巧用整體思想解二元一次方程組

整體思想是指從問題的全局出發(fā)，通過對問題的整體結構進行分析和改造，發(fā)現(xiàn)其整體特征及內在關聯(lián)，從而有目的、有意識地從整體上處理問題的數(shù)學思想.運用整體思想求解二元一次方程組時，可以將方程組中的部分表達式視為一個整體，通過整體代入、整體加減或整體換元等方法來消去變元或減少變元.這樣不僅可以簡化方程形式，減少運算量，而且有利于培養(yǎng)同學們的創(chuàng)造性思維

一、整體代入

運用整體代入法時，首先需要觀察方程組中的兩個方程是否含有相同的部分（含兩個未知數(shù)的表達式相同），若存在相同部分，則可將該部分視為一個整體，并用方程組中的一個方程通過恒等變形表示出來，再整體代人另一個方程實現(xiàn)消元；若兩個方程中沒有相同的表達式，但通過通分、去分母、移項等恒等變形能構造相同部分，也可以整體代入另一個方程進行消元，從而將二元一次方程組轉化為一元一次方程求解，

例1解方程組

解析：通過觀察發(fā)現(xiàn)第一個方程中 3x-y與第二個方程中的 未知數(shù)的系數(shù)是

倍數(shù)關系，因此將上述方程變形，整理得 把 ① 代入 ② ，得 2×2+1+15y=50 ，解得 y=3 ·把 y=3 代入 3x-y=2 ，解得x=5. ·故原方程組的解是 A

說明：本題中已知的二元一次方程組看似沒有相同的部分，但是經(jīng)過去分母等恒等變形，能得到相同的部分 3x-y ，從而整體代入消元，轉化為一元一次方程求解.

二、整體加減

運用整體加減法首先要觀察方程組中兩個方程的兩個未知數(shù)的系數(shù)之間的關系，若兩個方程的某一個未知數(shù)系數(shù)相等，可以將兩式整體相減消元;若兩個方程的某一未知數(shù)互為相反數(shù)，可以將兩式整體相加消元；若兩個方程的未知數(shù)系數(shù)不存在相等或相反關系，可以通過乘以它們的公倍數(shù)使系數(shù)相等或相反，然后運用整體加減法消元.此外，若兩個方程中的兩個未知數(shù)的系數(shù)恰好相反，則可以兩次運用整體加減法求解.先將兩式整體加減，得到同一未知數(shù)系數(shù)相等或相反的兩個方程，然后繼續(xù)運用整體加減法求解未知數(shù)的值.

例2解方程組

解析：觀察發(fā)現(xiàn)各個未知數(shù)的系數(shù)，不存在倍數(shù)關系，按照常規(guī)方法要乘以公倍數(shù)使系數(shù)相等或相反，但是第一個方程中的 x，y 的系數(shù)，剛好是第二個方程中的 y 和 x 的系數(shù)，通過整體相加減，可以使系數(shù)的絕對值變小，得到一個簡易方程.

由 ①+② ，得 58x+58y=638 ，即 x+y=11.③

由 ②-① ，得 16x-16y=-16 ，即 x-y=-1.④

由 ③+④ ，得 2x=10 ，解得 x=5 由 ③-④ ，得 2y=12 ，解得 y=6 所以方程組的解為

說明：本題沒有采用常規(guī)方法乘以它們的公倍數(shù)使系數(shù)相等，而是基于方程組的未知數(shù)的系數(shù)特征，充分利用整體加減法進行處理，從而簡化方程，易于求解，

三、整體換元

若方程組含有分母或連比式，直接運用整體代入或整體加減解題較為繁瑣時，不妨采用整體換元法，先簡化方程形式再求解.運用整體換元時首先要觀察方程組中的兩個方程含未知數(shù)部分是否具有結構相同的部分.當具有結構相同的部分，或經(jīng)過適當變形（如去分母）能得到結構相同的部分時，則將相同的部分進行整體換元，設為一個新變量，進而簡化方程形式，再運用代人或加減消元法求解.

例3解二元一次方程組：

解析：經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)兩個分式方程中均含有 x+2y，x-2y ，將它們視為一個整體，通過整體換元簡化方程.

設 x+2y=m，x-2y=n

則原方程組可化為 解得 ，

所以 解得 ，所以原方程組的解為

說明：本題通過整體換元后，得到了一組新方程，再運用代入或加減消元法求新變量，最后代回所設的換元式計算原變量.運用整體換元法解二元一次方程組在選擇替換變量時，優(yōu)先考慮能簡化方程組的表達式.

通過以上分析可見，在解某些有特殊結構的二元一次方程組時，以整體思想為指導，通過觀察與分析方程組的結構形式，改造整體或部分結構，然后運用整體代入、整體加減或整體換元的方法進行消元，能快捷簡便地求二元一次方程組的解.