基于APOS理論的數學實驗進階教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確強調：教學活動應利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題[1].無理數教學中，常采用“去幾何化”的機械操作，導致認知停留于符號演算層面，從而割裂無理數的本質與其幾何表征的內在聯系.而方格紙作為數形結合載體，是一種重要的數學實驗工具，其可為無理數提供可操作的幾何意義錨點.現基于APOS理論框架進行實驗教學階梯式設計，從而促進學生從直觀操作向形式化推理躍遷，最終構建無理數比較的完整認知圖式.

1無理數大小比較實驗教學的困境

1.1認知斷層導致構造障礙

實驗教學應強化對數學概念或原理等新知識進行關聯和重新組織，形成“有向概念圖”[2].而學生對無理數的理解常始于“無限不循環小數”的抽象定義，卻難以建立其幾何實在性.這主要由于直覺經驗局限，學生慣于整數、分數在數軸上的精確標定，但√2等無理數需通過單位正方形對角線間接生成；其次操作表象缺失，學生未經歷“畫正方形 $$ 連對角線 $$ 測量驗證”的完整操作，導致無法內化勾股定理的逆向應用.

1.2幾何解釋缺位導致比較障礙

在數學實驗學科實踐活動中，部分教師僅考慮實驗的外在價值，而忽視實驗過程的內在價值.盡管學生能背誦平方比較法判定 ，但學生無法解釋“為何比較平方而非原式”.這一障礙源于算法與模型的割裂，教學中未建立代數操作（平方）與幾何操作（面積重疊法）的對應關系；其次度量意識薄弱，學生缺乏“長度即圖形可疊合性”的度量本質認知，導致對無理數大小判斷仍需依賴小數近似值.

1.3策略缺失導致遷移障礙

數學實驗應自由地進行知識共建和經驗分享，從而進一步促進新意義的創造[3].當問題進階至兩個無理數的和（或者三根無理數的和）與另外一個無理數的大小比較的組合式或無理式的和的最值問題時，學生未能主動關聯幾何模型，利用兩點之間線段最短來探究問題、解決問題.其深層原因是對象化水平不足，未將無理數從“單一長度”抽象為“可運算的數學對象”，無法進行折線路徑合成；其次是圖式僵化，在最值問題中學生固守代數求值，卻忽略其本質是“將軍飲馬”中路徑最短的物理直觀

2APOS理論簡介與數學實驗教學

2.1 APOS理論簡介

APOS理論由數學教育家杜賓斯基（EdDubin-sky）提出，以皮亞杰的建構主義為基礎，將數學概念的習得分解為“操作（Action） $$ 過程（Process） $$ 對象（Object） $$ 圖式（Schema）”四個認知階段.其中，操作（Action）指學習者通過外顯的物理或心理操作直接感知數學對象；過程（Process）指通過重復活動，學習者內化操作步驟，形成可逆的思維模式；對象（Object）指當過程被壓縮為獨立實體時，學習者可對其進行整體分析和操作；圖式（Schema）指通過與其他概念的交互整合，形成系統化的知識網絡.該理論強調學習者在具體操作與抽象反思的循環中逐步建構知識，尤其適用于解決無理數比較這類兼具代數抽象性與幾何直觀性的教學難點.

2.2APOS理論框架下的實驗教學設計

數學實驗是“為促進理性思維，驗證數學猜想，歸納數學規律，獲得數學知識，解決數學問題，通過一定的方法，借助一定的設備，運用一定的手段，在數學思維活動的參與下和典型的實驗環境中所進行的一種數學建構過程和數學探索活動”[4].現以蘇科版數學實驗手冊八年級下冊實驗17“方格紙中的無理數——比較無理數的大小”為例，探索通過APOS階段遞進，幫助學生從動手操作過渡到抽象推理實驗教學路徑，從而使學生在動手操作中積累經驗，在思維內化中提煉方法，最終實現從直觀經驗到形式化數學的認知跨越

（1）APOS理論指導下的四階段實驗目標（具體參見表1）

表1APOS理論指導下的四階段實驗目標

（2）實驗工具與材料：方格紙、直尺、鉛筆、計算器（可選）.

（3）基于APOS四階段的實驗活動設計（具體參見表2）

表2基于APOS四階段的實驗活動設計

2.3APOS理論框架下的實驗教學實施

階段1 操作（Action）- 一做中學，建構直觀感知

問題1（1）觀看“數學第一次危機\"視頻，思考導致希帕索斯喪生的數是哪個數？我們把這個數命名為什么數？你還能舉出這樣的一些數嗎？

（2）在學習有理數時，我們分別研究了它的性質、大小比較以及運算，那么對于無理數在數學實驗16中，我們借助在方格紙中剪拼正方形的探究活動理解了其性質，那么接下來我們將要學習什么？

（3）對于無理數 和 ，你除了用代數方法進行比較外，你還能想到什么方法比較其大小的？其中，借助數軸比較這兩個無理數的大小，關鍵是什么？有沒有比數軸更方便的構造工具？

教學說明活動階段表現為學生在網格紙上構造無理數對應的斜線段 ，其主要原理通過構造兩直角邊分別為 m，n （網格長分別為 m，n） 的直角三角形得到斜邊 ：首先利用數學文化引入無理數，以此激發學生學習欲望：其次通過學習路徑的引領激發學生學會主導學習；最后啟發學生將抽象的無理數轉化為直觀的幾何圖形，借助比較線段大小的方法：度量法、疊合法、圓規截取法，并做出比較，以上三種比較的方法都無法用于理論證明.而在數軸上借助直角三角形構造出長度為無理數的線段，也可比較大小，通過追問“有沒有比數軸更方便的構造工具”，從而引出在方格紙中探究無理數的必要性.

階段2 過程（Process）——思中悟，內化比較方法

問題2（1）利用網格紙比較 與 的大小，并說明理由.

教學說明 數學觀察、數學思考、數學表達是開展數學學習的基本步驟，是發展學生核心素養的基本操作[5].過程階段則發展為學生在心理層面進行思維操作，能夠在想象中完成圖形構造.引導學生將 看成兩個實數的和，即在網格中構造長度為 和1的兩個線段的和，再與 構造出如圖1所示的三角形，進而利用三角形的兩邊之和大于第三邊，得出

（2）如何借助方格紙比較無理數 與 的大??？你是怎么想到的？判斷的依據是什么？說給你同桌聽一聽.

教學說明 問題設計凸顯從具體到抽象的思維過渡，加強過程內化.如圖 以及

圖1

正好構成直角三角形，借助“直角三角形斜邊大于直角邊”來判斷，本質是“垂線段最短”，從而得出 ;如圖3，將“ 理解為\" ，從而構造出 為三邊的三角形，再借助三角形三邊關系即可判斷 .這里采用正向拓展、逆向設計的方式，鞏固和理解探究的原理，形成批判性的思維，助推學生推理能力和思維能力進一步提升

圖2

圖3

階段3 對象（Object）——用中通，實現概念升華

問題3 （1）嘗試在方格紙上利用構造圖形的方法比較 與 的大小.

教學說明 對象階段的標志是將無理數視為獨立實體，理解無理數本身就是一個確定的數學對象（如線段、三角形的一邊等）.對于帶有分母的一類比較大小的題目，一是引導學生從“數”的角度：將各數同時擴大為原來的整數倍（分母的最小公倍數），即比較 與 大?。ㄈ鐖D4），從而化“陌生”為“熟悉”、化“未知”為“已知”；二是引導學生從“形”的角度：利用平行四邊形知識或中位線構造一半（如圖5）.從而通過一題多解，培養學生思維靈活性.

圖4

圖5

（2）請嘗試用構造圖形的方法比較 與 （含有根號的無理數）的大小.

教學說明 通過開放問題設計，培養學生構圖解決問題能力.通過依次構造 ， 三條線段，再把分別表示 和 的兩條線段的起點和終點聯結起來構造出的長為無理數線段，答案不唯一如圖6、圖7中紅色線段長分別為 ， ， ，然后利用兩點之間線段最短，即可得出 ，或 ，或 等不等式.再通過追問還可構造出橫線上可填最大的無理數為 ，并通過直觀發現當已知線段順著同一方向陡度越大構造出的線段就越長.從而，通過“做一思一用一聯”的遞進式培養，使學生在操作中積累經驗，在反思中提煉方法（兩點之間線段最短），最終形成靈活的問題解決能力

圖6

圖7

階段4 圖式（Schema） 一聯中活，構建認知網絡

問題4 已知線段 AB=10 ，點 P 為線段 AB 上的任意一點，線段 AP=x

（1）操作：請構造長度分別為 ， 的線段.

（2）觀察： 的幾何 意義.

（3）思考：上述構造的兩條線段之和有最小值嗎？如果有，請求出最小值，并在圖中標出取最小值

時點 P 的位置

（4）應用：類比以上探究問題的方法，求 的最小值.你有幾種想法？

教學說明 圖式階段體現為構建完整的認知結構，通過“具體操作 $$ 半抽象 $$ 抽象”過程，遷移無理數大小比較的經驗去靈活解決無理式的最值問題.問題設計促使學生察覺不同表征間的聯系，培養學生在不同情境下選擇最優表征方式的能力.本問題著眼根據代數式 還原幾何圖形進行逆向轉換，從式子的結構特征上讓學生清楚解決問題的關鍵還是構造直角三角形，在表格空間允許的情況下可以在 AB 的同側構造，也可以在異側構造，運用知識“兩點之間線段最短”解決問題.其中（4）應用的設計旨在培養學生的關聯意識，方法1設 AP 的長度就是 x-1 ， BP 的長度就是 11-x ，則 AB 的長度即為定值10，打破學生的常規認知；方法2借助數軸解決問題，將1和11看作是數軸上兩個點的示數；方法3，建立坐標系，將 （x，0） 看作是 x 軸上不確定的一點，將問題轉化為求與點（1，2），（11，4）或（11，-4）距離之和的最小值問題.從而通過一題多解，培養學生思維靈活性.

小結思考今天我們學到了什么？你是如何學習的？你還想研究什么？

教學說明通過小結與思考活動（學習結構圖略），旨在加強學生為什么學，學什么，怎么學，學到什么程度，還能學什么的問題意識，使學生體驗數學的發生和生成，教會學生掌握研究問題的一般路徑和策略，積累數學活動經驗，提高學科素養.

3APOS理論框架下的實驗教學反思

3.1加強實驗過程設計，貫通APOS轉化鏈條

從幾何直觀的視角去探尋幾何直觀的發展層序，幾何直觀的思維功能才能得以啟動，學生的幾何直觀意識才能自然建構，幾何圖形才能真正走向直觀[6].因此，實驗過程設計需緊扣APOS理論的階段性認知目標，避免手腦割裂.在活動（Action）階段，網格作圖任務需承載雙重功能：既要通過構造 等線段建立幾何直觀，又要預設認知沖突.例如，設計對比任務：先讓學生憑視覺判斷 1×1 網格中相鄰兩直角邊構成的斜線（ 與 1×2 網格對角線 的長短，再引導其用透明膠片疊加驗證，暴露視覺誤差.這一設計將具體操作轉化為思維痕跡，為活動向過程（Process）轉化鋪設跳板.在過程內化環節，需通過拋出問題：比較大小 實現認知躍遷.此過程剝離具體載體，促使學生從動手測量轉向借助網格動腦推演，完成過程到對象（Object）的壓縮.最后通過學后小結引導學生從測量操作轉向抽象推理，完成規則對象化，揭示比較大小的兩種方法：垂線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊.為突破\"對象化\"到“圖式（Schema）\"的整合瓶頸，通過多表征融合實驗促使學生將網格操作經驗編織為認知網絡，并揭示出網格中無理數大小比較其本質是“兩點之間線段最短”，從而最終幫助學生形成關于實數大小關系的完整圖式.

3.2加強實驗教學實施，激活圖式整合動能

教學既要尊重學生已有的知識、能力和經驗基礎，明白學生新舊知識的“潛在距離”，又要提升學生思維能力和學習品質.實驗教學實施的核心矛盾在于：學生易陷入操作慣性而停滯于“過程（Process）\"階段，難以實現向“對象（Object）”的認知躍遷.這要求教師結構化干預破除學生學習操作耗時擠壓思維深化障礙.在網格構造帶根號的無理數環節，學生常因圖形不熟耗費過多時間，導致認知停留于動作重復.對此教學中應首先將技能前置化：如何用兩直角邊定位 ，開課即聚焦勾股定理的快速應用進行“3分鐘網格構造特訓”，確保學生能在短時間內內完成 的作圖;其次啟動三階提問鏈助推思維升級：（1）嘗試在方格紙上利用構造圖形的方法比較 的大小；（2）請嘗試用構造圖形的方法比較 與（含有根號的無理數）的大??；（3）構圖說明 的幾何意義，并求其最值.邏輯性是數學的最大特征，相互聯系的知識點構成一個完整的系統，這就讓數學學習具有較大的思想性[7].為此教師應回到學習者身旁，及時捕捉學生APOS進階契機，通過小組合作幫助學生打通從對象認知到圖式整合的路徑，明晰數學知識的“來龍去脈”，使其充分經歷“再創造”“再發現”的過程，從而幫助學生積累學以致遠的學習經驗

3.3 加強實驗教學評價，驅動認知階段躍遷

融人學習的考評著眼于學生對自己的學習過程的反思和優化[8].相信學生需求的可塑性和教學的發展性是教學活動的前提[9].實驗教學評價的終極使命是構建“設計—實施—診斷—進化”的動態閉環，其核心在于將APOS理論中內隱的認知層級轉化為可觀測、可干預、可驗證的外顯行為證據鏈.為此，應遵循數學學科實踐要求和能力進階發展需要，通過構建四維動態量規表（具體參見表3），為每個層級設定專屬行為指標，將抽象認知層級轉化為可觀測、可測量的行為證據鏈，避免評價對答案正確性的單一關注，轉而聚焦認知階段的轉化效能，使學生不斷感悟概念的結構性和知識遷移的形成性，以進一步提高基于思維高通路遷移的的課堂實踐，從而克服知識本位、行為固化等教學不足.其中，動態量規的核心價值在于精準定位APOS轉化斷裂層和學生認知斷點，便于教師靶向干預.素養本位教師理解教材的過程本質上是將基于核心素養學科育人體系的理想教材轉化為學生學習教材的過程[10].對于學生APOS轉化階段學生暴露出的問題，教師應反向溯源，引導喚醒學生元認知并及時補救，如定制補救微課，從而使評價從判斷對錯升維至認知修復，使評價數據成為教學策略迭代的永動引擎

表3基于APOS理論的四維動態量規表

4結束語

APOS理論揭示數學概念的建構本質——從具身操作到觀念生成，而網格恰為這一實驗過程提供了直觀載體.基于APOS理論構建數學實驗教學，通過“活動 $$ 過程 $$ 對象 $$ 圖式”的認知進階實施，能將抽象的代數比較轉化為可視化的幾何操作，這一實踐不僅破解了機械記憶的困境，更印證了杜賓斯基的論斷：“數學理解誕生于操作的內化與重構.”希望廣大教師以APOS理論為指南，在數學實驗中化操作為思想、化工具為觀念、化知識為素養，唯有如此，數學教育方能真正實現從傳遞結論到孕育思想的躍遷，使學生親手“丈量”無理數的過程中，觸摸到數學最本真的邏輯之美.

參考文獻

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[9]于翠翠.教學的表現主義困境及其消解[J].課程·教材·教法，2023，43（6）：54-61.

[10]雷浩，王丹藝.教師應該怎樣理解教材：素養本位的教師教材理解過程模型建構[J].教育發展研究，2022（18）：47-54.

作者簡介沐文中（1978—），男，中學高級教師，泰州市學科帶頭人；主要從事數學教育教學研究，主持并參與江蘇省教研和規劃課題多項，發表論文20多篇.

胡錦秀（1978—），女，中學一級教師，泰州市教學能手；主要從事數學教育教學研究，主持并參與江蘇省教研和規劃課題多項，發表論文10多篇.