高中物理中的近似計(jì)算與估算問題

近似法是高中物理中廣泛采用的思想方法.在分析解決實(shí)際問題時(shí)，對于那些難以或無須進(jìn)行精確測量與計(jì)算的物理量，通常需要靈活運(yùn)用微分、冪級數(shù)、二項(xiàng)式定理等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行近似處理或粗略估算，以便對問題作出合理的解答.

1應(yīng)用微分思想進(jìn)行近似計(jì)算

若函數(shù) y=f（x） 在點(diǎn) x₀ 處的導(dǎo)數(shù) f^′（x₀）≠0 且 ∣Δx∣=∣x-x₀∣ 很小，忽略函數(shù)變化量 Δy 與函數(shù)微分 dy 的差異，有 f（x）-f（x₀）≈f^′（x₀）（x-x₀）， 整理得 f（x）≈f（x₀）+f^′（x₀）（x-x₀）

如果 f（x₀） 和 f^′（x₀） 都容易計(jì)算，這個(gè)式子可以用于 f（x） 的近似計(jì)算.從導(dǎo)數(shù)的幾何意義來說，這種近似計(jì)算的實(shí)質(zhì)是用曲線 y=f（x） 在 x₀ 處的切線來近似代替該曲線.

若 x₀=0 ，上式變?yōu)?f（x）≈f（0）+f^′（0）x .應(yīng)用此式，可以推導(dǎo)出幾個(gè)常用的近似計(jì)算公式（下列各式中 |x|0）：（1+x）^m≈1+mx，m 取任意常數(shù)；sinxtan x≈x，x 以弧度為單位；cos x≈1 ； e^x≈ 1+x · .·

這幾個(gè)近似計(jì)算公式在高中物理中應(yīng)用比較廣泛.例如，研究單擺的小振幅振動(dòng)時(shí)，單擺回復(fù)力可以進(jìn)行如下分析：

由此可見，單擺做小振幅振動(dòng)時(shí)，所受的回復(fù)力大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反，符合簡諧運(yùn)動(dòng)的特征，即單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)，

又如，某種金屬材料的線膨脹系數(shù)為 α ，其長度 l 與溫度 Ψ_tΨ_Ψ 的關(guān)系式為 l=l_o（1+αt） ，用這種材料做成立方體，立方體的體積 V=l³=l₀³（1+αt）³≈ l³（1+3αt）=V（1+βt） ，由此可見 β=3α ，即體膨脹系數(shù)為線膨脹系數(shù)的3倍，

再如平面折射成像問題.如圖1所示，物點(diǎn) s 發(fā)出的光線經(jīng)平面折射，成像于像點(diǎn) S^′ （虛像）.在近軸條件（入射角、折射角趨于零）下， sinθ=tanθ=θ ，結(jié)合n₁sinθ₁=n₂sin θ₂ ，可以推得 n₁tanθ₁=n₂tanθ₂ ，即有 有 中即 （20

圖1

例1已知單擺的振動(dòng)周期 ，其中 g 取 9.8m?s^-2 ，擺長原為 20cm ，為使周期增大 0.05s ，擺長需要增加多少？

解析

擺長增加 Δl ，周期對應(yīng)的增加量 ΔT= 代人數(shù)據(jù)解得

本題中周期 T 是擺長 l 的函數(shù)，可以利用微分思想進(jìn)行近似計(jì)算，思路如下： T（l）= T（l₀）+T^′（l₀）（l-l₀） ，即 ΔT=f^′（x₀）?Δl ，另外，在代入數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)，可以利用 進(jìn)行近似計(jì)算.

例2如圖2所示，從 z 軸上的 O 點(diǎn)發(fā)射一束電荷量為 q（q"?gt;0 ）、質(zhì)量為 Ψ_m"的帶電粒子，其速度的大小都等于υ ，速度方向分布在以 O 點(diǎn)為頂點(diǎn)、""軸為對稱軸的一個(gè)頂角很小的錐體內(nèi).試設(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場，使這束帶電粒子會(huì)聚于 z 軸上的另一點(diǎn) M，M 點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離為 d .要求給出該磁場的方向和磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值.不計(jì)粒子間的相互作用和重力的作用，

圖2

如圖3所示，磁場應(yīng)該沿 z 軸正向，帶電粒子做等距螺旋運(yùn)動(dòng)，螺距為 h ，且""其中，θ0 ，cos θ≈1 ，整理得""其中 n=1，2 ，（204號 3，….n=1 時(shí) B 取最小值"

圖3

例3計(jì)算同軸柱形電容器的電容：電容器長為L ，內(nèi)外筒半徑分別為 R_A，R_B，L?（R_B-R_A） ，邊緣效應(yīng)可忽略，筒可以看成無限長，筒中無介質(zhì).

如圖4所示，讓內(nèi)外筒分別帶上電荷+Q，-Q ，筒間存在徑向非勻強(qiáng)電場，在內(nèi)外筒之間建立長為 L 、截面半徑為 r 的高斯面，根據(jù)高斯定理 整理得電場強(qiáng)度 E₀= 2πerL；筒間電勢差

圖4

筒中無電介質(zhì)時(shí)，同軸柱形電容器的電容

若筒中充滿相對介電常數(shù)為 ε_r 的電介質(zhì)，則 （20電場強(qiáng)度 ，筒間電壓相應(yīng)變?yōu)樵档?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2025/1120/DqAxd2AJ8mHRjMDrvNf5JR.webp"/> 倍，電容變?yōu)樵瓉淼?ε_r 倍，即 若d=（RB-RA） ，同軸柱形電容器的電容的決定式近似為

回顧上述實(shí)例可以體會(huì)到，近似計(jì)算并不意味著計(jì)算結(jié)果的粗糙和不準(zhǔn)確.其實(shí)恰恰相反，通過近似計(jì)算可以得到誤差相對較小的可靠結(jié)果，近似計(jì)算的過程也體現(xiàn)了不斷接近真實(shí)值的方法和途徑.

2 建構(gòu)理想模型解決估算問題

估算是在物理原理指導(dǎo)下的近似計(jì)算.高中物理的實(shí)際問題，其研究對象和過程往往比較復(fù)雜、多種因素交織，為簡化運(yùn)算、準(zhǔn)確揭示問題本質(zhì)，在處理過程中需要抓住主要因素、忽略次要因素，構(gòu)建理想模型解決問題.具體步驟可以概括為“分析問題情境，構(gòu)建模型 $$ 篩選物理規(guī)律，列出方程 $$ 合理近似計(jì)算，得出結(jié)果\"等三個(gè)環(huán)節(jié).

物理模型包括對象模型（如點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、理想氣體）、過程模型（如勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻加速直線運(yùn)動(dòng)、等距螺旋運(yùn)動(dòng)）和條件模型（如勻強(qiáng)磁場、勻強(qiáng)電場、空氣阻力忽略不計(jì)等）.建模時(shí)，需要抓住主要問題，對實(shí)際問題進(jìn)行合理抽象.

常見的估算題，文字大多比較簡潔，已知條件較少，有些估算題甚至一個(gè)已知量也沒有，這就需要認(rèn)真審題、仔細(xì)推敲、廣泛聯(lián)系，從字里行間挖掘隱含條件，充分利用所掌握的物理常數(shù)和所熟悉的生活常識，作為估算依據(jù).

物理估算題對所求結(jié)果的準(zhǔn)確程度要求不高，一般只要求計(jì)算結(jié)果保留 1～2 位有效數(shù)字，甚至只要求估算待求物理量的數(shù)量級（如用油膜法估算油酸分子的直徑）或取值范圍.為了提高估算的效率，并保證結(jié)果的合理性，估算時(shí)應(yīng)注意如下原則：1）代入數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)，一般情況下，每個(gè)已知量要比計(jì)算結(jié)果多保留一位有效數(shù)字；2）兩個(gè)同類物理量相加減時(shí)，若兩個(gè)量比值在10倍以上，較小的量可以忽略；3）估算過程中常用到一些數(shù)學(xué)近似，如 ，忽略高階無窮小……

例4太陽因核聚變釋放出巨大的能量，同時(shí)其質(zhì)量不斷減少.太陽每秒鐘輻射出的能量約為 4× 10²⁶ J，根據(jù)愛因斯坦質(zhì)能方程，太陽每秒鐘減少的質(zhì)量最接近（ ）.

A. 10³⁶kgB. 10¹⁸kg （20號 C.10¹³kgD.10⁹kg

. 根據(jù)愛因斯坦質(zhì)能方程 E=mc² 可知，太陽解析 輻射的能量與質(zhì)量虧損的關(guān)系為 ΔE= △mc2，太陽每秒鐘減少的質(zhì)量 10⁹kg ，選項(xiàng)D正確.

本題是高考試題，考查對愛因斯坦質(zhì)能方程的理解和應(yīng)用，同時(shí)考查估算方法的運(yùn)用和計(jì)算等推理能力.

高考中對計(jì)算能力的考查有些是要求考生計(jì)算出具體的數(shù)值，有些只是要求把握計(jì)算結(jié)果的數(shù)量級.從學(xué)科素養(yǎng)的角度來看，估算也是進(jìn)行科學(xué)探究的一種具體表現(xiàn).

例5某中學(xué)生在跳繩比賽時(shí)每分鐘跳了180次，假設(shè)在每次跳躍中，騰空時(shí)間占每次跳躍所用時(shí)間的 ，請估算該中學(xué)生在跳繩時(shí)克服重力做功的平均功率.

跳躍的周期 s，每個(gè)周期的騰空解析時(shí)間 s，該中學(xué)生跳起后的運(yùn)動(dòng)可看作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，起跳初速度 次跳躍克服重力做功 ，取該中學(xué)生的質(zhì)量為 50kg ，該中學(xué)生在跳繩時(shí)克服重力做功的平均功率

。點(diǎn)本題取材于中學(xué)生的生活實(shí)際，體現(xiàn)估算題“分析問題情境，構(gòu)建模型 $$ 篩選物理規(guī)律，列出方程 $$ 合理近似計(jì)算，得出結(jié)果”的三個(gè)環(huán)節(jié).

審題時(shí)，將跳起后的運(yùn)動(dòng)看作豎直上拋運(yùn)動(dòng)（理想模型），根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律計(jì)算起跳時(shí)的初速度，從而進(jìn)一步估算該中學(xué)生在跳繩時(shí)克服重力做功的平均功率.

題目中沒有具體給出中學(xué)生的質(zhì)量，學(xué)生可以結(jié)合自己的體重進(jìn)行估算，計(jì)算結(jié)果在 50～100W 的大致范圍內(nèi)都是正常的.

例6人造衛(wèi)星在繞地球運(yùn)行時(shí)，會(huì)遇到稀薄大氣的阻力.如果不進(jìn)行必要的軌道維持，稀薄大氣對衛(wèi)星的這種微小阻力會(huì)導(dǎo)致衛(wèi)星軌道半徑逐漸減小，以至最終落回地球.這個(gè)過程是非常漫長的，因此衛(wèi)星每一圈的運(yùn)動(dòng)仍可以認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動(dòng).規(guī)定兩質(zhì)點(diǎn)相距無窮遠(yuǎn)時(shí)的引力勢能為零，理論上可以得出質(zhì)量分別為 m₁…m₂ 的兩個(gè)物體相距 r 時(shí)，系統(tǒng)的引力勢能為 Gmm2.已知人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m，某時(shí)刻繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 r ，地球半徑為 R ，地表附近的重力加速度為 g

（1）求此時(shí)刻衛(wèi)星的瞬時(shí)速度大小 υ 和衛(wèi)星的機(jī)械能 E_#L ：

（2）由于大氣阻力的影響，衛(wèi)星的軌道半徑逐漸由 r₁ 減小為 r₂ .求在這個(gè)過程中，萬有引力做的功W_G 與克服大氣阻力做的功 W_f 的比值.

（3）已知地球半徑為 6400km 當(dāng)衛(wèi)星軌道離地面的高度為 200km 時(shí)，由于大氣阻力的影響，測得衛(wèi)星每繞地球一周，軌道高度降低 20m .試估算在此高度大氣對衛(wèi)星的阻力大小 f 與衛(wèi)星所受地球引力大小 F 的比值 k （答案保留1位有效數(shù)字）.

（1）設(shè)地球質(zhì)量為 M ，對于地球表面質(zhì)量為m₀ 的物體，萬有引力等于重力，即 m₀g ，整理得 GM=gR² ；衛(wèi)星繞地飛行，萬有引力提供向心力，則有 整理得 ；由 得 ；由題意 E_p= 則

（2）根據(jù)功能關(guān)系有 整理得 W_f=

（3）衛(wèi)星軌道漸變，每一周仍視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 則有 W_f=2πrf ，所以

結(jié)合 得，

本題綜合考查萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)、功能關(guān)系，對學(xué)生的近似計(jì)算和估算能力有較高要求.第（3）小題的模型建構(gòu)非常關(guān)鍵——衛(wèi)星軌道漸變，每一周仍視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即有 W_f=2πrf ，這一步簡化了克服摩擦力做功的計(jì)算；推導(dǎo)摩擦力大小的解析式時(shí)，運(yùn)用近似計(jì)算 ，再一次簡化摩擦力的計(jì)算.題目最后的比值運(yùn)算屬于估算問題，只要求保留1位有效數(shù)字，代入數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)不必精確計(jì)算到最后一步.（可以粗略地約分）

3誤差傳遞問題

如果一個(gè)間接測量量的表達(dá)式里包含幾個(gè)直接測量量，由于每個(gè)直接測量量都會(huì)產(chǎn)生誤差，因此間接測量量的誤差由這幾個(gè)直接測量量的誤差共同決定.

如果已知間接測量量 Y 與直接測量量 A，B 的函數(shù)關(guān)系，就可以推算間接測量量 Y 的絕對誤差和相對誤差，如表1所示.（推導(dǎo)過程忽略高階無窮小量）

表1

例7用電壓表和電流表測得某燈泡的電壓和電流分別為 （218.2±0.5）V，（0.183±0.005） A，由此計(jì)算燈泡電功率的最大絕對誤差和最大相對誤差.

根據(jù)題意，電功率 P=UI ，絕對誤差計(jì)算如下：

P+ΔP=（U+ΔU）（I+ΔI）=UI+U?ΔI+I?ΔU+ΔU?ΔI≈UI+U?ΔI+I?ΔU.

最大絕對誤差

ΔP=U?ΔI+I?ΔU=（218.2×0.005+0.183×0.5）W=1.2W.

最大相對誤差

本題涉及測量誤差的傳遞，在計(jì)算電功率的最大絕對誤差時(shí)，忽略了高階無窮小量 ΔU ：ΔI ，這一點(diǎn)請讀者注意體會(huì)，以加深對近似計(jì)算的理解.計(jì)算最大相對誤差時(shí)，也可采用公式 δ_P=δ_U+δ_I"進(jìn)行估算.

綜上所述，本文重點(diǎn)闡述微分思想在近似計(jì)算中的應(yīng)用、建模解決估算問題以及誤差傳遞問題.高中物理中的近似計(jì)算和估算問題還有很多，但解決問題的思想方法和流程大同小異，不再一一贅述.

本文系“教育部新時(shí)代中小學(xué)名師名校長培養(yǎng)計(jì)劃（2022—2025）\"王朝祥名師工作室成果.

（完）