深度探究高中物理極值問題的解題思路

在研究高中物理問題時，當出現“最大或最小”“什么范圍”“至少或至多”等詞語時，屬于極值問題，也叫臨界問題，此類問題難度較大，體現在：一是解法多變，二是有不確定性的感覺，三是需要有較好的跨學科知識儲備，四是運算量較大.正因如此，此類問題能較好地培養學生的分析與綜合能力、遷移應用能力以及科學思維方法.本文以例示范，深度探究該類問題的解題策略，

1 示例分析，以例示范

一例1如圖1所示，有一堵豎直的墻高為 h ，一人從離墻距離為 d 處踢足球，不計空氣阻力，要使足球踢過墻頂，球的初速度最小應為多大？

圖1

分析足球做斜拋運動，將運動分解到水平、豎直方向，運動學方程為

d=v₀tcosθ，

思路1 （三角函數法）消去時間 Ψ_t ，可得

即

由輔助角公式，得

當si n（2θ-φ）=1 時，分母取極大值，此時

則初速度的最小值

當出現 asinθ±bcosθ^′ 時，常采用輔助角公式分析.有時沒有出現 asinθ±bcosθ^′ 時也可采用三角函數分析，注意觀察使用，如光滑斜面的時間問題.

思路2 （均值不等式法）令 y=h ，移項后運動學方程為 將兩式平方后相加，可得 由均值不等式知 （2則 所以初速度最小值

用均值不等式求和的最小值時，要定積，求積的最大值時，要定和.

思路3（二次函數法 + 不等式法）令 y≥h ，得

即

gd²tan²θ-2v₀²dtanθ+gd²+2v₀²h?0. ① 令tan θ=x ，式 ① 為關于 x 的函數 f（x）?0 ，存在 x 使之成立的條件是：令 f（x）=0 的判別式

解不等式得 （舍去）或 v₀²? .故初速度的最小值

二次函數的性質、一元二次方程的性質、不等式的性質都可用于求解極值問題.

例2兩個等量同種點電荷之間的距離為 _L，O 為連線中點，兩電荷連線中垂線上有一點 A ，如圖2所示.求當 A 點的場強最大時， AO 的距離.

分析根據場強疊加原理，將兩點電荷在中垂線上的場強進行合成，如圖3所示，可得

思路1 （導數法）式 ① 中， 為一定值，令f（cosθ）=sin²θcosθ=-cos³θ+cosθ ，再令cos θ= x ，函數為 f（x）=-x³+x ，將函數針對變量 x 求導函數，當 f^′（x）=-3x²+1=0 時，函數 f（x） 取極值，解得 或 （舍去），即當cosθ= 時， E 取最大值，此時

在極值問題中，導數法的應用更為廣泛，尤其對于較復雜函數，可簡化問題.可用導數證明：動力學問題中，加速度 a=0 時，速度最大或最小，推廣到曲線運動中，合外力 F⊥v 時，速度最大或最小.也可用導數證明“光程最短原理”

思路2 （均值不等式法）令

根據均值不等式有

當 sin²θ=2cos²θ 時， f²（cosθ） 取最大值，即當cos 時， E 取最大值，此時 將函數 f（cosθ） 進行平方，且引入系數的目的是讓三項之和為定值.

一例3如圖4所示，質量為 Ψ_m 的物塊，在與水平方向成 α 角的牽引力 F 作用下，沿水平面向右勻速運動，物塊與水平面間的動摩擦因數為 μ ，則牽引力 F 最小時的牽引角 α 為多大？

思路1 （幾何法）如圖5所示，將支持力 F_N 與滑動摩擦力 F_f 合成為 F^′ ， F^′ 與水平方向的夾角 β 滿足 tanβ= 為一定值， F^′ 方向不變.構造動態三角形，可知當 F⊥F^′ 時，即當 α+β=90^° 時， F 取最小值，此時tan α=μ ，則 α= arctan μ ：

圖4

圖5

此法亮點是將滑動摩擦力與支持力合成，合力 F^′ 方向不變，同時將4個力變為3個力，符合動態三角形適用條件，若物塊做勻加速運動，引入慣性力后，仍可使用幾何法求解.

思路2（三角函數法）如圖6所示，對物塊進行受力分析、正交分解有

圖6

其中 cos φ= ，故當 cos（α-φ）=1 時，即牽引 或 α= arctan μ 時，牽引力 F 最小.

例4汽車以 1m?s^-2 的加速度啟動，同時車后60m 遠處有一人以一定的速度 v₀ 勻速追趕要車停下.已知人在離車小于 20m ，且持續時間為 2s 喊停車，方能把停車信息傳達給司機，問 v₀ 至少要多大？

思路1（ v-t 圖像法）作運動過程 v-t 圖像如圖7 （204號所示，根據相似三角形性質有 ，得 Δv= ，因為 v₀=at₀ ，所以 Δv=v₀-at ，相對位移 at-2ut，因為a=1ms2，間距的數學表達式為

圖7

令 d=20m ，有 ，解得

即2 ，解得 v₀?9m?s^-1

v-t 圖像能夠很直觀反映物體間相對位置關系，因此涉及相對運動的極值問題可以采用v-t 圖像法.

思路2 （不等式法）設 Ψ_tΨ_Ψ 時刻人與車之間的距離變為 Δx ，如圖8所示，則 x_Λ+Δx=x_Λ+60m ，由運動學關系得 Δx=0.5t²+60-v₀t ，從題意 Δxlt; 20m ，即 0.5t²+60-v₀tlt;20 ，整理得 t²-2v₀t+ 80lt;0 ，解不等式得

則持續時間 ，解得 v₀?9m?s^-1

初始時刻 時刻人車 人車T60m △x

例5如圖9所示， A，B 兩物體的質量分別是 Ψ_m 和 M ，與水平面的夾角為 θ ，各接觸面均光滑，用水平力 F 推 A ，使 A，B 一起加速運動，為維持A、B間不發生相對滑動，求力 F 的取值范圍.

圖10

圖9

思路 （條件法）假設 A，B 一起加速運動，整體進行受力分析，有 F=（M+m）a ，對 A 進行受力分析，如圖10所示，則

F-F_NBAsinθ=ma，

F_NA+F_NBAcosθ=mg.

當 F_NA?0 時， A，B 不發生相對滑動，可解得

條件法是解物理臨界問題的基本方法，臨界條件是解決問題的關鍵點，將常見臨界問題的臨界條件總結如表1所示.

表1

2 小結與反思

從學科融合的角度來看，常用“均值不等式”“三角函數\"\"二次函數\"“導數”“不等式\"等方法求解物理極值問題，訓練學生遷移應用能力，跨學科激活“惰性知識”，通過運算與分析，也能培養學生數學學科核心素養“數學運算\"能力.從物理學角度來看，可采用“幾何法” 圖像法\"以及“條件法\"進行解析，利于培養學生物理學科核心素養“運動與相互作用觀念”“分析綜合的科學思維”“極限與臨界思想”.

極值問題范圍廣、變式多、難度大，需要學生先從實際的物理情境中抽象出物理模型，從而應用數學方法或物理方法進行求解，在近年的高考中，此類問題經常出現，每次的“華麗登場”，往往能夠起到“一夫當關，萬夫莫開\"的效果，輕易將學生思維水平區分開來.對此，學生要不斷嘗試每種方法，最終找到適用于每個問題的方法，經歷“山重水復疑無路”不斷糾結的痛苦過程，最終享受“柳暗花明又一村”豁然開朗的喜悅，從而體會到數學物理思維的美！

（完）