數學建模視角下新高考情境化試題教學策略研究

新高考制度改革對人才培養提出更高要求，數學是理科的核心學科，近年來，全國多地試卷普遍呈現情境復雜、模型開放、解題路徑多元等新特征，反映出命題思路對數學建模能力的持續聚焦與深度考查。尤其在大題中，命題者瀕繁引入生產生活、科學工程、社會治理等背景材料，要求學生在陌生環境中準確識別變量、構建模型、論證結論。

一、新高考數學卷題目特點

（一）強化情境載體功能

新高考數學試題中，情境設計的深度與廣度大幅提升，大量試題背靠現實背景構建問題情境，將抽象數學概念融入具體社會生產或自然現象之中。題目設計強調知識遷移能力，要求學生從復雜文本中剝離冗余信息，精準定位關鍵數學要素；情境材料涵蓋現代科技前沿、傳統工程實踐、日常經濟決策等多個維度，可有效檢驗考生在陌生環境中激活數學認知結構的能力[1]。上述命題導向推動數學教學轉型，從單純技能訓練轉向培養解決真實問題的素養，試卷中情境化試題的占比與復雜度呈現持續增長態勢。

（二）優化難度梯度

新高考試卷結構采用漸進式難度布局，基礎模塊側重核心概念的本質理解，中段試題注重知識網絡的橫向聯結，壓軸題目則聚焦高階思維的深度挖掘。不同層級試題形成平滑的能力過渡帶，避免認知斷層對考生造成心理干擾。具體表現為：前序題目確保全面覆蓋主干知識，為后續復雜問題提供思維支點；中段題目強化模塊交叉，引導多角度分析；末尾大題突破固定解題模式，設置開放型任務驅動創新探索。上述分層設計可保障選拔效果，又體現人文關懷，符合認知發展客觀規律。

（三）學科知識交叉融合

新高考背景下，數學卷打破傳統知識板塊壁壘，構建多維度融合的考查框架。在空間向量問題中相互印證代數推理與幾何直觀，利用概率分布為函數模型提供實證基礎，將微積分思想滲透到方案優化。命題者刻意模糊學術數學與應用數學的界限，例如，在數據處理類題目中，同步考查統計原理與代數運算能力，在動態系統分析中整合數列理論與導數工具。上述融合倒逼教學重構知識體系，凸顯數學內核的統一與工具屬性，要求學生建立整體的認知結構。

二、新高考常見情境化試題類型

（一）生活實踐類

生活實踐類試題情境植根于真實社會生活場景，將數學概念自然融入日常決策與經濟行為之中。命題者精心選取城市交通規劃、家庭消費結構、社區資源分配等具體案例，構建具有現實意義的問題情境。考生需面對如優化共享單車調度效率、階梯電價下的用電策略選擇、垃圾分類處理成本分析等典型場景，要從龐雜的市民生活數據或社會運行信息中，識別關鍵變量及其內在關聯，運用數學語言建立描述模型或預測框架。此類題目主要檢驗考生將抽象數學原理轉化為解決實際民生問題有效工具的能力，深刻體現數學知識服務社會民生的實用價值。

（二）科學技術類

科學技術類試題情境則聚焦自然科學與工程技術前沿領域，展現數學作為基礎學科的核心支撐作用。命題者常以航天器軌道計算涉及的圓錐曲線理論、生物種群動態模擬依賴的微分方程、通信工程中信號處理應用的分析為藍本，構建問題情境。現代科技元素如量子計算中的代數基礎、人工智能算法的概率決策機制、區塊鏈技術的數論原理亦成為重要載體。此類情境要求考生理解復雜技術背景，洞察現象背后的數學本質，將高深科技問題提煉為可計算的數學模型[2]。試題有效架設基礎理論與尖端應用之間的認知橋梁，彰顯數學作為科技創新的底層邏輯。

（三）生產勞動類

生產勞動類試題情境深入現代產業實踐核心環節，突顯數學優化生產流程、提升勞動效能的關鍵價值。命題者常常將制造業中的精益生產排程、農業生產中的精準灌溉模型、物流供應鏈網絡成本最小化等復雜的產業問題，簡化為數學命題。試題可能涉及數控機床加工路徑的幾何優化、化工反應容器壓力變化的動態監測、農產品市場供需平衡的價格彈性分析等具體生產場景，考生需解析生產工藝約束條件，量化生產要素相互關系，運用數學工具尋求最優資源配置方案。此類情境強調數學理論指導生產實踐的轉化能力，呼應新時代勞動形態對數學素養提出的更高要求。

三、數學建模視角下的新高考情境化試題教學策略

（一）激發建模意識，引導模型構思

新高考數學命題強調考查學生在真實情境下數學的建模能力，要求教師在日常教學中系統滲透建模思想，喚醒學生將現實問題抽象為數學模型的自覺意識。教師應當著力創設具有認知沖突的問題情境，促使學生自然萌生運用數學工具描述現象、預測規律的原始動機；教學重心是引導學生從復雜現實背景中識別核心變量，洞察變量間潛在的函數關系或邏輯結構，逐步形成模型假設的雛形。教師可以組織對現實案例的多維度解析，啟發學生主動構思模型框架，例如探討變量間屬于確定關聯還是隨機關系，得出初步判斷，并嘗試應用代數方程、函數關系、概率分布或幾何模型進行刻畫。此過程避免直接灌輸模型類別，而是訓練學生在混沌信息中捕捉數學本質的敏銳度，為后續嚴謹建模奠定思維基礎。

例如，教師可設計城市共享單車調度優化情境作為載體，為學生展示某城區早晚高峰時段不同地鐵站點周邊單車借還量的真實監測數據圖表，描述潮汐現象導致的車輛分布失衡問題。學生需要觀察數據波動特征，找出時間、地點、單車數量三個核心變量。接著教師引導學生思考如何量化評估調度需求，學生可能提出建立站點車輛供需缺口函數，或構建區域車輛分布均衡度指標。教師進一步追問變量間關系，啟發學生討論單車數量隨時間變化的函數特征，例如線性增長、指數飽和或周期振蕩。

學生分組嘗試繪制變量關系示意圖，初步構思使用分段函數刻畫工作日與周末差異，或引入時間序列模型預測高峰時段。最后，教師組織學生論證不同構思的價值，比較確定模型與隨機模型在描述人群行為時的適用范圍，逐步明晰采用帶約束條件的線性規劃模型優化調度路徑的核心思路。

（二）分析建模背景，提煉模型結構

深入剖析問題背景是構建有效數學模型的核心前提，要求教師訓練學生系統解構情境要素，精準剝離非本質信息，聚焦關鍵數學實體及其相互關系。教學重點在于培養學生識別問題中的常量與變量、顯性條件與隱性約束、獨立事件與關聯系統的能力，進而抽象出模型的結構骨架[3]。教師應當指導學生將文字描述轉化為數學語言要素，例如，將“效率提升／下降”轉化為判斷函數單調性，將“隨機波動\"轉化為概率分布特征，將“優化配置”具象為目標函數與約束條件。

例如，2024年全國甲卷數學試卷的第17題，情境為“某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取并進行檢驗”，第一問要求計算優級品率，第二問給出一個新條件，即判定優級品率升高的條件，并給出公式，要求通過計算判斷“能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？”，在該題目教學中，教師首先應詳細描述工廠甲乙兩車間在改造前后采用相同抽樣規則抽取產品檢測的情境，強調兩種產品的優級品判定標準是客觀一致的。學生首先需要解析背景要素：改造是干預因素、甲乙車間是獨立觀測單元、抽樣檢驗蘊含隨機性、優級品率是核心評價指標。教師引導學生識別關鍵數學對象：總體優級品率、樣本優級品率、抽樣隨機誤差。學生需要討論，認識到評估改造效果的本質，是檢驗兩個獨立樣本率的差異。接著教師可以指導學生將“能否認為優級品率提高”轉化為假設檢驗命題，明確原假設為改造有提升效應。學生逐步提煉模型結構框架：定義甲乙車間改造前后的優級品率為四個獨立二項分布參數，建立樣本率比較的統計量構造規則，確定決策條件。最后，教師要求學生書面梳理變量定義、分布假設、檢驗統計量、拒絕域構成的完整數學模型結構，并論證該結構在應對生產線評估實際需求時的作用。

（三）構建模型表達，檢驗建模假設

新高考數學試題頻繁設置開放的情境任務，引導學生從復雜信息中抽象構建數學模型，并以邏輯鏈條、變量關系、假設條件作為給分點。該命題趨勢對教學提出更高要求，教師需系統引導學生從模型構思走向形式表達，將概念層面的變量聯結轉化為可運算的數學結構。教學中需幫助學生強化函數、方程、不等式等代數工具的表達能力，提升其使用精確數學語言刻畫關系的能力，逐步建立具備通用結構的建模體系。構建模型表達的過程是從思維到書面語言的轉譯，也是對模型可行性、適用性的第一輪篩檢，教師需有意識地訓練學生，要求其檢視表達形式是否與實際情境相符，是否隱含了邏輯悖論或結構缺陷。

例如，教師可設計“化工反應容器內壓監測與安全控制”情境任務，貼合生產勞動類真實問題背景，并將化學與數學知識結合。課堂導入階段，教師描繪一座精細化工廠核心生產車間的運行流程展示高溫反應釜在不同時間段內內部壓力變化的實時監測數據，并說明某一臨界壓力值為安全閾限。教師提供反應初期、中段與高峰期的壓力數據圖示，并提出任務目標：建立反應釜壓力變化模型，預測高風險時段，并判斷是否需調整工藝流程以降低壓力峰值。

學生在分析數據圖后發現：壓力變化趨勢存在上升段、波動段和下降段三個階段，此時教師引導學生分段建立函數模型。部分學生構思在初始段采用指數函數模擬溫度提升下壓力快速上升過程，在波動段使用正弦模型反映壓力在裝置冷卻系統作用下的短周期振蕩，而在反應趨穩階段則用對數函數反映壓力緩釋趨勢。教師應要求各組書面寫出函數表達式，明示變量定義與函數參數意義，同時指出各函數所適用的時間區間。在完成模型后，教師組織小組交叉驗證，提出“模型是否存在區間重疊”“波動幅度是否真實反映壓力異常”等疑問，學生據此修改模型結構或添加取值區間，例如限定正弦波振幅不得超過安全余量，或將函數模型轉化為分段函數，并使用導數檢驗連續性。教師還應要求學生檢驗模型對極端情形的預測能力，例如模擬突然斷電或冷卻系統失靈情況下壓力函數變化趨勢，學生借助模型計算極限情況下的函數增長率，進一步修正初期的假設條件。整個教學流程從初始變量識別到模型表達，再到假設修正與參數靈敏性檢驗，完整地實現從信息解讀、邏輯建構、模型輸出、結構調試的閉環，引導學生以科學的方式表達數學模型，可以增強其表達規范意識[4]。

（四）訓練模型應用，優化建模路徑

培養模型應用能力，是數學建模教學的關鍵任務。新高考背景下，學生不僅要具備基礎建模能力，還需能在模型中進行有效操作，例如輸入變量、選擇計算路徑、優化目標結果、評估輸出效果。教學中應從實戰角度出發，引導學生開展模型運行訓練，調整變量并比較結果，使其理解建模并非一次性行為，而是反復迭代、不斷調適的過程。訓練重點在于喚起學生的問題導向思維，強化動態參數控制能力，提升其對模型路徑的最優解識別能力與結果修正能力。

教師可以創設基于科學技術、現實研究類的真實情境，引導學生將抽象模型轉化為具備工程意義的運算工具，例如圍繞“生物種群數量預測與資源調控”展開任務設計。教師先引入某實驗林區生態監測資料，展示連續數周的某種昆蟲種群數量變化記錄及其所受氣候、水源與捕食者密度的影響關系。明確任務目標：建立種群動態變化模型，預測下一階段數量變化趨勢，并提出合理的資源控制策略，防止爆發性增長。接著教師引導學生識別影響變量，學生將種群數量作為主變量，溫度、降水、天敵密度設為外部影響因子。部分小組采用遞推數列模式建模，認為每周期增長量取決于前期數量與增殖率，并引入天敵因子的抑制項構建修正因子模型。教師可鼓勵學生結合生物知識，將增殖過程視為非線性增長，并嘗試使用差分方程表達種群動態。另一部分小組嘗試使用指數增長函數與衰減項疊加表達模型，引入隨機擾動項以擬合外部干擾。建立模型后，教師可以提供下一周期的氣候預測數據，要求學生將其代入模型，預測種群數量并繪制變化趨勢。

結束語

新高考數學命題持續強化數學建模能力考查，標志著高中數學教學正由知識灌輸向思維建構轉型。在建模視角下，情境化試題是數學內容的延伸，更是對學生解決問題能力、邏輯推理能力與結構表達能力的綜合檢驗，教師必須構建面向核心素養發展的融合型課堂生態，真正實現以建模促素養、以素養導未來的教學目標。

參考文獻

[1]許開清.新課標背景下高中數學教學中的情境創設策略[].數理天地（高中版），2025（9）：94-96.

[2]王浩.高中數學教學中問題情境的創設策略探究[I].數學學習與研究，2025（12）：6-9.

[3]李文元.情境教學法在高中數學教學中的創新應用[J].學苑教育，2025（10）：13-15.

[4]農雅婷.高中數學教學中問題情境的創設策略探究[J].數學學習與研究，2024（27）：26-28.