“三一學法”在高中數學教學中的實踐探索

【關鍵詞】高中數學；三一學法；一題多解；一解多題；一題多題【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2025）27-0038-04

《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂》（以下簡稱“新課標”提出，要以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。面對數學問題，如何啟發學生進行思考？筆者認為可以從下面三個維度去研究：第一，引導學生發散思考，從多個角度尋找問題的解決方法；第二，引導學生進行歸納，探索不同問題的共同解法；第三，讓學生學會提出問題，通過問題的生長啟發學生進行深度思考。上述問題研究的方法就是“三一學法”，又稱“三一思考法”，是指在學習過程中自覺運用\"一題多解、一解多題、一題多題”的思考要求進行探究性學習。“三一學法\"本質上是一種養成多角度思考問題、一般化認識與解決問題、跨界延伸汲取營養產生新問題的積極思維方式。運用“三一學法”，可以引導學生時時處處思考，讓訓練慢下來、思考深度化，推動知識關聯化、本質化。2]

“一題多解\"“一解多題”和\"一題多題\"三者沒有必然的先后順序，而是相互聯系、相互作用、相互融通的（如圖1）。三者之間形成了一個完整的認知生態系統，共同推動學生思維能力的提升。在“一題多題”的探究過程中，學習者往往會經歷一個由表及里、由淺人深的認知過程。當面對一個核心問題時，通過深人分析其本質特征，學生將會發現該問題可能對應著多種不同的解法路徑，這便涉及“一題多解”的思維過程。同時，在拓展問題邊界的過程中，學生又會意識到不同問題可能共享相同的解題策略，這又體現出“一解多題”的思維特征。因此，“一題多題\"中蘊含“一題多解\"和“一解多題”。在“一解多題”的過程中，我們通過將同一解題方法應用于不同問題情境，不僅能強化學生對方法的普適性理解，更能觸發他們多維度的思維拓展。一方面，通過對解法的遷移應用，學生能夠識別不同問題間的內在關聯，從而構建起“一題多題\"的問題網絡；另一方面，通過具體的問題啟發學生進行發散思考，可以引導其發掘更多解法，實現對“一題多解”的探索。在“一題多解”的過程中，當學生深入分析某一解法的本質特征時，會發現其適用范圍往往超出原問題本身，從而導向“一解多題”的思維路徑。同時，通過變化原問題的條件，可以派生出一系列的新問題，形成“一題多題”的問題鏈，可見，“一題多解”也離不開“一解多題\"和\"一題多題”。

（圖1）

“三一學法\"對教學提出了更高的要求，不再是傳統的“一題多解”，而是要通過對一個問題的深度分析與拓展，加深學生對數學的認識，完善他們的知識與方法結構，達到“舉一反三”的效果，從而提升學生的數學能力與素養。本文將嘗試以一道教材例題的講評為例，展現“三一學法\"在實踐教學的運用過程。

例題設 x，y 為實數，已知 則 sin（x-y） 的值為 。

例題分析：這道例題來源于蘇教版高中數

學教材必修二，教材的習題部分多次出現相似

的問題條件。例如，第57頁練習第5題“已知

，求 cos（α-β） 的

值。\"第61頁練習第3題\"已知 新

（204號 求 sin（α+β） 的值。\"第61頁練習

第5題“已知sinα-cosβ=-2， sin（α-β） 的值”。學生熟悉該問題的背景，但是在解題的時候卻處處碰壁，無法找到解決問題的突破口。

一、一題多解，引導學生發散思考

學生利用已有的方法無法解決問題，是高中數學課堂教學的常態，此時學生需要利用求異思維沖破思維定式的束縛，從多個角度認識問題，探究解題思路。一題多解\"的本質是探究性學習，要求學生發散思考，深化對問題的理解，在解法探究過程中實現數學知識遷移和思維發展。因此，在課堂上教師可以通過給予學生充分的思考時間與交流時間，利用小組合作啟發學生思考，突破思維難點，尋找解題突破口，從而得到多種解法。

法1：將條件中的兩個等式平方相加或相減，分別得到 ，借助三角函數的平方差公式得到 ，因此 sin $（ x - y ） = ＼frac { 3 } { 5 } 。$

法2：利用誘導公式對條件進行變形得到 和 3，借助和差化積公式求得 ，利用萬能公式得到 即 sin（x- $y ） = ＼frac { 3 } { 5 } 。$

法3：由條件得到 sinx+cosy=2（cosx+siny）

利用輔助角公式得到 x 與 y 的關系，最后利用輔

助角的萬能公式求得 中

法4：因為 x=（x-y）+y，y=x-（x-y） ，所以借助角的變換得到所求角的三角函數關系，即 ，利用方程組求解得到 $＼sin （ x - y ） = ＼frac { 3 } { 5 } 。$ （204號

法5：已知 sin²x+cos²x=1，sin²y+cos²y=1 ，再加條件中的兩個等式得到關于 sinx，cosx，siny cosy的四個方程，解方程得到

“三一學法\"的“一題多解”與傳統的“一題多解”不同，特別強調“呈現多種解法之后，引導學生分析解法之間的關系，比較解法之間的優劣”。法1、法4與法5的本質都是建立方程并解方程，然后利用方程的解來表示所求的式子，體現了方程思想。法2與法3的本質是尋找角之間的關系，從而將角之間的關系轉化為函數之間的關系去解決。尋找角之間的關系對于學生來講，思維難度大但是運算水平要求低，而建立方程雖然容易想到但是實際運算復雜。因此，對于此題，最優的解法應該是“尋找角之間的關系”，學生掌握這種方法，可以提升思維水平，高效解決問題，從而實現從“一題多解\"到“一題優解”。

二、一解多題，引導學生歸納本質

在數學課堂上，我們經常會碰到“一題多解”的情況，但是卻很少碰到“一解多題”的情況。因為“一解多題”即“問題不同，解法相同”，需要學生在平時的解題過程中不斷積累經驗，進行歸納總結。與“一題多解”的求異思維不同，“一解多題”強調求同思維，要求學生掌握方法的本質。

教材習題1已知 2，cosa + ，求 cos（α-β） 的值。

教材習題2 已知 2，cosa + ，求 sin（α+β） 的值。

教材習題3 已知 求 sin（α-β） 的值。

教材習題4證明下列恒等式： sin⁴α+ cos⁴α=1-2sin²αcos²α （2

教材習題5 證明下列恒等式：

教材習題6 已知 ，求sin2α 的值。

教材習題7 π），求tanα的值。

通過對這7道教材習題的比較研究，學生可以發現：這些問題的條件雖然不同，但是解法一樣。例如，教材習題1一3的解法都是將條件中的兩個等式兩邊同時平方，然后相加，利用同角的正弦與余弦的平方和等于1從而簡化問題。法1和法5也是利用同角正弦與余弦的平方和等于1，只不過比教材習題的綜合性更強，解法1需要借助三角函數的平方差公式，解法5需要求解四元方程，對學生的知識儲備和運算能力提出了更高的要求。教材習題4—7也是利用同角的三角函數關系，這與本文的例題和教材習題1一3的解法是一樣的，從數學的本質來分析就是“一解多題”—多個問題對應著同一種解法，這是歸納思維的體現。在平時的教學中，教師可以通過“一解多題\"強化學生對解決問題的通性通法的掌握，以“四基”為抓手真正培育學生的數學學科核心素養。

三、一題多題，引導學生深度學習

“一題多題\"不是簡單的重復訓練，也不是變式訓練，而是教師引導學生對問題進行深度思考與探究之后的拓展與延伸。學生通過查閱資料、小組討論、教師點撥之后提出一系列新問題，這些問題可以是與此題相關的教材習題、高考題、模擬題，從而幫助學生歸納數學問題結構；也可以是命制的新問題，以培養學生發散思考的能力，讓學生從“解題者\"轉變為\"命題者”。通過這個過程，學生既鞏固了所學知識與方法，又加深了對數學的理解，有效提升了提出問題和解決問題的能力。

問題1 已知 的值。

【設計意圖】強化學生對和差化積公式的應用，引導學生重視基礎知識的復習，問題的目標指向性明確，屬于基礎題。

問題2 已知 α，β 都是銳角，且滿足 cosβ= 則（ ）。

【設計意圖】這個問題是一道高考題，考查學生的“切化弦”兩角和的正弦公式和三角函數的誘導公式等基礎知識與方法，強化學生研究角之間關系的意識。單選題的設置啟發學生思考角之間的關系，降低問題的抽象程度與難度，便于學生接受，屬于中檔題。

問題3 記 ΔABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 _a，b，c ，已知 ，則 中的最小值為 。

【設計意圖】這個問題改編于高考題，條件是不同角的三角函數之間的關系，問題是與邊長有關的代數結構的最值。條件與問題之間的關系對于學生來說是思維的難點，學生需要自主尋找角之間的關系，從而化簡問題的代數結構式，并利用基本不等式解決問題。此題可以引導學生發散思考，探究多種解法，有助于其提升解決復雜問題的能力，屬于難題。

問題4已知 ，且 sinα-sinβ= 則 tanα+tanβ=

【設計意圖】這個問題與教材中的題目和本文所講的例題相似，但是學生無法順利解決問題，教師應引導學生打破定勢思維，培養其獨立思考和靈活轉換問題思路的能力，從而提升學生的創造性思維能力，屬于難題。

“三一學法\"通過“一題多解”“一解多題”和“一題多題”三個維度的有機整合，構建了一個系統化的思維培養體系。其中，“一題多解”有助于提升學生的演繹思維和發散思維，“一解多題\"有助于提升學生的歸納思維和逆向思維，“一題多題\"有助于提升學生的高階思維和創造性思維。“三一學法\"以“思維化\"教學為抓手，改進教學品質，引導學生系統思考、深度學習。在高中數學教育領域，“如何利用數學課堂貫徹拔尖創新人才培養任務”成為當前教育研究的重要課題。“三一學法”無疑為我們提供了切實可行的實踐新思路，為學生學習賦能，助力其養成“合作、探究、反思”等科學家的基本品質，培養拔尖創新人才所需的思維。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：3.

[2]葛軍.改善學生的學習：南京師大附中的教改探索[J].中小學管理，2021（5）：5-8.

助理編輯：王一民