挖掘隱含條件，巧證三角形全等

能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全等三角形.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，所以我們常常利用全等三角形證明兩個(gè)線段或角相等.判定兩個(gè)三角形全等必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，即“邊邊邊（SSS）”“角邊角（ASA）\"\"邊角邊（SAS）\"\"角角邊（AAS）\".但在具體問題中，往往只有一個(gè)或兩個(gè)條件在題設(shè)中直接給出，其余均為隱含條件，如何挖掘這些隱含條件就成了解答問題的關(guān)鍵.下面從公共邊、公共角、對(duì)頂角等幾個(gè)方面分析挖掘隱含條件證明三角形全等的方法.

一、挖掘公共邊相等

公共邊就是兩個(gè)三角形都共同擁有的一條邊，從圖形上面來體現(xiàn)，就是兩個(gè)三角形有兩條邊重合在一起.由于公共邊這個(gè)條件能夠直接應(yīng)用在證明中，所以題目一般給出的條件只有兩個(gè).這就要求同學(xué)們?cè)谕评碜C明的過程中自己添加上公共邊這個(gè)條件.

例1如圖1，已知 AB=AD，BC=DC ，求 證： ∠B=∠D #

四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等三角形.

證明：連接AC，如圖2.在 ΔACB 和 ΔACD 中，AB=AD，BC=DC，AC=AC， ∴ΔACB?ΔACD（SSS） ，： .∠B=∠D

點(diǎn)評(píng)：公共角相等和公共邊相等是證明三角形全等中最常見的隱含條件.這些“公共相等”條件在題設(shè)中一般不予說明，同學(xué)們要仔細(xì)觀察圖形去挖掘、發(fā)現(xiàn).

二、挖掘公共角相等

把兩個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角完全重疊在一起就有公共角.公共角也可以作為判斷兩個(gè)三角形全等的一個(gè)隱含條件.當(dāng)題目條件僅給出了相等邊，沒有相等角時(shí)，同學(xué)們就要注意挖掘公共角這一隱含條件.有一個(gè)公共角的兩個(gè)三角形為一對(duì)共角三角形，在一對(duì)全等的共角三角形中，公共角一定是對(duì)應(yīng)角.

例2已知：如圖 3，AB=AC，F(xiàn)，E 分別是AB，AC 的中點(diǎn).求證： ΔABE?ΔACF.

圖1

圖2

分析：在四邊形中 ABCD 中沒有三角形，但通過連接 AC 可以得到公共邊AC，進(jìn)而將分析：先由中點(diǎn)的定義得出 ，

圖3

，由 AB=AC ，得到 AF=AE. 又 ∠A 公共，根據(jù)SAS即可證明 ΔABE?ΔACF.

證明：： F，E 是 AB，AC 的中點(diǎn)，

??AB=AC ，

： .AF=AE

在 ΔABE 與 ΔACF 中， （2

∴ΔABE?ΔACF（SAS）

三、挖掘?qū)斀窍嗟?/p>

兩條相交直線就會(huì)形成對(duì)頂角.當(dāng)題目給出兩條直線相交的條件，同學(xué)們可以觀察圖形，找出對(duì)頂角，利用對(duì)頂角相等的這個(gè)性質(zhì)，直接寫出式子.通常含有對(duì)頂角的圖形都比較容易觀察得到.

例3如圖4，已知點(diǎn) E，F(xiàn) 在線段 BD 上，BF=DE ，點(diǎn) A，C 在線段 BD 的兩側(cè)且 AB=CD AE=CF ，連接 AC 交 BD 于點(diǎn) 求證： .AO=CO

在 ΔABO 與 ΔCDO 中 （20

∴ΔABO?ΔCDO（AAS）

： OA=OC

點(diǎn)評(píng)：在幾何證明中，當(dāng)兩條直線相交時(shí)，所形成的對(duì)頂角必然相等.這一性質(zhì)能為證明三角形全等提供重要的角度條件.特別是在“角邊角\"（ASA）或“角角邊\"（AAS）的全等判定方法中，對(duì)頂角的等量關(guān)系常常成為證明過程中的關(guān)鍵條件.

四、挖掘等角加（減）等角，其和（差）相等

根據(jù)等式的性質(zhì)，等號(hào)兩邊加上或減去一個(gè)數(shù)或一個(gè)式，等式仍然成立.所以當(dāng)兩個(gè)三角形有部分公共角時(shí)，可根據(jù)“等角加（減）等角，其和（差）仍相等\"挖掘出一對(duì)相等的角.

例4已知，如圖5，在 ΔABC 和 ΔADE 中，AB=AD，AC=AE ∠1=∠2 .求證： BC=DE

圖4

分析： BF=DE 得出 BE=DF AB=CD AE=CF ，證得 ΔABE?ΔCDF ，得出 ∠B=∠D 利用AAS證明 ΔABO 與 ΔCDO 全等，進(jìn)而得證.

證明： ∵BF=DE ，

∴BF-EF=DE-EF.

即 BE=DF ， （2

在 ΔABE 與 ΔCDF 中 （20

∴ΔABE?ΔCDF（SSS） ，

： ∠B=∠D ，

圖5

分析：根據(jù) ∠1=∠2 ，可以得到 ∠BAC= ∠DAE ，然后即可得到 ΔBAC 和 ΔDAE 全等，從而證明結(jié)論成立.

證明： ∵∠1=∠2 ，

： .∠1+∠DAC=∠2+∠DAC

·∠BAC=∠DAE

在 ΔBAC 和 ΔDAE 中， （204號(hào)

∴ΔBAC?ΔDAE（SAS） ，

： BC=DE

五、挖掘等邊加（減）等邊，其和（差）相等

在挖掘三角形全等的隱含條件時(shí)，除了要關(guān)注隱含的公共角，還要注意隱含的公共線段．當(dāng)兩個(gè)三角形有部分公共邊時(shí)，可根據(jù)“等邊加（減）等邊，其和（差）仍相等\"挖掘出一對(duì)相等的邊.

例5如圖6，在 ΔABE 和 ΔDCF 中， B，E. C，F(xiàn) 共線， AB//CD，AB=CD，BF=CE 求證：AE=DF

圖6

分析：根據(jù)平行線性質(zhì)求出 ∠B=∠C ，再求出 BE=CF ，由“SAS\"可證 ΔABE?ΔDCF ，可得 AE=DF

證明： ∵AB//CD，∴∠B=∠C

（20 ∴BF=CE，∴BF-EF=CE-EF， （204號(hào)

即 BE=CF ，

在 ΔABE 和 ΔDCF 中，""（2

∴ΔABE?ΔDCF（SAS）

： .AE=DF ：

點(diǎn)評(píng)：等邊（角）減（加）等邊（角），其差（和）相等.這也是尋找對(duì)應(yīng)邊（角）相等條件時(shí)要考慮的一個(gè)隱含條件.在題目給出了線段或角相等的條件時(shí)，要借助這種隱含關(guān)系實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等，從而證明全等.

總之，在遇到需要判定兩個(gè)三角形全等的問題時(shí)，同學(xué)們要認(rèn)真仔細(xì)地觀察圖形，看是否有“公共邊、公共角、對(duì)頂角\"等隱含條件，只有充分挖掘、利用好這些隱含條件，才能順利解答三角形全等問題