踐行生本理念 構(gòu)建生態(tài)課堂

素質(zhì)教育背景下，教師應(yīng)以生為本，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，助力全面發(fā)展.在實(shí)踐教學(xué)中，教師要充分研究教材內(nèi)容，研究基本學(xué)情，合理創(chuàng)設(shè)探究活動，充分激發(fā)學(xué)生潛能，構(gòu)建新型生態(tài)課堂，以此提升學(xué)生學(xué)力，培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”筆者在教學(xué)“圓周角”時(shí)，精心創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、類比、猜想、驗(yàn)證等活動，讓學(xué)生主動參與概念的形成過程，幫助學(xué)生深入理解概念的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，全面提升數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)分析

1.內(nèi)容分析

本節(jié)課是在圓和圓心角的基本概念與性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行深入探索，它既為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的知識做了充分的準(zhǔn)備，又為說明線段相等和角相等提供依據(jù).圓周角是圓心角、弧、弦之間關(guān)系的延續(xù)，圓周角的性質(zhì)在圓的有關(guān)說理、作圖、計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用.

2.學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本課內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)理解并掌握三角形的外角定理、圓的概念、圓心角概念和性質(zhì)等相關(guān)知識，具有一定的邏輯推理能力，具有較強(qiáng)的自我發(fā)現(xiàn)意識，這些知識、經(jīng)驗(yàn)、方法、能力為學(xué)習(xí)本課知識奠定了基礎(chǔ).

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）理解并掌握圓周角的概念，并能辨識和畫出圓周角；（2）掌握圓周角定理，并能應(yīng)用圓周角定理解決簡單的問題；（3）經(jīng)歷探索過程，體會分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生邏輯推理能力，發(fā)展學(xué)生抽象能力、幾何直觀等核心素養(yǎng).

4.教學(xué)方式

教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)一系列具有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問題情境，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力.

教學(xué)過程

1.類比引入，生成概念

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓心角，你還記得圓心角是如何定義的嗎？生1：頂點(diǎn)在圓心，兩邊為圓的半徑，且與圓周相交的角.師：你能畫出弧AB所對的圓心角嗎？生眾：能.教師讓學(xué)生動手畫，并展示學(xué)生的操作結(jié)果，如圖1.

圖1

師：若點(diǎn)A、點(diǎn)B的位置不變，改變頂點(diǎn)的位置，頂點(diǎn)可能在什么位置？

教師鼓勵(lì)學(xué)生在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)畫，教師巡視，并投影展示學(xué)生的操作結(jié)果，分別為頂點(diǎn)移動到圓內(nèi)、圓上和圓外，如圖2、圖3、圖4.

圖2

圖3

圖4

師：結(jié)合已有知識經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為哪種情況最具研究價(jià)值呢？

生眾：頂點(diǎn)在圓上.

師：很好，你認(rèn)為這類角應(yīng)該叫什么角呢？

學(xué)生通過合作交流，提出此類角為“圓周角”

師：類比圓心角的概念，你能給出圓周角的概念嗎？

與圓心角的概念相類比，學(xué)生很快給出圓周角的概念，即頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角.

設(shè)計(jì)意圖從已有的圓心角的定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過移動圓心角的頂點(diǎn)位置得到三種情形，并通過對比這三種情形，自然引入圓周角.在此過程中，教師重視滲透分類討論、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過程，以此調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力、幾何直觀等核心素養(yǎng).

2.動手操作，猜想命題

師：在圓O上任取A，B兩點(diǎn)，在同一個(gè)圓上畫出劣弧AB所對的圓周角和圓心角.

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生動手畫，并讓學(xué)生思考能畫幾個(gè)圓心角.教師展示學(xué)生的操作結(jié)果，如圖5

圖5

師：誰來說一說，可以得到幾個(gè)符合條件的圓心角？幾個(gè)圓周角？

生2：只能畫一個(gè)圓心角，可以畫無數(shù)個(gè)圓周角.

師：這些圓周角之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

學(xué)生通過觀察、測量，得到如下猜想：（1）同弧所對的圓周角相等；（2）同弧所對的圓周角是圓心角的一半.

師：我們知道，猜想不能作為結(jié)論，接下來我們需要做什么？

生眾：推理驗(yàn)證.

師：觀察以上兩個(gè)猜想，你認(rèn)為可以先證明哪個(gè)猜想呢？

學(xué)生獨(dú)立思考后，主動交流，一致認(rèn)為，若猜想（2）成立，則猜想（1）也成立，所以只證明第（2）個(gè)猜想即可.學(xué)生給出的理由是：以圖5為例，劣弧AB所對的圓心角只有一個(gè)，若劣弧AB所對的圓周角等于圓心角的一半，則可以說明圓周角也相等，由此確定驗(yàn)證方向.

設(shè)計(jì)意圖教師引導(dǎo)學(xué)生動手畫圓心角和圓周角，并讓學(xué)生思考劣弧AB所對的圓心角和圓周角的個(gè)數(shù)，通過經(jīng)歷觀察、操作、類比、猜想、驗(yàn)證等活動，不僅可以加深學(xué)生對圓周角和圓心角概念的理解，而且能讓學(xué)生感受圓周角位置的任意性，從而激發(fā)學(xué)生探究同孤所對圓周角的數(shù)量關(guān)系的積極性，促進(jìn)知識的自然生成.此環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生思考兩個(gè)猜想之間的聯(lián)系，滲透轉(zhuǎn)化思想，有利于學(xué)生高階思維的發(fā)展.

3.分類證明，推理驗(yàn)證

師：你想如何證明以上猜想呢？（生不語）

師：請大家在圖5的基礎(chǔ)上繼續(xù)畫劣弧AB所對的圓周角，并將這些圓周角進(jìn)行分類，說說你能得到幾種情形呢？

教師鼓勵(lì)學(xué)生動手畫，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類，師生合作將圓周角分為3類：（1）圓心在角的一邊上（圖6）；（2）圓心在角的內(nèi)部（圖7）；（3）圓心在角的外部（圖8）.

圖6

圖7

圖8

師：若想要探究同弧所對的圓心角和圓周角的大小關(guān)系，你認(rèn)為我們可以從哪一類圖形入手呢？

生眾：第一類圖形.

師：說說你的理由.

生3：第一類圖形最特殊，可以利用特殊到一般的思想方法驗(yàn)證結(jié)論

師：很好，結(jié)合圖6，你能說說它們之間的大小關(guān)系嗎？

生4：因?yàn)?OB=OC ，所以 ΔOBC 是等腰三角形，所以 ∠ACB=∠OBC 又因 ∠AOB=∠ACB+∠OBC ，所以∠AOB=2∠ACB

師：很好，靈活運(yùn)用三角形的外角定理證明了猜想，

師：如圖7，若圓心在角的內(nèi)部，以上結(jié)論是否成立呢？

生5：如圖9，連接 CO 并延長至點(diǎn) D ，根據(jù)已知結(jié)論可知， ∠AOD= 2∠ACD， ∠BOD=2∠BCD ，故 ∠AOD+ ∠BOD=2∠ACD+2∠BCD ，即 ∠AOB= 2∠ACB.

圖9

師：很好，若圓心在角的外部，以上結(jié)論是否依然成立呢？

學(xué)生獨(dú)立思考，教師適時(shí)給予啟發(fā)和指導(dǎo).

生6：如圖10，連接C0并延長至點(diǎn) D （點(diǎn) D 在圓上），根據(jù)已知結(jié)論可知， ∠AOD=2∠ACD ， ∠BOD= 2∠BCD ，故 ∠AOD-∠BOD=2∠ACD- 2∠BCD ，即 ∠AOB=2∠ACB.

圖10

師：很好，可見無論圓心在圓周角的內(nèi)部、外部，還是在角的一邊上，以上結(jié)論均成立，這就是我們本節(jié)課重點(diǎn)研究的內(nèi)容——圓周角定理，它在證明角相等、邊相等中有著重要的作用.（板書：圓周角定理）

設(shè)計(jì)意圖教師鼓勵(lì)學(xué)生動手操作，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓心位置進(jìn)行分類，讓學(xué)生體會一種情況并不具有說服力，在任何情況下結(jié)論均成立，才能證明結(jié)論成立，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維.在此過程中，教師放手讓學(xué)生利用已有知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理驗(yàn)證，這樣不僅可以加深學(xué)生對圓周角定理的理解，而且可以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維去思考問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)知識去解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.鞏固應(yīng)用，深化理解

例1如圖11，已知四邊形ABCD是正方形，請找出圓心角及其同弧所對的圓周角.

圖11

師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考后，教師點(diǎn)名讓學(xué)生呈現(xiàn)其觀察結(jié)果，其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中抽象出圓周角和圓心角，幫助學(xué)生理解圓周角的概念，直觀感受兩者之間的關(guān)系.

例2如圖12，點(diǎn)A， _，B，C，D 在圓 o 上，若 ∠1=80^° ，求 ∠C 和 ∠D 的度數(shù).

圖12

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程

師： ∠D 是多少度？

生眾： 40^°

師：你的依據(jù)是什么？

生7： ∠1 是劣弧AB所對的圓心角， ∠D 是劣弧 AB 所對的圓周角，根據(jù)圓周角定理可知，∠D=1 ∠1，所以 ∠D=40^°

師： ∠C 又是多少度呢？生 8：140^° 師：你是如何計(jì)算的呢？

生9： ∠C 是優(yōu)弧 ADB 所對的圓 周角，又因優(yōu)弧 ADB 所對的圓心角 為 280^° ，所以 ∠C=140^°

師：很好，所以 ∠C+∠D=？∠DAC+ ∠DBC=？

生10 ∠C+∠D=180^° ， ∠DAC+ ∠DBC=180^°

師：課下請感興趣的同學(xué)試一試，對于任意內(nèi)接四邊形，它們的對角是否也存在同樣的結(jié)論呢？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圓周角定理解決問題，加深其對圓周角定理的理解.在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓的內(nèi)接四邊形對角之間的關(guān)系，并鼓勵(lì)學(xué)生課下繼續(xù)推理，以此為證明“圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)\"埋下伏筆.

例3如圖13，點(diǎn) _A，B，C 在圓 o 上， ∠AOB=100^° ，則 ∠C=

圖13

題目給出后，學(xué)生很快給出答案，即根據(jù)圓周角定理得 ∠C=50^° 在此基礎(chǔ)上，教師將該題進(jìn)行變式，讓學(xué)生思考當(dāng) ∠AOB=180^° 時(shí)， ∠C 等于多少度.學(xué)生口算給出答案，即當(dāng) ∠AOB=180^° 時(shí)， ∠C=90^° 在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生動手畫（圖14），并讓學(xué)生結(jié)合圖形思考當(dāng)圓心角是平角時(shí)，角的兩邊具有怎樣的特征.由此在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生得到新結(jié)論： 90^°"的圓周角所對的弦為直徑.得到這一結(jié)論后，教師讓學(xué)生繼續(xù)探究：如圖15，圓 o 的直徑 AB 長為10，弦A C=6 2 ∠ACB 的平分線交圓o 于點(diǎn) D ，連接"_AD，BD"，求 BC，AD，BD 的長.學(xué)生獨(dú)立思考后，教師展示學(xué)生的思考過程

圖14

圖15

師：誰來說一說，你是如何解決這個(gè)問題的？請簡述你的解題過程

生11：因?yàn)?_?AB"是圓 o 的直徑，所以 ∠ACB=∠ADB=90^°"在Rt△ABC中， AC=6，AB=10 ，根據(jù)勾股定理得BC=8. 又 CD 平分 ∠ACB ，所以弧 AD= 弧 BD ，所以A 1D/=BD 又 ∠ADB=90^°"所以根據(jù)勾股定理得A""：

設(shè)計(jì)意圖例題和變式題的解決，一方面加強(qiáng)了學(xué)生對圓周角定理的理解，另一方面通過一般到特殊的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象出結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力核心素養(yǎng).學(xué)生得到新結(jié)論后，教師設(shè)計(jì)專題進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生體會圓周角定理在解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

5.歸納總結(jié)，完善結(jié)構(gòu)

師：本節(jié)課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了哪些知識內(nèi)容？是如何研究的？研究過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

教師預(yù)留時(shí)間和空間讓學(xué)生思考、交流、表達(dá)，隨后進(jìn)行點(diǎn)評、完善.

設(shè)計(jì)意圖教師鼓勵(lì)學(xué)生對本課重難點(diǎn)知識進(jìn)行歸納梳理，以此進(jìn)一步加深對所學(xué)知識的理解，為知識的靈活運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在此過程中，教師重視引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等，以此發(fā)展學(xué)生的高階思維.

教學(xué)思考

1.合理整合，“教材\"變\"學(xué)材”

教材是教師教學(xué)的重要依據(jù)，其在教學(xué)中的地位和價(jià)值是不言而喻的.不同的學(xué)生，其學(xué)習(xí)能力、思維習(xí)慣等有所不同，為了滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，教師應(yīng)重視對教材進(jìn)行二次開發(fā)，變\"教材\"為“學(xué)材\".數(shù)學(xué)知識具有系統(tǒng)性，知識點(diǎn)之間存在邏輯聯(lián)系，所以在教學(xué)中應(yīng)遵循系統(tǒng)性、連貫性和可持續(xù)性的原則，合理地將相互聯(lián)系的知識進(jìn)行整合，以此加深對知識的理解，促進(jìn)知識的整體建構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，提高學(xué)生的綜合能力.在本課教學(xué)中，教師不是照本宣科地介紹圓周角的定義，而是從已學(xué)的圓心角作為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識經(jīng)驗(yàn)主動建構(gòu)新知，這樣通過親歷知識“再創(chuàng)造”的過程，有利于學(xué)生理性思維的生長.

2.尊重學(xué)生，“學(xué)會\"變\"會學(xué)”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生學(xué)會知識，更重要的是要讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)．“學(xué)會”與“會學(xué)”雖然只有一字之差，但卻體現(xiàn)了從被動接受到主動探索的躍進(jìn).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要以學(xué)生為中心，重視學(xué)法指導(dǎo)，提供時(shí)間和空間讓學(xué)生主動建構(gòu)新知，使其真正成為課堂的主動參與者，而非被動接受者.課堂教學(xué)中，教師應(yīng)重視自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的有效結(jié)合，形成“個(gè)體深度思考一全體知識碰撞\"的協(xié)同學(xué)習(xí)模式，以此培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣和合作交流的精神.在本課教學(xué)中，教師尊重學(xué)生，為學(xué)生精心創(chuàng)設(shè)問題情境，合理地引入自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生去思考、發(fā)現(xiàn)、抽象，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)除了接受學(xué)習(xí)，還可應(yīng)用自主探究、合作交流等重要學(xué)習(xí)方式.教學(xué)中，教師要認(rèn)真研讀教材，結(jié)合教學(xué)實(shí)際對教材內(nèi)容進(jìn)行整合，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，以此培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

參考文獻(xiàn)：

[1]卓奇.從教材到學(xué)材：初中數(shù)學(xué)教學(xué)再出發(fā)一以“圖形的軸對稱\"的教學(xué)為例［J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（23）：75-76.