創新復習策略 提升復習品質

在幾何章節復習教學中，有的教師會利用較多的時間對知識、思想方法進行梳理歸納，以期將分散的知識點聯系起來，建立系統完整的知識結構.章節復習涉及的知識點較多，應用該復習策略勢必會花費較多的時間，導致學生思考和練習的時間較少．也有教師將復習重心放在練習上，簡單回顧基礎知識后就給出大量的練習，以期通過練習達到夯實基礎知識、提升基本技能的目的.如果教師在練習過程中沒有讓學生進行及時梳理歸納，這樣會使得學生所學的知識過于零碎、分散，難以形成較為完整的知識框架，這樣無疑會影響后續知識的綜合應用.基于此，在幾何章節復習教學中，教師有必要調整教學策略，實現知識與練習的相互融通，將知識回顧和技能訓練有機結合，在練習中幫助學生建構知識體系，提高數學應用能力.

“全等三角形\"這一章知識點較多，如全等三角形的定義與性質、全等三角形的判定、角平分線的性質及逆定理等，若教學中通過“師問生答\"的方式幫助學生歸納梳理，勢必會削弱學生學習興趣和復習效果.為了改變這一局面，筆者在教學中巧妙地引入一個典型圖形，通過對圖形的適度變換將本章涉及的概念、定理、性質、判定等知識串聯起來，從而有效提升課堂的趣味性和探究性，幫助學生完善知識結構，形成解決三角形全等問題的策略方法，現將教學過程分享給大家，不足之處，請指正.

教學過程

1.動手實踐，引出主題

師：如圖1，請用尺規作∠ABC的 平分線.

如圖2.

師：你作圖的依據是什么？

生1：依據SSS定理得到 ΔMPB? △NPB，所以有 ∠MBP=∠NBP.

師：很好.明白了其中的原理，問題迎刃而解.

師：全等三角形這一章我們最先學習的是什么知識？

生：全等三角形的定義.

教師讓學生說出全等三角形的定義.

師：回顧本章學習內容，說說我們運用了怎樣的研究路徑，

生2：定義一性質一判定一應用

圖1

設計意圖通過作已知角的平分線引導學生回顧全等三角形中的SSS定理、對應角相等的性質等內容，滲透研究幾何圖形的一般方法，激發學生探究的積極性．解決問題后，教師引導學生從整體視角出發，回顧本章的研究路徑，幫助學生搭建知識框架，培養整體觀念.

圖2

學生動手操作，教師讓學生先闡述作圖過程，然后展示操作結果，

2.合作探究，構建體系

師：如圖3，在∠ABC的平分線上任意選一點 P ，分別過點P作 PE⊥AB 于點 E，PF⊥BC 于點 F. 根據已知條件你能得到怎樣的結論？你的依據是什么？

圖3

生3：因為 BP 為 ∠ABC 的平分線，所以 ∠EBP=∠FBP. 又 PE⊥AB PF⊥BC ，所以 ∠PEB=∠PFB=90^° 又 BP=BP （公共邊），所以依據AAS定理可以得到 ΔEBP?ΔFBP ，所以PE=PF.

師：非常好，不僅給出了結論，而且給出了完整的證明過程.先是利用AAS定理證明兩個三角形全等，然后根據全等三角形的對應邊相等得到了 PE=PF ，這一過程也是推導角平分線的性質定理的過程.結合角平分線的性質定理，你們想到了哪些內容？

生4：角平分線的判定定理

師：能分別用文字語言和符號語言表述出來嗎？

生4：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.如圖3，因為 PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF， 所以BP為∠ABC的平分線.

師：對于以上表述，同學們是否還有補充？

生5：這里面應該加上“在角的內部”

師：很好，數學是一門嚴謹的學科，我們在表述上也要做到嚴謹、精準.這樣補充后，使表述更準確了.

師：我們在推導角平分線的判定定理時，是借助了什么方法呢？

生6：在Rt△EPB和Rt△FPB中，PE=PF，BP=BP ，先利用HL定理得到ΔEBP?ΔFBP ，再利用三角形全等的性質得 ∠EBP=∠FBP ，所以 BP 為∠ABC 的平分線.

設計意圖教師從典型圖形出發，自然引出全等三角形的性質及判定，有效激發學生復習的積極性.

師：如圖4，已知點 P 在 ∠ABC 的平分線上，點M、點 N 分別在邊BA，BC上（異于 E，F 兩點），結合已知條件能否證明 ΔBMP?ΔBNP？ （學生積極思考，發現利用已知條件不能得到結論）

圖4

師：如果添加一個條件，能否證明結論呢？如果可以，應添加什么條件呢？

生7：已知 ∠EBP=∠FBP，BP=BP 可以添加 ∠BMP=∠BNP ，利用AAS定理得到 ΔBMP?ΔBNP.

生8：也可以添加 BM=BN ，根據SAS定理得出 ΔBMP?ΔBNP （204號

生9：還可以添加 ∠BPM=∠BPN 根據ASA定理得出 ΔBMP?ΔBNP （20師：非常好，還有其他方案嗎？

生10：還可以添加PM=PN.

師：這個依據是？

生10：SSA.哦！錯了，利用\"SSA”不能判定三角形全等.

師：接下來請大家認真思考一下，為什么兩邊和一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等呢？（學生積極思考、交流）

生11：如圖5，假設PN固定，在邊AB上可以取到點 M，M^′ ，使其滿足PM=PN=PM^′ ，顯然當點 M 在 M^′ 時，△BM'P與△BNP不全等.

△BMP被唯一確定呢？

生12：當 PN⊥BC 于 N ，即點 N 與點F重合時，滿足當 PM=PN 時，點M只有一個，即點M與點E重合.滿足這樣的點M只有一個， Δ BMP也就被唯一確定，此時兩個三角形全等.

師：非常好，這樣將點N特殊化，使得點M被唯一確定下來，由此得到了 ΔBMP?ΔBNP ，其實這就是角平分線的性質定理的推導過程.

設計意圖通過創設開放性問題引導學生自主添加邊相等或角相等的條件，以此加深對全等三角形的判定的理解．在師生的互動交流后，本章知識框架圖已經基本形成.教師及時捕捉課堂矛盾，并利用課堂矛盾引導學生辨析，讓學生領會“SSA\"到不能判定兩個三角形全等的原因．直擊問題本質，有利于學生加深對知識的理解，發展其批判性思維．在此過程中，教師引導學生思考如何讓△BMP被唯一確定下來，滲透分類討論和一般與特殊的思想方法，以此培養學生思維的嚴謹性和深刻性.

練習1如圖 6，BP 是 ∠ABC 的平分線，分別過點P作 PE⊥AB 于點 E ，PF⊥BC 于點 F ，點 Q 在 BP 上，連結QE，QF 求證： QE=QF.

圖5

3.課堂練習，拓展延伸

師：分析得非常好！也就是說在原有條件的基礎上添加 PM=PN 這一條件，并不能唯一確定△BMP.這里點M隨著點N的位置變化而變化，那么是否存在這樣一個點 N ，使得

圖6

師生活動：練習1難度較小，但是證明方法較為靈活，教師鼓勵學生用不同的方法解決問題

設計意圖初中數學課堂練習是教師引領學生夯實基礎、發展思維、活學活用的有效途徑，在復習教學中必不可少．該題起點較低，但是證明方法多樣，可以通過發散學生的數學思維，提高學生分析和解決問題的能力.

師：圖6中，若點Q是BP的中點，此時你有什么發現？能夠得到怎樣的結論？

生13：若點Q是BP的中點，此時QE=QF 依然成立，也就是全等三角形其對應邊的中線也相等.

師：在此基礎上，你還能提出其他問題嗎？

生14：若 EQ，FQ 分別為△BPE和△BPF對應邊上的高線，此時QE與QF是否相等？

生15：如果EQ，FQ分別為∠BEP，∠BFP的平分線，此時QE與QF是否相等？

師：非常好的問題，這里由于時間關系我們就不一一驗證，課下請以小組為單位繼續探究.

設計意圖將問題由一般向特殊轉化，引導學生思考全等三角形中對應邊的中線、垂線及對應角的平分線之間的關系，在拓展延伸的同時，也為學生后續學習奠定了基礎.

練習2如圖7，已知 BP_. 是∠ABC的平分線， PE⊥AB ，垂足為 E ，若 PM= PN，且 ∠BNP+∠BMP=180^° ，求證：BE=BN+EM.

圖7

師生活動：學生獨立思考后，教師讓學生分享思考過程.結合剛剛探究\"SSA\"不能判定全等的經驗，學生容易聯想到AB上尋找點 M^′ ，使得PM^′=PM （圖8）.而 BM^′=BN 可證，又PM^′=PM ，所以 ΔMPM^′ 是等腰三角形，而 PE⊥AB ，根據等腰三角形的三線合一定理可知點 E 為MM'的中點，所以 EM^′=EM ，即 BE=BM^′+ EM^′=BN+EM ，當然也有學生提出過點 P 作 PF⊥BC 于 F ，根據角平分線的性質定理可知 BE=BF ，由此將問題轉化為證明 EM=NF. 根據已知 ∠BNP+ ∠BMP=180^° ，可證 ∠BMP=∠PNF ，利用AAS定理得到 ΔNPF?ΔMPE ，所以 NF=EM ，問題得以獲證.

設計意圖本題難度不大，但是綜合性較強，可以很好地考查學生分析和解決問題的能力．這兩種解法都是全等三角形的判定和性質以及角平分線的性質定理的應用．在構造全等三角形合理轉化對應邊的過程中，提升了學生的創新意識與應用意識.

師：將圖8和圖9融合在一起可得到圖10，那么△PEM可以通過怎樣的變換可以得到△PEM'？通過怎樣的變換可以將△PEM變換為△PFN？

圖8

圖9

教師預留時間讓學生思考、交流，然后呈現結果.

生16： ΔPEM 和 ΔPEM^′ 關于 PE 對稱，將 ΔPEM 沿 PE 翻折就可以得到 ΔPEM^′ .而將△PEM繞點 P_? 順時針旋轉可以得到△PFN.

師：非常好，圖10中是否還存在其他可以通過圖形變換得到的圖形呢？

生17：將△BNP沿BP翻折可以得到△BM'P.

生18：將△BFP沿BP翻折可以得到 ΔBEP.

師：非常好！翻折和旋轉都是常見的全等變換，除了以上兩種全等變換外，你還知道其他全等變換嗎？

生：平移.

設計意圖通過全等變換將所學內容進行有效串聯，有利于學生優化知識結構，加深知識理解，提高讀圖、識圖能力.

4.課堂小結，完善體系

師：本節課我們主要復習了哪些內容？用到了哪些數學思想方法？你有哪些收獲？

教師讓學生先自主歸納，然后組內交流，最后在教師引導下學生完善知識體系.

設計意圖通過課堂小結讓學生進一步完善整體知識框架，掌握研究幾何圖形的一般思路，獲得可持續學習的能力，切實提高復習效率.

教學思考

1.一圖貫之，激趣引思

復習教學中，若始終重復著“回顧 + 訓練\"的教學模式，將很難激發學生的學習興趣，影響復習效果.因此，教師應更新教學手段，通過有效的教學策略來激發學生學習興趣，引發學生深度思考.

在本課中，教師改變傳統教學模式，通過一個典型圖將角平分線的性質，全等三角形的性質、判定，以及圖形的全等變換等內容有機地聯系在一起，有利于學生夯實基礎知識與基本技能.

2.以生為主，自然生成

復習的目的不僅是知識的回顧和訓練，更重要的是培養學生的能力與素養.在復習教學中，教師應充分發揮學生的主體作用，通過創設有效的問題情境引發學生深度思考，發展學生高階思維.

在本課中，教師精心創設問題引導學生自主探究和合作交流，通過問題的解決不斷完善和優化學生的知識結構.例如，在解決問題的過程中，學生提出利用\"SSA\"來證明兩個三角形全等，教師及時捕捉這一課堂矛盾，引導學生深入探究，以此揭示三角形全等的本質，培養學生的批判性思維.

總之，在復習教學中，教師應不斷更新教學觀念和教學策略，處理好“預設\"和“生成\"的關系，通過科學指導不斷完善學生的知識結構，培養學生分析和解決問題的能力.