基于案例教學的高等數(shù)學教學改革研究

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2025）26-0137-04

摘：要：高等數(shù)學是大學教育中重要的基礎(chǔ)理論課程，可以提升學生的抽象思維、邏輯推理和空間想象能力，為學習后續(xù)課程提供必要的知識儲備。案例式教學有利于學生正確理解和運用知識去分析、解決問題，提升學習興趣。該文構(gòu)建教學內(nèi)容與案例相結(jié)合的高等數(shù)學教學新模式，讓學生真正融入課堂教學中，鼓勵學生積極參與討論，獨立思考，提高學生的學習興趣，激發(fā)學生的探索欲望，改變理論課教學的被動局面，達到以研促教、以教促學，進一步系統(tǒng)、深入、全面地進行高等數(shù)學課程的教學改革與實踐。

Abstract：HigherMathematicsisanimportantfundamentaltheoreticalcourseinuniversityeducation，whichcanenhance students'abstractthinking，logicalreasoningandspatialimaginationabilies，andprovidenecessaryknowledgereservesfor learningsubsequentcourses.Caseteachingisbeneficialforstudentstocorectlyuderstandandapplyknowledgetoanalyzeand solveproblems，andenhancetheirinterestinlearning.Thepaperconstructsanew modelof HigherMathematicsteaching that combines teaching content with case studies，whichcanmakestudents truly integrateintoclassroomteaching，encouragethemto activelyparticipateindiscusionsandthinkindependently，enhancestudents'interestinleaming，stimulatetheirdesireto explore，change thepasivesituationoftheoreticalcourseteaching，achievethegoalofpromoting teachingthroughresearchand promotinglearningthroughteaching，andfurthersystematically，deply，andcomprehensivelycarryoutteachingreformand practice of Higher Mathematics course.

KeyWords：Higher Mathematics；case teaching;teaching research;teaching methods;curiculum construction

高等數(shù)學是高等院校針對人才培養(yǎng)而開設(shè)的基礎(chǔ)課程，作為高等教育的基石，高等數(shù)學為學生提供了深入研究和探索各個領(lǐng)域的數(shù)學工具。無論是物理學、工程學、生物學和經(jīng)濟學還是社會科學，高等數(shù)學都提供了必要的數(shù)學背景和支持。通過高等數(shù)學的學習，學生可以更好地理解這些領(lǐng)域的核心概念和原理，為后續(xù)的專業(yè)課程打下堅實的基礎(chǔ)。

高等數(shù)學不僅傳授數(shù)學知識，更重要的是培養(yǎng)學生的邏輯思維和問題解決能力。高等數(shù)學的定理、公式和證明過程要求學生具備嚴密的邏輯思維能力，這有助于學生在面對復雜問題時能夠條理清晰地進行分析和推理。同時，高等數(shù)學還通過大量的習題和實際問題，培養(yǎng)學生的問題解決能力，使他們能夠運用所學知識解決現(xiàn)實生活中的問題。

高等數(shù)學在促進學科交叉和創(chuàng)新方面也發(fā)揮著重要作用。高等數(shù)學作為一種通用的工具，為不同領(lǐng)域的交流和合作提供了橋梁。通過高等數(shù)學的學習，學生可以掌握跨學科的研究方法和思維方式，為未來的科學研究和技術(shù)創(chuàng)新做好準備。

盡管高等數(shù)學在高等教育中占據(jù)著重要地位，但也面臨著一些問題。例如，大多數(shù)高等數(shù)學教材及教師授課存在重理論、輕應用的特點，缺少該課程本身應有的特色和特有的思維方法。學生獲取知識的主要途徑是老師講授，學生被動接受，這種教學方式忽略了學生的主體地位，無法發(fā)揮高等數(shù)學這門課程的特點。因此，高等數(shù)學教育也需要不斷更新和完善，我們應該積極探索新的教學方法和手段，以提升高等數(shù)學教育的質(zhì)量和效果。

綜上所述，高等數(shù)學是高等教育中不可或缺的一門基礎(chǔ)課程。它不僅是許多專業(yè)課程的基石，更是培養(yǎng)學生邏輯思維、問題解決能力和創(chuàng)新精神的重要途徑。在未來的發(fā)展中，我們應該繼續(xù)重視高等數(shù)學的地位和作用，提高教學質(zhì)量，為培養(yǎng)更多的優(yōu)秀人才作出貢獻。

案例教學法

案例教學法始于美國哈佛大學。案例教學定義如下：案例教學是一種以學生為中心對現(xiàn)實問題和某一特定事實進行交互式探索的過程。在某些現(xiàn)實的約束條件下，讓學生運用智力和情感，鍛煉他們面對復雜問題做出決策的能力。案例教學法是典型的理論與實際相結(jié)合的重要方法之一。案例教學法具有鼓勵學生獨立思考、引導學生變注重知識為注重能力、重視師生雙向交流的特點。

在案例教學法中教師充當?shù)氖羌钫吆驼n堂設(shè)計人的角色，在老師的引導下，學生積極參與到學習討論中，進一步提升教學質(zhì)量和教學效果。和傳統(tǒng)的教學方式相比，案例教學法能夠很好地鍛煉學生解決實際問題的能力，提高教學效率和教學效果。案例教學作為一種先進的教學模式，在眾多專業(yè)中都得到了較好的應用，促進了大學生的專業(yè)發(fā)展。

與傳統(tǒng)的教學方法相比，案例教學法具有以下優(yōu)點： ① 能夠調(diào)動學生學習主動性。教學中，學生通過歸納、分析、討論對案例進行詳細的研究，充分參與到課堂學習中，加強了學生對數(shù)學的應用意識和興趣，探索解決問題的思路和方法。 ② 生動具體、直觀易學。教學案例是具體的實例，案例能夠?qū)⒊橄蟮脑瓌t和概念具體化，并將其置于一定的實際情境中。案例采用形象、直觀、生動的展現(xiàn)形式，給人以身臨其境之感，易于學習和理解。 ③ 案例教學大大縮短了教學情境與實際生活的差距，在教學中通過恰當?shù)陌咐齺碇笇W生運用所學知識去觀察、分析、解決實際問題，從而提高他們的實踐能力。

高等數(shù)學案例教學

高等數(shù)學課程內(nèi)容具有一定的抽象性、概括性、縝密的邏輯性。傳統(tǒng)的高等數(shù)學教學內(nèi)容主要是概念、定義、性質(zhì)和定理等知識點，以及幫助消化和理解這些知識點的例題和練習。知識體系完善嚴謹，但教學現(xiàn)狀是學生對高等數(shù)學的應用不清楚，因此強調(diào)理論而忽視應用的教學模式已不能滿足高等數(shù)學教學的要求。在高等數(shù)學的課堂中，要改變只教會學生解題而不介紹背景、來源及其在生產(chǎn)生活中應用的做法，要針對重要理論引入經(jīng)典的案例進行教學，讓學生在實際中把數(shù)學知識內(nèi)化，感受到數(shù)學實實在在的用途，讓學生體驗到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，感受到成功的喜悅。

案例教學法作為一種基于真實事件構(gòu)建的教學方法，側(cè)重于解決實際問題，將這種方法應用到高等數(shù)學教學中能夠很好地提升學生運用數(shù)學知識的能力。案例教學可以通過一個典型的例子，來揭示不同的數(shù)學概念的成因和功能，從而使學生能夠更好地了解和應用知識解決問題。通過案例教學，學生可以領(lǐng)略到高等數(shù)學的精髓與魅力，讓學生在課堂上接觸、了解大量的實際問題，實現(xiàn)由理論到實踐的轉(zhuǎn)化。已有學者對高等數(shù)學案例教學進行了一些研究，見文獻[1]一文獻[12]。

為了有效實施高等數(shù)學案例式教學，并取得好的教學效果，我們按照以下步驟執(zhí)行： ① 精心準備高等數(shù)學教學案例。在學生開課之前，根據(jù)以往的教學經(jīng)驗，對于一些較難理解的概念及公式，分析學生的困惑，接著針對學生的困惑設(shè)計或選擇相應的教學案例。一般來講，所選取的案例既要與實際生活中的問題相結(jié)合，又要與專業(yè)情景相接近，同時還要考慮到案例的實用性、針對性和典型性，這樣的案例在課堂中才可以充分調(diào)動學生學習的積極性，從而達到良好的教學效果。 ② 布置案例。將準備好的案例提前下發(fā)給學生，留給學生充足的思考探索時間，從教學重點、教學難點上加以引導，讓學生提前學習案例，引導學生通過小組討論、查閱資料對案例進行詳細的分析研究，激發(fā)學生的求知欲，加強課前學習的指導性。 ③ 課堂組織實施。課堂中以恰當?shù)男问揭氚咐龑Р⒓顚W生對案例積極思考、探索，展開討論和分析，讓學生充分參與到案例的課堂學習中來，實現(xiàn)師生的雙向交流，在此過程中適時地引入本節(jié)課需要講授的概念和原理，然后再進行教學。讓學生感受從問題的提出到問題解決的整個過程，以此發(fā)展其邏輯思維、創(chuàng)新思維。 ④ 拓展課后教學內(nèi)容。通過定期交流或師生座談的形式，及時了解高等數(shù)學案例教學中出現(xiàn)的一些問題，改進并提高教學效果。課后額外布置一些數(shù)學建模案例，數(shù)學建模在一定程度上更能激發(fā)學生的好奇心及興趣，從而吸引學生自主學習，探究合作，逐步培養(yǎng)學生的綜合應用能力。

以下將通過在定積分幾何應用的講授中引入案例教學，探討案例教學法在高等數(shù)學教學中的作用。傳統(tǒng)高等數(shù)學授課在講到定積分的幾何應用：平面圖形的面積、體積、平面曲線的弧長時，都是直接推導公式，而沒有背景問題的引入，這樣的講授方式不能很好地激發(fā)學生的興趣，也未能和實際應用聯(lián)系起來。下面我們通過選擇典型案例，來揭示面積、體積、弧長數(shù)學公式的成因和功能，從而使學生能夠更好地了解和應用知識解決實際問題。最后，作為課后教學內(nèi)容的拓展，我們可以給學生布置旋轉(zhuǎn)曲面求面積的案例，使學生進一步熟悉定積分幾何應用中的元素法。

（一） 平面圖形的面積

案例：兩輛汽車沿著一條筆直的高速公路在相鄰的車道上行駛。汽車A和汽車B的速度函數(shù)分別為ν=f（t） 和 ν=g（t） 。設(shè) f（t）gt;g^（t） ，在時間 t=b 時，汽車A領(lǐng)先于汽車B的距離 ∣AB∣ 為多少？

分析：如圖1所示，從 t=0 到 t=b 的 f（t） 圖形下的區(qū)域面積給出了汽車A在時間段[0，b]所行駛的路程。從 t=0 到 t=b 的 g（t） 圖形下的區(qū)域面積給出了汽車B在時間段 [0，b] 所行駛的路程。直觀地，我們可以看到，區(qū)間 [0，b] 上 f（t） 和 g（t） 的圖之間的陰影區(qū)域的面積 s 給出了汽車A在時間 t=b 領(lǐng)先于汽車B的距離。因而該問題轉(zhuǎn)化為求面積 s ，即平面圖形的面積問題。由定積分的幾何意義，得到

由此實例，使用元素法，一般地，我們可以推出夾在兩曲線 f（x） 和 g（x） 之間位于區(qū)間 [a，b] 的平面圖形的面積為 ，從而非常生動形象地得到平面圖形的面積公式。

（二） 體積

案例：胡夫金字塔，位于埃及吉薩高地，是世界七大奇跡之一，也是埃及最著名的金字塔之一。建立胡夫金字塔體積計算模型。

分析：胡夫金字塔的基座是一個正方形，設(shè)其邊長為 b 。設(shè)胡夫金字塔的高度為 h 。我們把金字塔底部的中心放在原點，如圖2所示。垂直于 y 軸的金字塔的橫截面是邊長為 2x 的正方形。

從圖2中，我們可以看到?jīng)r下立體體積的計算。

由此實例，使用元素法，一般地，我們可以推出夾在平面 y=c 和 y=d 之間，截面積為 A（y） 的立體體積公式為 。用一種學生喜聞樂見的方式引入了截面積已知情況下立體體積的計算。最后得到金字塔體積為

（三） 平面曲線的弧長

因此，橫截面的面積為

圖1汽車A與汽車B的距離

因此，金字塔體積的計算就轉(zhuǎn)化為截面積已知情

案例：離開港口后，油輪沿著圖3中曲線 c 所示的路線航行，其中 c 的方程為 x2，港口被視為位于坐標系的原點。當油輪到達港口以東4和以北2的航道上的一個點時，它行駛的距離是多少？

分析：直觀地，我們看到這個距離是由點 o 和 P 之間的曲線 c 的長度給出的。因此，為了回答這個問題，我們必須給出曲線長度的計算方法。

由此實例，使用元素法，一般地，我們可以推出夾在a?x?b 之間的曲線 y=f（x） 的弧長為 。用一種非常有趣的方式引人了弧長的計算。最后得到油輪行駛的距離為

圖3油輪航行路線

（四） 旋轉(zhuǎn)曲面的面積

很多高等數(shù)學在定積分幾何應用部分，只涉及平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、已知截面積的立體體積和平面曲線的弧長，不會講解旋轉(zhuǎn)曲面的面積。元素法是解決定積分幾何應用的重要方法，該方法具有一定的抽象性。作為定積分的進一步應用及元素法的熟練使用，我們拓展課后教學內(nèi)容，給學生布置使用元素法求解旋轉(zhuǎn)曲面面積的案例。

案例：如圖4所示，求連續(xù)函數(shù) y=f（x），x∈[a，b] 的圖形 C 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積 S_o

圖4旋轉(zhuǎn)曲面面積

分析：通過 x 軸上的點 x 與 σ_x+dx 分別作垂直于 x 軸的平面，它們在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條狹帶，當 dx 很小時，此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積，即 ΔS≈ π（f（x）+f（x+dx））ds ，由于 f（x） 連續(xù)，當 dx 很小時，有

f（x）+f（x+dx）≈2f（x）

于是

ΔS≈2πf（x）ds～

由 ，則

得到面積元素

以 為被積表達式，在閉區(qū)間[a，b] 上作定積分，便得到所求旋轉(zhuǎn)曲面的面積為

通過以上的分析可以看到，在高等數(shù)學的教學中通過恰當?shù)陌咐芗ぐl(fā)學生的學習興趣，指導他們運用所學知識去觀察、分析、解決問題，從而提高他們的實踐能力。高等數(shù)學案例教學法具有以下特點： ① 高等數(shù)學案例教學模式改變了“概念 $$ 定理 $$ 證明 $$ 習題\"的灌輸式教學模式，能夠解決“實際 $$ 問題 $$ 數(shù)學”的應用意識和能力的培養(yǎng)。 ② 高等數(shù)學案例教學可以使學生變被動學習為主動學習，提高學習效率，培養(yǎng)主動思考、自主學習的能力，從而達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，更好地掌握高等數(shù)學課程的精髓，提高教學質(zhì)量的目的。 ③ 高等數(shù)學案例教學強調(diào)“教、學、做”一體化，增強學生的實踐能力，符合建構(gòu)主義學習理論的核心主張，聯(lián)系生活實際，通過共同參與到實踐活動來建立有關(guān)知識。

三 結(jié)束語

高等數(shù)學是高等學校重要的公共基礎(chǔ)課，在提升學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生解決問題的能力方面具有不可替代的作用。在高等數(shù)學的教學過程中恰到好處地引入具有一定實踐性、應用性的案例，使學生得到一定的實踐鍛煉，同時體會到學有所用的樂趣，這對于激勵學生在以后的學習中主動探索真知、勤奮刻苦學習有著非常積極的影響。高等數(shù)學案例式教學是學生運用數(shù)學知識解決各種實際問題的重要工具，也是公認的能夠有效培養(yǎng)大學生實踐能力和創(chuàng)新能力、顯著提高大學生綜合素質(zhì)的重要途徑之一。

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