倒析幾何圖形中陰影部分面積的三種求法

在初中幾何中，我們經常會遇到求圓、扇形、弓形、三角形、四邊形等幾何圖形中陰影部分面積的問題.這類問題中的陰影部分往往通過規則圖形的組合、重疊或裁剪形成，主要考查同學們的觀察力和空間想象力.解答這類問題需仔細分析和觀察圖形，嘗試組合和分解圖形，從而將問題轉化為計算簡單的、規則的幾何圖形的面積.下面介紹三種求解陰影部分面積的方法，供同學們學習參考.

一、公式法

如果陰影部分是規則的圖形，如梯形、扇形、平行四邊形、菱形、三角形等，或由多個標準圖形規則組合而成，則可以直接根據圖形類型選擇對應公式，如三角形： 底 × 高，矩形/正方形： S= 長 × 寬，圓： scriptstyleS=πr² 等，然后從已知條件中提取公式所需的參數（如半徑、邊長、高等），代入計算即可.

圖1

例1如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點 A 為圓心， AB 的長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為

解：因為正六邊形ABCDEF的邊長為2，所以以頂點A為圓心的圓的半徑為 AB=2 由正六邊形的性質可知其內角 ∠FAB=120^°，AF=AB=2 ，由圖可知陰影部分為扇形，其圓心角為120^° ，由扇形的面積公式可得陰影部分的面積為 1

點評：本題陰影部分是由圓和正六邊形重疊而成的，即半徑為2，圓心角為 120^° 的扇形，直接根據扇形的面積公式S=Xr2 進行求解.運用公式法求幾何圖形中陰影部分的面積，關鍵在于判斷出陰影部分的形狀，選用恰當的面積公式解題.

二、和差法

有些幾何圖形中的陰影部分是不規則的圖形，我們無法直接運用簡單幾何圖形的面積公式求得陰影部分的面積，此時需結合陰影部分的特征，將其進行適當的割補、拆分、拼接，將問題轉為求幾個簡單幾何圖形的面積的和、差進行計算.

例2如圖2，在矩形ABCD中， AB=2 ，BC=4 ， E 為 BC 的中點，連接 AE ，DE，以 E 為圓心， ΔEB 為半徑畫弧，分別與 AE ， DE 交于點 M，N 則圖中陰影部分的面積為.（結果保留 π ）

圖2

解：四邊形ABCD是矩形， AB=2 ，BC=4 ，業 ∴AB=CD=2，∠ABC=∠DCB=90° ∴∠BAE=∠AEB=∠DEC=∠CDE=45^° ： E 為 BC 的中點， ：扇形BEM的圓心角為 45^° ，半徑為2，

點評：仔細觀察圖形可以發現，左右兩邊的陰影部分全等，其面積相等，兩邊的陰影部分都是從等腰直角三角形中挖去了一個圓心角為 45^° 、半徑為2的扇形，只需將等腰直角三角形的面積減去扇形的面積，即可求得一半陰影部分的面積.

三、等積法

有些幾何圖形中的陰影部分不規則，且很難拆分為兩個簡單幾何圖形的和差，此時不妨采用等積法，對某個圖形或圖形中的一部分進行平移、旋轉、割補等，將原圖形重新組合或變形，使其成為可以直接套用面積公式的簡單圖形，然后通過求與其面積相等的圖形的面積，求得陰影部分的面積.

例3如圖3，某玩具品牌的標志由半徑為 1cm 的三個等圓構成，且三個等圓O₁，O₂，O₃ 相互經過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（ ）.

1 2 B Tcm 3

Tcm D. rcm2

圖3

圖4

解：根據圓的對稱性可知，圖中三個陰影部分的面積相等.

如圖4，連接AO，AO，OO2，

則 AO₁=AO₂=O₁O₂ ，所以 ΔAO₁O₂ 是等邊三角形，

可知 ∠AO₁O₂=60^° ，弓形 AO₁，AO₂，O₁O₂ 的面積相等，

所以陰影 AO₁O₂ 的面積即為扇形 AO₁O₂ 的面積60π×1

所以圖中三個陰影部分的面積之和為

故本題的正確答案為C項.

例4如圖5， ?o 的直徑 EF 為 10cm ，弦AB，CD 分別為 6cm，8cm ，且 AB//EF//CD 則圖中陰影部分的面積之和為

解：如圖5，過 ?o 的圓心 o 作直徑MN，使MN⊥EF于 o ，交 AB 于 G ，交 CD 于 H ，連接

OA、OB、OC、OD

因為 AB//EF ，所以 ΔAEB 、ΔAOB 是等底等高的三角形，

圖5

故 ΔAEB 與△AOB的面積相等，

因為 EF//CD ，所以△FCD、△OCD是等底等高的三角形，

可知△FCD與 ΔOCD 的面積相等，

所以陰影部分的面積 Σ=Σ 扇形 OAB 的面積 + 扇形 ocD 的面積.

易證 ΔOGB?ΔDHO 故 ∠GOB+∠DOH= 90^° ，

所以 ∠AOB+∠DOC=180^°

所以扇形 OAB 的面積 + 扇形 ocD 的面積 半圓的面積，

由圓的面積公式可得圖中陰影部分的面積之和為

點評：由平行線的性質可知平行線之間的距離相等，據此可知 ΔAEB，ΔAOB 是等底等高的三角形， ΔFCD 與 ΔOCD 是等底等高的三角形，即可得出 ΔAEB 與 ΔAOB 的面積相等， ΔFCD 與 ΔOCD 的面積相等.這樣就能推出“陰影部分的面積 扇形 OAB 的面積 .+ 扇形OCD的面積”，而“扇形OAB的面積 + 扇形ocD 的面積 半圓的面積”，即可根據圓的面積公式求得問題的答案.

公式法、和差法、等積法都是求幾何圖形中陰影部分面積的重要方法.通過對上述三種方法的舉例分析可以發現，解答這類問題既要有直接計算的嚴謹，又要有巧妙轉化的靈活，更要有整體把握的智慧。因此，在解題時，同學們要注意仔細觀察幾何圖形，多角度分析問題，根據圖形特征，選擇最優解法.