右可以看出，當方位角為90^° 時，各向同性背景下的速度低于 TI 背景，衰減大于 TI 背景。速度、衰減隨頻率變化規律不變。頻率相同時，隨著方位角的增大，速度增加、衰減減小。

2. 2 各向異性、各向同性背景下速度、衰減隨傾角、方位角變化規律

固定頻率為 10、100 和 1000Hz ，分別計算各向同性、TI 背景下的速度和衰減隨傾角、方位角的變化。

2. 2. 1 隨傾角變化規律

圖 4 左是方位角為 0^° 時，速度、衰減隨傾角變化曲線， 100.1000Hz 的縱波速度在傾角 90^° 時取極大值， 10Hz 的縱波速度在傾角 90^° 取極小值。衰減在傾角為 90^° 時取極大值。在有效頻段內，頻率越高速度越高；越靠近 100Hz ，衰減越強。

圖 4 中是方位角為 45^° 時，速度、衰減隨傾角變化曲線，速度在傾角為 90^° 時取極小值，衰減在傾角為 90^° 時取極大值。

圖 4 右是方位角為 90^° 時，速度、衰減隨傾角變化曲線，各向同性背景下速度、衰減幾乎不隨傾角發生改變；TI 背景下速度、衰減隨傾角產生變化，但變化較小，說明背景的改變會影響速度、衰減的變化。

綜合來看，當頻率升高時，TI 與各向同性背景下的速度差異減小，衰減的差異變化較小。頻率不同時，背景各向異性對速度、衰減的影響會發生改變。

2. 2. 2 隨方位角變化規律

圖 5 左是傾角為 0^° 時速度、衰減隨方位角變化曲線，各向同性、TI 背景下的速度、衰減幾乎不隨方位角變化，這種情況下，裂縫附加柔度矩陣僅與法向模量 Z_N 、切向模量 Z_T 有關，與裂縫方位角無關，但兩種背景下速度、衰減均有差異。圖 5 中是傾角為 45^° 時速度、衰減隨方位角變化曲線，速度在方位角為90^° 時取極大值，衰減在方位角為 90^° 時取極小值。圖 5 右是傾角為 90^° 時，速度、衰減隨方位角變化曲線， 10，100，1000Hz 的縱波速度均在方位角 90^° 時取極大值；衰減在方位角 90^° 時取極小值。在有效頻段內，頻率越高速度越高，越靠近 100Hz 衰減越強。綜合來看，當頻率升高時，TI 與各向同性背景下的速度差異減小，衰減差異的變化較小。頻率不同，背景各向異性對速度和衰減的影響會不同。

圖3 固定裂縫傾角為 90^° 、不同方位角時速度（a）和衰減（b）隨頻率的變化曲線左： φ=0^° ；中： φ=45^° ；右： φ=90^°

圖4 不同頻率、不同方位角時速度（a）和衰減（b）隨傾角的變化曲線

圖5 不同頻率、不同傾角時速度（a）和衰減（b）隨方位角的變化曲線左： θ=0^° ；中： θ=45^° ；右： θ=90^°

2. 3 極坐標系下速度、衰減隨裂縫傾角和方位角變化

縱波頻率固定為 100Hz ，在極坐標系下觀察 TI背景下速度和衰減隨傾角、方位角的變化規律（圖 6）。由圖 6 可以看出，當波沿 x₁ 軸入射（如圖 1 所示）、方位角為 0^° 時，速度隨傾角變化較小；方位角為 45^° 和 90^° 時，速度隨傾角的增大先減小后增大，衰減在裂縫傾角為 90^° 時有峰值，在傾角為 0^° 時有極小值。速度、衰減隨傾角的變化規律與隨方位角的變化規律基本相似，因此省略。

圖6 頻率固定為 100Hz 時速度（a）、衰減（b）隨傾角、方位角的變化

2. 4 各向異性背景引起的速度、衰減差異隨方位角、傾角變化

應用三維視圖更形象地表征背景各向異性對于速度、衰減的影響。

2. 4. 1 速度差值隨方位角、傾角的變化

圖 7 是頻率為 10，100，1000Hz 時各向同性與TI 背景下速度差值隨裂隙方位角、傾角的變化曲面。當頻率為 10Hz 時，速度差異在傾角為 90^° 、方位角為 0^° 時最大。當頻率為 100Hz 時，速度差異在傾角為 90^° 時、方位角為 0^° 時有極小值，在傾角、方位角都為 90^° 時有最小值，差值相較于頻率為 10Hz 時減小。當頻率為 1000Hz 時，速度差異在傾角為 90^° 時、方位角為 0^° 時有極小值，在傾角、方位角都為 90^° 時有最小值，相較于 100Hz ，差值減小，相較于 10Hz 當然更小。總之，在有效頻段內，隨著頻率的增加，各向同性與 TI 背景下速度差值變小。

2. 4. 2 衰減差值隨方位角、傾角的變化

圖 8 是頻率為 10，100，1000Hz 時各向同性與TI 背景下衰減差值隨裂隙方位角、傾角的變化曲面。無論頻率為多少，衰減差異在傾角為 90^° 、方位角為 0^° 時達到最大，但該差異隨著頻率增高而在減小。

圖 7 頻率分別為 10（a）、100（b）、 .1000Hz（ （c）時各向同性與TI 背景下的速度差隨裂隙方位角、傾角的變化

圖 8 頻率分別為 10（a）、100（b）、 、1000Hz（c） 時各向同性與TI 背景下的衰減差隨裂隙方位角、傾角的變化

結合圖 4～ 圖 5 可以看出，頻率為 10Hz 時，各向同性與 TI 背景下的速度差異最大；頻率為 1000Hz 時，該差異變得很小。

3 結論

本文依據線性滑移理論與 Galvin amp; Gurevich模型，分別建立了各向同性背景下和 TI 背景下的含流體飽和傾斜裂縫儲層巖石物理模型。由模型計算得到以下幾點認識。

（1）當裂縫僅在 x₁-x₂ 平面旋轉，或裂縫僅在 x₂- x₃ 平面傾斜時，縱波速度與衰減變化不明顯。當裂縫傾角和方位角同時變化時，縱波速度和衰減的變化明顯。即裂縫旋轉、傾斜程度越強，衰減越大。

（2）背景各向異性還可以通過裂縫傾斜、旋轉程度影響速度以及衰減。在低頻時，裂縫傾斜的程度越強，旋轉的程度越弱，背景的影響越明顯，裂縫在傾角為 90^° 、方位角為 0^° 時，不同背景的速度差異最大；但在高頻時，裂縫受旋轉、傾斜程度影響會發生改變，裂縫在傾角 45^° 、方位角為 45^° 時，不同背景速度差異最大。

本文提出的模型能有效模擬不同各項異性背景下裂縫儲層彈性性質，能為裂縫儲層定量地震預測提供理論依據。

附錄 A 松弛函數中參數計算方法

時間尺度 τ 、形狀參數 的計算公式分別為

式中： 分別為飽和裂縫巖石和背景巖石的 P波模量，又分別稱為高頻極限和低頻條件下的 P 波

模量； W 和 G 為相對應的頻散控制參數[27]，分別為

（2-4χ_bM_bχ_bM_b+3χ_b²g_b²）ηa²e

其中： κ_b 為背景介質滲透率； χ_b=1-K_b/K_g 是背景介質 Biot?Willis 系數； μ_b 為干背景巖石的剪切模量；K_b?K_g?K_f 分別為背景巖石骨架、礦物顆粒以及流體的體積模量； P_b 為背景介質孔隙度； η 是流體黏滯系數； g_b=μ_b/L_b;L_b=λ_b+2μ_b 為干燥背景巖石 P 波模量， λ_b 為背景介質的拉梅系數； e 是裂縫密度； a 為裂縫半徑。

高頻飽和背景巖石 P 波模量 E_s=λ_b+2μ_b+ χ_b²M_b ；低頻含裂縫巖石飽和 P 波模量 E₀ 為

參 考 文 獻

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（本文編輯：宜明理）

作 者 簡 介

李林鑫 碩士研究生，2001 年生；2023 年獲成都理工大學勘查技術與工程專業學士學位；現在成都理工大學攻讀地質資源與地質工程專業碩士學位，主要從事巖石物理方面的學習和研究。