數學與分數無關

無論從哪種角度觀察，這都是和我們印象中截然不同的數學課。

上課鈴還未響起，教室里彌漫著手沖咖啡的香氣，復古黑膠唱片機播放著巴赫的《哥德堡變奏曲》，這首樂曲的變奏結構常讓人聯想起“數學結構的千變萬化”。

開課了。有好幾節課，黑板上沒出現任何數學符號和計算，老師講的是哲學與科學史，甚至有3小時全部留給了星空。漸漸地，學生們忘記了數學的枯燥，像探索家一樣拿著放大鏡尋找生活中的數學問題。比如，如何有效洗掉細菌、夫妻誰洗碗、醫院取藥柜的設計，都能用數學解答。

這是北京市十一學校高中數學教師朱浩楠的數學建模課。數學建模，簡單來說，就是將現實世界中的問題抽象為數學模型，再利用數學方法解決實際問題。這個聽起來高深的概念，早在2017年便出現在了國家頒布的普通高中數學課程標準中。

近年來，部分省份高考數學的命題開始有了數學建模的味道，不再問“如何利潤更高”， 而是問“ 如何才能更好”。至于什么才是“好”，是“利潤更高”，還是“資源浪費更少”，則需要學生自行定義。2024年， 新定義題型的出現，更讓諸多教育者意識到， 高考數學的內涵變了，刷題無效， 培養數學思維才是關鍵。

朱浩楠的數學課，正是對這一趨勢的積極探索。在他看來，學好數學的關鍵在于讓數學“回歸人的成長和生命體驗”。他想讓更多人看到，數學不止關于分數與計算，數學中還有“美”，以及“真正面向自由的部分”。

他也曾是個“笨”小孩

從事數學教學11年以來，朱浩楠發現學生們學習數學的痛點始終是“知道得很多，懂得很少”。不管成績好壞，“絕大多數學生并不清楚學習數學的意義和價值”。他們認為數學的全部用處就是應試，沒什么動力進一步了解。

“是不是有天賦的人才能學好數學？” 工作十幾年來， 朱浩楠沒少聽到過類似的問題， 每到這個時候， 他都會講起自己學習數學的故事。

朱浩楠以前也是個“笨”小孩，數學成績一度很差。簡單的小學數學，同學們接近滿分，他考70多分。

上了初中，因為數學幾乎沒及格過，他沒少被老師批評。

轉機發生在高中。一次課間，他無聊地按著老式計算器上三角函數的按鍵。計算出sin1的數值后，他用計算器進行sin的不斷迭代計算， 卻意外地發現迭代的次數越多，結果越趨近于0。也許是輸入的數字太小了？

他又嘗試對50000不斷取sin值， 結果還是快速地趨于0。無論輸入什么數字，都是如此。為什么會有如此神奇的事情？鉆研了幾天之后，他發現這一現象原來用高中學過的數列遞推就可以解釋。這是一件很小的事，卻徹底改變了朱浩楠對數學的心態。這之后，他意識到借由數學可以做很多有趣的探索，并由此對數學產生了濃厚的興趣。一個學期之后，他的數學成績進步到140分，再也沒有下滑過。

曾經的生命觸動與改變的數學理念，一直延續到朱浩楠如今的教學中。他反復強調數學知識、數學體系發展到今天，從來不是膚淺地為了給學生出題、考試。因此哪怕是日常教學中，他也會花時間給學生講解每個知識在歷史上的由來、不同數學結構之間的聯系，引導學生認識到“數學是活的，不是死的”，并鼓勵同學們把基礎打牢。

獲諾獎的數學模型，基于初高中知識

“生命體驗”，這是朱浩楠提及數學時最常伴隨出現的詞匯。他舉了一個簡單的例子，在公園玩耍時，你可能偶然間發現松枝平視類似于軸對稱，但如果俯視就成了中心對稱。這讓數學從二維變成三維，并且與自己的生活經驗產生了共鳴。

而數學建模，因其關注的就是如何創造新的方法、結構來解決現實問題，也自然成了數學最容易感受到生命體驗的方式。數學建模會涉及高中數學知識的延伸，并有一套嚴密的邏輯體系，每個上過課的同學都有聽不懂的地方，痛苦是必不可少的。

學生戴亦蕭也不例外，前兩周的學習讓她非常煎熬，因為曾經的她一度以為“只有具備極高數學天賦的人才能學數學建模”。直到第三周，朱浩楠讓大家自由發揮畫愛心。她聯想到折紙中的對稱藝術，將剛學的圓錐曲線對折，畫出了一顆會動的愛心。這個靈光乍現的想法讓戴亦蕭意識到“藝術和數學是可以融會貫通的”。

數學模型可以處理照片中的霧霾；可以用來設計醫院儲藥柜不同層的高度，可以讓藥品擺放、拿取的效率更高；可以計算體育賽事明星的各項數據，預測誰更可能在未來拔得頭籌；甚至玩《王者榮耀》時團隊如何配合可以高效地取得勝利，也能結合向量的知識搭建模型……

前幾年，朱浩楠還帶著學生一起做了一個石刻文物保護項目，幫助安徽齊云山摩崖石刻的保護人員建立預警模型，讓工作人員通過文物的幾項指標就能預判哪個石刻可能出問題，提前做好維護。

用數學跨界

作為一名高中老師，“應試”“分數”“排名”從不出現在朱浩楠的話語體系里。他理解通過高考訓練學生基本學習能力的必要性，但十分反感用這些標簽定義學生。

在他眼中，數學從來不是那么局限的東西。而數學的觸角一旦延展出去，便可能與諸多內容跨界結合。他的很多學生都提到，數學建模的思維對他們后來的學科學習，甚至生活決策都提供了很大幫助。學生劉奕池說，因為要解決真實世界的問題，數據受到各種意外因素的影響，模型會反反復復被推翻，這也讓她在做決策時學會考慮各方的觀點。高中畢業后，她選擇了數學與經濟學專業，這是她之前從未想過的選項。

受到數學建模思維的影響，朱浩楠幾個讀到博士的學生，也開始將數學與其他學科結合，比如，將數學與醫學、人工智能結合進行創業等。

高中畢業后，戴亦蕭選擇gap一年，在一家自然保護組織實習，并嘗試把數學模型應用到自然保護中。在戴亦蕭眼中，數學是美的，這也是朱浩楠反復說的，數學之美不僅在于模型、曲線的美觀，也在于“非數學不可察”。

在朱浩楠看來，數學建模因搭建模型的各種可能性，以及面對真實世界的變化，是“數學中真正面向自由的部分”。他癡迷于在生活中發現數學結構，并將這份喜悅傳遞給學生。這是一門無關成績的數學課，這樣的數學也許不能直接提高分數，卻足以給學生帶來應對不確定未來的競爭力。

（摘自《視野》2025年第13期，郭德鑫圖）