如何捕捉有效信息解答一次函數應用題

一次函數是研究函數問題的基礎，在實際生活中有著廣泛應用.一次函數應用題由于文字表述較多、圖表信息量大，且考查方式靈活，對同學們識圖讀表的能力以及處理文字信息的能力有較高的要求.下面選取幾類有代表性的關于一次函數的應用題，舉例說明怎樣捕捉題目給出的圖象、圖形以及圖表中的有效信息，從而正確解題

一、圖象信息題

圖象信息題是以圖象的形式來描述實際問題中的數量關系.解答這類問題的關鍵是識別圖象，從圖象的形狀、位置、發展變化趨勢等信息中捕捉有效信息，尤其要關注圖象上的特殊點，如交點、轉折點等可能對應題目中關鍵條件的信息，然后分析、整理、加工獲取的信息，進而正確解題

例1某物流公司派遣甲、乙兩輛快遞車從倉庫沿同一路線向某小區運輸快件，甲車先從倉庫出發，乙車隨后也從該倉庫出發，已知甲車在途中因故障停留1小時，修復后保持原來的速度繼續行駛.甲、乙兩車距倉庫的距離 y （千米）與甲車出發的時間 x （小時）之間的函數圖象如圖1所示.

（1）圖中的 a 為多少小時？（2）甲車故障修復后，求甲車距倉庫的距離 y 與 x 之間的函數關系式；（3）若兩車相距不超過20千米時可通過內部系統聯絡.直接寫出乙車在行駛過程中可通過內部系統聯絡甲車的總時長為多少小時？

圖1

解：（1）由題意可知，乙車的行駛速度為

120÷（2.5-1）=80（ （千米/時），甲車速度為 120÷

（3-1）=60 （千米/時），?a=270÷60+1=5.5 5故答案為：5.5；

（2）設 y 與 x 之間的函數關系式為 y=kx+b 把（3，120），（5.5，270）代入得： （204號解得： ，（20 ∴y=60x-60（3?x?5.5）; （20

（3）當甲車修車，乙車在甲車后面20千米時， 80（x-1）=120-20 解得：x=9 ，當甲車修車，乙車在甲車前面20千米時， 80（x-1）=120+20 解得：x=11，..11-9=1（小時），：乙車在行駛過程中可通過內部系統聯絡甲車的總時長為 1小時.

點評：本題主要考查了讀函數圖象的能力，要理解橫、縱坐標表示的含義，明確行程問題中的基本數量關系.運用數形結合的方法從圖中準確獲取信息是解題的關鍵.

二、圖片信息題

圖片信息題是以插圖、文字的形式提供已知信息，使得試題圖文并茂、生動活潑.解答這類問題要先讀圖、再讀文、后讀問.首先對圖片所提供的信息進行分析，去掉干擾信息，然后把視覺符號翻譯成數學語言，再把數學語言翻譯成一次函數模型，最后代入計算

例2小明受“烏鴉喝水\"故事的啟發，利用量筒和體積相同的小球進行了如下操作：

圖2

請根據圖2中給出的信息，解答下列問題：

（1）放入一個小球，量筒中水面升高__cm;（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）與小球個數 x （個）之間的一次函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）量筒中至少放入幾個小球時有水溢出？

解：（1）根據題意得： （36-30）÷3=2（cm） 答：放入一個小球量筒中水面升高 2cm ：故答案為：2；（2）設量筒中水面的高度 y（cm） 與小球

個數 x 的函數關系為 y=kx+b ，由題意得 （2號解得： 則放入小球后量筒中水面的高度 y（cm）

與小球個數 x （個）之間的一次函數關系式是：

y=30+2x （3）由題意得：30+2xgt;49，解得：xgt;19 （204號： x 為整數， ∴x 最小為10

答：量筒中至少放入10個小球時有水溢出.

點評：本題考查了一次函數的實際應用，樸實而有新意.以烏鴉喝水的小故事為背景，以一次函數為模型，綜合考查同學們的識圖能力、處理信息的能力.由前兩個量筒的水面上升高度與小球個數的變化得出等量關系是解答本題的關鍵

三、表格信息題

所謂表格信息題就是實際問題中的數量關系是以表格形式來描述的.解答這類問題的關鍵是要讀懂由表格提供的數據，準確分析表格中每一列代表的實際意義（如時間、路程、成本等），在了解實際問題的相關背景后，理清每一行與每一列之間的數量關系，然后建立一次函數關系式解答實際問題

例3近年來，某市加大了公共充電站的建設力度，綜合與實踐小組的同學對 A，B 兩個充電站的收費情況進行了調查，調查結果如下表所示.

問題：

（1）若汽車充電的總電量為 xkW?h ① 在充電站A所需支付的費用 y₁ （元）與x 的關系表達式為 ；② 請分別寫出當 020 時，在B充電站需要支付的費用 y₂ （元）與 x 的關系表達式.（2）出租車司機小李和小王分別在 A，B 兩個充電站充電，充電結束后兩人所支付的費用相同.求他們此次的充電量是多少.

解： （1）① 在充電站A所需支付的費用 y₁ （元）與 x 的關系表達式為 y₁=1.5x 業

故答案為： y₁=1.5x ② 當 02=1.2x 當 xgt;20 時， y₂=0.8（x-20）+1.2x=2x-16

∴在充電站 B 需要支付的費用 y₂ （元）與x 的關系表達式為

（2）當 01=y₂ ，得 1.5x= 1.2x ，該方程無解，

當 xgt;20 時，由 y₁=y₂ ，得 1.5x=2x-16

解得 x=32

答：他們此次的充電量是 32kW?h 業

點評：本題考查了一次函數的應用.解答本題的關鍵是讀懂并理順表格信息，找到所求量的等量關系.列表能具體地反映自變量與函數數值的對應關系，在實際生活中應用非常廣泛.