善于聯想提問題 勤于探究終得解
2025-11-12 00:00:00鄧文忠
中學數學雜志(初中版) 2025年5期
反比例函數的圖象和正方形都具有對稱性，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.如果雙雙曲線和正方形聯手，又會碰撞出怎樣的對稱思維火花呢？假如是同心圓和正方形呢？
1 問題的緣起
引例1（2022年十堰中考）如圖1，正方形ABCD的頂點分別在反比例函數 y= 
和 
的圖象上.若 BD//y 軸，點 D 的橫坐標為3，則 
圖1
A.36 B.18 C. 12 D.9
引例2（2023年福建中考）如圖2，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數 
和
的圖象的四個分支上，則實數 n 的值為（ ）.
圖2
1 A.-3 B. D.3 3 3
兩道題似乎不難，筆者在用幾何畫板繪制圖形時很自然地疑從心生：在已知兩個反比例函數的條件下怎樣較精準地畫正方形？筆者由此還發散聯想：在已知兩個圓心為原點的同心圓條件下，是否存在正方形，使得正方形的頂點分別在兩個同心圓上？若存在，能否較精準地畫正方形？
2 問題的探究
2. 1 雙雙曲線中的正方形作圖
2. 1. 1 雙雙曲線與正方形在同一象限
如圖1，以第一象限為例.從對稱性的角度看，雙雙曲線的對稱軸為直線 y=x. 如果存在一個正方形，其四個頂點分別在兩條雙曲線上，那么正方形的對稱軸必須與兩條雙曲線的對稱軸一致，即直線 y=x 否則，正方形的對稱操作無法保持雙曲線的對稱性
此時正方形的中心在直線 y=x 上； AC//x 軸， BD //y 軸（引例1中的“ BD//y 軸”是多余條件）； AD 平行于直線 y=x ，AB垂直于直線 y=x;AB 的中點在直線 y= x 上（即直線 y=x 是 AB 的中垂線）.
若設 A（a，b） ，則 B（b，a），P（b，b），C（2b-a，b） D（b，2b-a） .因為點 A 在 
上，點 c 在 
所以 ab=k1，b（2b-a）=k2. 所以 
因此中
例1已知：反比例函數 
和 
）的圖象.求作：正方形 ABCD ，使正方形的頂點分別在兩個反比例函數的圖象上.
分析 由前述結論知 
故正方形中心為 
，關鍵是作 
長的線段.
作法 （1）如圖3，構造RtΔOEF 和RtΔOFG ，使 OE =EF=FG=1 ，∠OEF=∠OFG =90° ；
（2）在 x 軸上作 OH=OG 過點 H 作 x 軸的垂線，交兩條雙曲線于點 B，D ：
圖3
取 BD 的中點為 P ：
（3）過點 P 作 BD 的垂線，交兩條雙曲線于點 A ，C ：
（4）順次連接 A，B，C，D 得正方形ABCD.
注也可直接作直線 
，交兩條雙曲線于點 B，D ，余下作圖同上.若近似作圖，直接描點P（1.732，1.732） ，余下作圖略.
2.1. 2 雙雙曲線與正方形不在同一象限
如圖2，從對稱性角度看，雙雙曲線的對稱中心為原點.如果存在一個正方形，其四個頂點分別在兩條雙曲線上，那么正方形的中心必須與兩條雙曲線的中心一致，即原點.
若設 A（a，b） ，則 C（-a，-b） .由 ΔBON? ΔOAM 得： ON=AM，BN=OM. 所以 B（-b，a） ， D（b ，-?a） ；進而兩個表達式的比例系數 k 互為相反數.
例2 已知：反比例函數 
-和y= 
的圖象.求作：正方形 ABCD ，使正方形的頂點分別在兩個反比例函數的圖象上.
分析 k=-3 是確定的，正方形的中心在原點.
作法（1）如圖4，在第一象限的分支上任取一點 A ，將A繞點 o 依次旋轉 90° 180°，270° 得點 B，C，D ：（2）順次連接 A，B，C，D 得正方形ABCD.
圖4
注 正方形有無數個.
2.2 同心圓中的正方形作圖
探究1如圖5，選取特殊位置的正方形探究，正方形的中心在直線 y=x 上，一條對稱軸為直線 y=x
設 A（a，b） （ Qgt;0，bgt; 0），則 P（a，a），C（a，2a-- b ）；設 B（c，a） ，則 D（2a- （20 c，a） ：
由 AC=BD 得： b-（2a -?b）=2a-c-c ，所以 b+ c=2a … ①
圖5
設大、小圓半徑分別為R，r ，則 a2+b2=R2，a2+c2=r2 兩式相減，整理得： 
①+② ，可得： 
所以 
所以 32a4-8（R2+r2）a2+（R2-r2）2=0. （204
Δ=64（R2+r2）2-128（R2-r2）2=-64[ （ R2+ r2）2-8R2r2] ：
當 Δ?0 時，能畫正方形，此時 
8R2r2?0 ，所以 
即 
?0 ，解得： 
（2
由于 Rgt;r ，故 
恒成立所以 
所以a2= 
（24號
進而可得點 P 的坐標.
例3已知：圓心在原點的兩個同心圓半徑分別為3和2.求作：正方形ABCD，使正方形的頂點分別在兩個同心圓上.
分析 首先3和2符合 
，故能畫正方形.代入上面結論得 
即 a?1≈ 1.729，a2≈0.511. （20
作法 （1）如圖6，作直線 x=1.729 ，交兩圓于點 A，C ：
（2）作線段 AC 的中垂線，交兩圓于點 B，D ：
（3）順次連接 A，B C，D 得正方形ABCD
注 正方形有無數個．若作直線 
0.511 得正方形A′B′C′D′ ；將正方形ABCD 或 A′B′C′D′ 繞原點 o 旋轉任意角度都是符合題意的正方形
圖6
例4已知：圓心在原點的兩個同心圓半徑分別為1和3.能否畫正方形ABCD，使正方形的頂點分別在兩個同心圓上.
分析 首先1和3不符合 
，故不能畫正方形.
探究2 如圖7，選取 以 y 軸為對稱軸的正方形 探究.
設 A（a，b）（agt;0，bgt; 0），則 B（-a，b），C（-a，b ε-2aε， ） D（a，b-2a）
圖7
設大、小圓半徑分別為 R，r ，則 a2+b2=R2，a2+ （b-2a）2=r2
兩式相減，整理得： 
以下同探究1.
例5已知：圓心在原點的兩個同心圓半徑分別為 
和1.求作：正方形 ABCD ，使正方形的頂點分別在兩個同心圓上.
分析 首先 
和1符合條件 
1）r ，代入上面結論得 
作法 （1）如圖8，作直線 
交兩圓于點 A，D ；
（2）作 A，D 關于 y 軸的對稱點 B，C ：
（3）順次連接 A，B，C ，D 得正方形ABCD.
注正方形有無數個.將正方形ABCD繞原點o 旋轉任意角度都是符合題意的正方形
行文至此，圓滿解決了雙雙曲線、同心圓中幾何畫板作正方形的問題.問題又來了，體現數學美的同心圓中能否尺規作前述正方形？
圖8
3 進一步探究
尺規作圖：求作一個正方形ABCD，使它的四個頂點分別在兩個已知的同心圓的圓周上.
如圖9，利用正方形手 圖9拉手模型可作正方形.只需使公共點 B 在小圓上，OB為小圓半徑.設大，小圓半徑分別為 R，r.
作法（1）如圖10，在小圓上任取一點 B ，以OB為邊作正方形OBEF ：
（2）以 E 為圓心， R 為半徑畫弧，交小圓于點 C（C′） ;
（3）以 BC（BC′） 為邊作 正方形BCDA（BC′D′A′） ·
圖10
則正方形 ABCD（A′BC′D′） 就是所求作的正方形.
簡證 易證 ΔBEC?ΔBOA（SAS） ，則 OA= EC=R. 連接 OD，OC ，易證 ΔOAB?ΔODC（SAS） 則 OD=OA=R. 所以 A，D 在大圓上.
由作法（2）可知， ?E 和小圓有交點，所以 R-r 
，進而 
，這是同心圓能作正方形的條件.
4 探究回顧
4.1 利用對稱性解題是一種重要的解題策略
20世紀德國著名數學家赫爾曼·外爾說過：“對稱是一個廣闊的主題，在藝術和自然兩方面都意義重大，數學則是它的根本.”[］初中數學中常見的有等腰三角形、等邊三角形、正方形、平行四邊形、圓、二次函數的圖象、反比例函數的圖象等軸對稱圖形和中心對稱圖形.上面探究中用到的對稱性結論有：點 A（a，b） 關于點 P（m，n） 的對稱點 A′（2m-a，2n- b ），特別地，點 A（a，b） 關于點 O（0，0） 的對稱點A′（-a，-b） .點 A（a，b） 關于 x=m 的對稱點 A′（2m Σ-Σa，b） ，特別地，點 A（a，b） 關于 y 軸的對稱點A′（-a，b） .點 A（a，b） 關于 y=n 的對稱點 A′（a，2n ?-b） ，特別地，點 A（a，b） 關于 x 軸的對稱點 A′（a， ?-b） .點 A（a，b） 關于 y=x 的對稱點 A′（b，a） ，點A（a，b） 關于 
的對稱點 A′（-b，-a） .在解題時要善于發現題目所蘊含的對稱性，并充分利用這些對稱性來分析，從而避免思路、步驟的繁瑣，達到解題又快又簡，化難為易之目的.
4.2 善于聯想，提出問題，勤于探究
善于聯想在數學學習中就像一把神奇的鑰匙！它讓你把新知識和以前學過的，甚至生活中常見的東西聯系起來，甚或能發現數學的奇妙規律.傳說大數學家笛卡爾就是躺在病床上，看到天花板上蜘蛛爬來爬去結網（像是在一張無形的網上確定位置），突然聯想到可以用兩條數軸來表示點的位置，從而發明了直角坐標系，這徹底改變了數學！在上文中，正方形頂點在雙雙曲線、同心圓上看似風馬牛不相及，實則在對稱性策略上有相通之處.張開聯想的翅膀，這種聯想的習慣，能幫你把零散的知識點串成串，從而問題理解得更深，解題思路也更開闊，這是學好數學非常重要的能力.
參考文獻
[1]譚煒東.初中數學對稱性解題方法探討[J].中學數學（初中版），2012（3）：85，87.
作者簡介鄧文忠（1974—），男，陜西洋縣人，中學一級教師，第四屆縣級名師，縣教研先進個人；主要從事數學解題、中高考和競賽研究，發表文章190余篇.
