高中數(shù)學思維可視化教學策略研究

思維可視化是把學習者在思維過程中可能遇到的概念、觀念、思路等原本抽象的內(nèi)容，以圖形、符號之類可視化形式表達出來，從而幫助學習者更好地領會及記憶。具體而言，思維可視化將涉及多個深入角度，包括以圖表、流程圖和思維導圖等做法將思路與邏輯關系表達出來，進行符號、顏色、形狀等不同方式的區(qū)分，用以分類理解學習對象，或者以圖像、圖表等形式對數(shù)據(jù)進行展示，等等。教學實踐中，教師對這些深入角度的探索將大有可為，探索得越透徹、越具創(chuàng)新性，越能夠幫助學生更好地理解與記憶數(shù)學知識，完成高效學習目標[1]。

一、高中數(shù)學思維可視化教學價值分析

認知心理學以及教育技術(shù)的同步快速發(fā)展，使教育工作者愈加關注對學生學習發(fā)生影響的各種非智力因素。作為培養(yǎng)學生邏輯思維能力以及解決問題能力的重要學科，高中數(shù)學教學效果和學生未來發(fā)展直接相關，尤其應重視思維可視化這一非智力因素運用手段的創(chuàng)新，從而把原本復雜不易理解的數(shù)學概念、知識、技能以直觀方式呈現(xiàn)出來。實踐表明這種做法可在以下多個角度產(chǎn)生積極價值，這些價值也正是教師需要在教學實踐中努力的方向[2]。

首先，思維可視化教學可讓學生理解與記憶知識的效果變得更好，相較于純文本信息，視覺信息更容易被大腦所處理、所記憶。在數(shù)學教學期間，顏色、形狀或者圖表之類視覺工具的使用，能夠讓學生更高效完成公式、定理記憶，同時建立起不同概念、公式間的關聯(lián)性，將知識網(wǎng)羅到自身知識體系中去。另外不同學生不同學習風格也將因思維可視化的運用而受到重視，這也同樣是促進理解與記憶功能的形成原因。其次，思維可視化教學可增強學生學習興趣，即有可視化支持的觀察、操作及實驗等學習，會讓數(shù)學不僅作為一門科學，而且作為一種藝術(shù)呈現(xiàn)在課堂上，而動態(tài)幾何軟件的使用，則同樣能夠起到激發(fā)學生興趣的作用[3]。最后，思維可視化教學是學生思維能力和創(chuàng)造能力發(fā)展的必然選擇，它可讓數(shù)學這門高度抽象化的學科擁有具體視覺形象，這有助于學生運用與發(fā)展自身邏輯思維能力，同時學生在做數(shù)學問題視覺化嘗試時，常會自己設計圖形與圖表，此過程本身便是一種創(chuàng)造性活動。

二、 “橢圓的標準方程”教學案例

（一）教學目標及重難點

本次教學需要學生掌握橢圓定義、標準方程形式，可以按照定義法等形式得到橢圓標準方程，并明確與橢圓有關的歷史背景等。除此以外，還要求學生在觀察橢圓產(chǎn)生過程中，通過類比圓的定義進行橢圓定義的總結(jié)，再以數(shù)學計算方法做標準方程的推導，由此突破自我數(shù)學抽象、數(shù)學建模以及數(shù)學計算能力等方面的局限。再者，教師應讓學生意識到數(shù)學和現(xiàn)實生活之間的千絲萬縷聯(lián)系，形成積極的學習態(tài)度，滿足對數(shù)學的好奇心及探索欲望。

本次教學的重點在于掌握橢圓定義和標準方程形式，難點在于利用不同做法得到橢圓標準方程。

（二）情境導入

教師結(jié)合思維可視化原理，應預先在課堂上進行情境導入設計，從而讓學生能夠主動配合教師完成教學準備工作，并進入到可視化探索狀態(tài)。

教師（把預先準備好的圓形紙片下發(fā)到學生手中），提問：請大家在這張紙片上任意選擇一個點A，保證點A不能和圓心O重合，然后用黑筆把這個點標記出來。接下來再把紙片折起一個角，讓被折起的部分圓弧經(jīng)過點A，再次進行此步驟的若干次重復，然后鋪平紙片。現(xiàn)在大家認真觀察這張紙片，能夠看到大量折痕包圍了一個什么樣的圖形？

學生（思考后回答）：橢圓形。

教師：大家在現(xiàn)實生活中一定見過橢圓，在哪里見過呢？

學生思考后可給出多種答案，包括：自然界中的雞蛋、桑葉、檸檬切片；天體軌道；家居用品中的一些鏡子、餐具；運動涉及的橄欖球、田徑跑道等。

教師以PPT將生活之中的橢圓展示出來，并且展示行星運行軌道圖，告訴大家：利用本節(jié)課學習，我們便可以計算得到行星運行軌道方程。

此可視化方案也可以被另一種形式取代，或者時間允許同時使用兩種方案。教師提問：同學們了解橢圓的歷史？在學生給出肯定的答案后，教師請學生介紹，若學生給出的答案是否定的，教師播放橢圓歷史科普視頻并做對應介紹。無論是生活情境導入還是歷史情境導入，這樣的思維可視化做法使數(shù)學同折紙游戲相結(jié)合，一方面能夠起到勾起學生好奇心與學習興趣的作用，另一方面則能夠活躍課堂氣氛，以比較自然的方式引入本次學習內(nèi)容。

（三）親自操作

為了幫助學生做好推理探索，教師應搭建活動支架，給學生發(fā)放材料包，支持其基于前述情境導入成果，做出進一步的探索。

學生按照教師要求，從材料包內(nèi)取出一根細繩，把這根細繩的兩端固定于圖板同一個點之上，接下來以一支筆套入細繩上，拉動這支筆，牽引繩子呈平直狀態(tài)，繼續(xù)移動筆。學生一邊操作，一邊觀察筆尖是如何移動的。

教師（同步提問）：詢問圖形出現(xiàn)的原因是什么？

學生（回顧情境導入部分學習成果，主動回答）：若繩子的兩端固定在同一個點，則相當于僅有一個“焦點”，此時筆尖到該點的距離等于繩子剩余部分的長度。

教師：那么這樣做可以嗎？把這根細繩兩端拉開一定距離，使之分別固定于圖板 F_l 、 F₂ 位置，然后把筆套入繩子中間，用拉繩子來慢慢移動筆尖。

學生按照要求操作，并做認真觀察，由此看到圖板上呈現(xiàn)出橢圓圖案（如圖1所示）。

圖1學生親自操作繪制的橢圓圖案

這一步驟的親自操作，是對前述情境導入的做法的進一步延續(xù)，更加強調(diào)了思維可視化命題，也更加強調(diào)學生在此可視化場景下的深度操作與對應思考。

當學生完成橢圓制作后，教師可要求學生思考：在你的操作過程中，筆尖滿足了什么樣的幾何特征？

學生會在回顧操作過程中，利用直觀數(shù)學現(xiàn)象的觀察發(fā)現(xiàn)問題的正確答案，由此總結(jié)得到筆尖所滿足的幾何特征：筆尖移動與定點F1、F2之間距離之和為定長。

教師可以根據(jù)學生的回答給出評價，或者不做評價而以數(shù)學工具做畫橢圓過程的再次演示，鼓勵學生進一步進行變化的量與不變的量觀察和分析。因為現(xiàn)代信息技術(shù)提供的輔助，學生可以進行橢圓動態(tài)和具體數(shù)據(jù)驗證的分析。所做的種種觀察、分析、判斷、驗證行為，可推動其較好地了解橢圓幾何特征，并做好基本形式和規(guī)則推理，促進其在潛移默化中發(fā)展自我邏輯推理素養(yǎng)[4]

（四）類比訓練

教師接下來可以用類比訓練形式使學生能夠在比較辨析過程中完成概念的深度構(gòu)建，這是思維可視化的另一種實踐策略。數(shù)學學科所具有的一個顯著特征在于嚴密的邏輯性，若細化到數(shù)學概念，則學生需要注意各概念之間所具有的前后邏輯關系，這可以比較全面地調(diào)動高中學生創(chuàng)造性，使之擁有更穩(wěn)固的認知支架。為此，在高中階段的數(shù)學概念教學時，教師可以結(jié)合目標概念邏輯認知內(nèi)容，創(chuàng)造性地把靜態(tài)概念“嵌入”到探究活動中來，使學生以小組為單位利用類比辨析的形式重新審視概念動態(tài)構(gòu)建過程，使概念得以順利內(nèi)化，有效防止后續(xù)可能出現(xiàn)的應用混亂問題，同時這也是學生梳理自身知識體系以及進行辨析能力和意識自我培養(yǎng)的重要做法。

教師重申圓的概念，提出小組合作探究要求以及注意事項。

按照教師要求，其中一個小組學生繪制圓形，要保證圖釘和筆尖間的細繩一直處在拉緊狀態(tài)，另一個小組學生繪制橢圓，分別視圖釘、筆尖為定點O和動點M，在確認定點O的位置后，保證動點M到定點O的距離一直不變，為圓的半徑r。

教師（提出問題）：圓為一條封閉的曲線，即圓上任意一點至圓心的距離都是相等的，橢圓和圓只相差一個字，那么二者之間有多少聯(lián)系呢？同時通過多媒體技術(shù)手段將探究要求展示出來，要求學生在思維可視化視角，從實操、元素、思想方法等不同維度做圓和橢圓兩種圖形的類比。

學生（根據(jù)自己的操作提出）：繪制橢圓應當有兩個定點，而且兩個定點之間的距離較動點到兩定點距離之和要小，而繪制圓形只需要有一個定點便可以了，不必考慮動點和定點間距離的問題，僅要求在動手操作中保證繩子處于拉緊狀態(tài)即可。

或者可以提出：繪制圓形應確定圓心和半徑兩個元素，而繪制橢圓需要考慮的元素更多，可能包括焦點、長軸和短軸，等等。

當進行更深入的思考后，學生還可類比分析得到：橢圓和圓除了存在不同點之外，也是有相通之處的，研究這兩種圖形時，都需要用到數(shù)形結(jié)合方法，而且這兩種圖形均為動點軌跡。

教師：哪種動點軌跡可以構(gòu)成橢圓呢？

提出問題后，請各個小組接著完成合作探究，并以多媒體課件呈現(xiàn)探究要求，形成更準確的橢圓概念的定義。

不同學生將從不同角度進行圓的概念回顧與表述，比如有學生提出：在一個平面之中，到定點距離等于定長點的集合。

教師：動點運動軌跡需要在滿足什么條件下才能形成橢圓？

學生：平面之內(nèi)，到兩定點距離之和為常數(shù)的各點的集合，若進行符號化處理，可列式處理。此外也會有學生提出：這個常數(shù)應不小于兩定點間的距離。最后教師做補充說明。

通過不同角度進行圓和橢圓的類比，大家把原本陌生的橢圓和已經(jīng)熟知的圓結(jié)合起來觀察和思考，這會在很大程度上弱化對新內(nèi)容的畏懼和抵觸心理，讓課堂探究活動表現(xiàn)得更生動，更為關鍵的一點在于，這樣的思維可視化策略使用，使學生得以經(jīng)歷橢圓概念模糊認知的形象可視觀察思考的過程，同時在自主思考及合作探究狀態(tài)下，把感知到的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成為嚴謹數(shù)學語言[5，清晰區(qū)別圓和橢圓之間相同點及相異點，為后續(xù)系統(tǒng)深入學習奠定基礎。

（五）演示講解

通過前面的情境學習及類比操作等做法，學生已經(jīng)能夠?qū)E圓概念形成一定了解，在此基礎上，教師可利用系統(tǒng)講解的形式幫助學生深化概念，鞏固標準方程知識。教師的講解應同步包含演示內(nèi)容，即避免完全抽象的做法，使學生繼續(xù)因思維可視化而取得更大學習收益。

圖2橢圓運動軌跡動畫演示

圖3橢圓運動軌跡平面直角坐標體系

教學時，教師可借助具有生動直觀優(yōu)勢的動畫進行概念生長點和疑惑點的演示，把原本靜態(tài)化的內(nèi)容“嵌入”到動畫載體之中，用以配合教師講解，使學生完成觀看、思考過程，并順利回答教師提出的引導性問題，做到“形”和“數(shù)”之間的相互轉(zhuǎn)變。

教師利用多媒體動畫演示運動軌跡（如圖2所示），使學生看到橢圓的形成過程，然后提出問題：大家可以給動點M運動軌跡構(gòu)建一個與之相對應的恰當平面直角坐標系嗎？

學生在獨立思考后建立平面直角坐標系（如圖3所示）。

教師：按照圖中所示，請思考平面直角坐標系 x 軸和線段FF所在直線有什么關系？請思考在圖中平面直角坐標系 y 軸和線段FF所在直線有什么關系？并在給出動點M坐標與 F₁ ， F₂ 坐標后，要求學生確認相應的代數(shù)形式。并在學生回答后再次追問，這些代數(shù)形式表示的是什么？然后對得到的公式進行化簡。這一過程是解決如何表達橢圓的標準方程的關鍵。

在演示過程中，將讓學生看到圖形的代數(shù)表達式表達方法，并利用簡化得到橢圓標準方程，從而讓學生構(gòu)建形成橢圓幾何圖形同數(shù)量關系二者之間的有機聯(lián)系。

在此過程中，教師利用多媒體演示加講解與提問的形式，幫助學生順利經(jīng)歷了“數(shù)”和“形”相互轉(zhuǎn)化的過程，使學生比較直觀地形成對橢圓本質(zhì)的清晰認知，達到了較好的思維可視化效果。可以說，用圖形變化作為載體的做法，能夠把新概念、新知識真正內(nèi)化成為學生思維體系中的一部分，讓學生結(jié)合形象化的展示方法找到思考、創(chuàng)造的角度，從而一面做到精準關聯(lián)舊知與既有學習經(jīng)驗，一面水到渠成地完成新知識獲取遷移，從而真正完成對新知由表及里的學習。

（六）學以致用

學以致用是思維可視化策略使用的終極目標，而且本處的“用”側(cè)重兩點，一是生活實用，二是遷移應用，即在保證知識有效性與學生思維靈活性方面均要有所兼顧。所以在具體的教學過程中，高中數(shù)學教師應結(jié)合學生實際情況，精準地把握學生知其然、知其所以然的尺度，并據(jù)此精心設計針對性較強的生活實用訓練與變式訓練，使學生得以在解決問題期間經(jīng)歷知識的再次完善過程。可以說這一做法既可增強學生的學習自信心，又能夠讓其主動面對外在可用的知識，水到渠成般地鞏固知識體系。關于具體的學以致用角度，可分別從三個方面進行。

其一，從生活原型中找到能夠表達概念的內(nèi)容，使學生得到知識鞏固的鍛煉。如教師提供天體軌道建模實驗要求，讓學生動手操作完成磁力球和彈性繩模擬行星繞日運動的實驗，并將不同拉力之下軌道形狀變化情況記錄下來，如果條件不允許也可以用新媒體技術(shù)做動態(tài)演示。

其二，給出生活中的具體問題要求學生解決，例如本次教學后教師提出問題：某家庭準備自制一個簡易的太陽能灶，爐灶的反射面是半橢圓形，它可以把陽光聚焦于鍋底，也就是焦點位置。現(xiàn)在已經(jīng)知道反射面的開口寬度是2米，深度是0.5米（深度為開口至最底部位置垂直距離），請給出與反射面相對應的橢圓方程，請確認焦點坐標，也就是鍋底需要放置的位置，從而讓陽光能夠在反射后達到精準聚焦效果。本問題給出具有較典型的思維可視化效果，學生解決本問題時，將用橢圓方程計算焦距，從而精準給出答案，讓反射陽光可以高效聚焦于鍋底。解決第一個問題時，學生首先求橢圓方程，此時第一步是建立坐標系，第二步是確認長半軸和短半軸，第三步是寫出橢圓方程。而為了確定焦點位置也就是鍋底放置點，學生需要首先計算得到焦距，然后確認焦點坐標，最終得到答案：鍋底需要放置于坐標（-0.866，0）米位置。這樣的生活化問題設計直觀體現(xiàn)出數(shù)學建模的實用性，是橢圓方程的生活功能體現(xiàn)。與此問題相類似，還有多個問題可供教師選擇，教師可視情況需要給出一個或者多個問題，如教師可讓學生解決耳廓聚聲原理、超聲波碎石機設計等問題，或者分析橢圓穹頂、拱橋應力等。

其三，教師可在給出問題時，強調(diào)高階思維培養(yǎng)，即讓學生在思維可視化狀態(tài)下，進行創(chuàng)新類問題的解決，以取得自我思維的進一步發(fā)展。例如：教師可利用電影《模仿游戲》中片段內(nèi)容的引入，自然引出橢圓曲線密碼，并做簡化模型演示，使學生看到在有限域上如何做橢圓點加法運算，這將讓學生了解橢圓加密算法，意識到橢圓曲線對于區(qū)塊鏈運用的實際價值。再如：教師可做基礎問題的變式問題鏈設計，設計可分不同層次進行，像基礎層問題：已知橢圓上三點求方程；進階層問題：證明橢圓內(nèi)接四邊形的對角線交點軌跡依然是橢圓；創(chuàng)新層問題：做可調(diào)節(jié)離心率橢圓規(guī)的設計等。

三、總結(jié)與反思

（一）總結(jié)

本次思維可視化教學取得了較好效果，讓學生對橢圓及其標準方程形成了清晰認知，并具有了初步實際運用能力。本次教學的優(yōu)勢在于，利用情境創(chuàng)設、親自操作、類比分析、教師演示以及案例應用等做法，把原本抽象化的定義變得具象化，如焦點動態(tài)演示等做法，讓“距離之和為常數(shù)”通過直觀圖像表現(xiàn)出來，防止學生出現(xiàn)認知模糊與符號混淆問題，像關聯(lián)天文、建筑案例的做法，則從另一個側(cè)面體現(xiàn)出了數(shù)學思維可視化的價值。

（二）反思

本次教學在取得較好效果的同時，依然有幾個研究不到位之處，未來將在這些地方繼續(xù)展開深入探索。

其一是深入探索如何進行思維可視化和學生思維發(fā)展規(guī)律的整合，即在高中數(shù)學課堂教學時，使用思維可視化策略應和學生思維發(fā)展規(guī)律相協(xié)調(diào)，所設計內(nèi)容不應過度復雜或者華而不實，否則無益于學生思維培養(yǎng)。如在橢圓標準方程教學時，選用折紙與畫橢圓等易于操作實驗，在客觀上是有益學生探究知識的，但操作稍顯簡單，未來應適當做難度上的調(diào)整，且要保證整個教學過程的步步深入與循序漸進。

其二是增加互動交流和共同探討的機會，本次教學時也用了少量互動形式，但時間過短，效果不夠明顯。未來教學時，教師應增加對學生相互交流和共同探討的鼓勵，以便促進學生學習效果的進一步優(yōu)化。如當面對解決復雜問題時，教師可以要求學生用分組討論的形式來處理，再如教師可利用設計合作學習任務的做法，把整堂課都置于討論情境之中，把思維可視化策略放在學習任務群中。

其三，教師要重視信息化教學評價系統(tǒng)的建議與使用。近年來所上線的教育評估系統(tǒng)呈現(xiàn)出多種時代特征與優(yōu)勢，在學生學習管理系統(tǒng)、在線測試平臺和電子作業(yè)提交系統(tǒng)的集成之下，可全面關注學生發(fā)展效果。

結(jié)束語

教師應基于此類系統(tǒng)優(yōu)勢，以思維可視化策略使用效果為著眼點，幫助學生站在不同角度了解自身學習情況，比較全面地認識自我，推動自我成長。教師在技術(shù)體系評價支持下，讓學生生動感知自我思維過程，并同時了解原本分散點的取得情況、收納位置等。

參考文獻

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