由一道題談解答二面角問題的兩種思路

解答二面角問題，需靈活運用二面角的定義、正余弦定理、勾股定理、線面平行的性質定理等.解答二面角問題的方法很多，常用的有向量法、定義法、三垂線法等.下面結合一道例題，談一談解答二面角問題的方法.

例題：如圖1，在四邊形ABCD中， AB=8 CD=3 ， ∠ADC=90^° ， ∠BAD=30^° AB，將△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=4√3.(1)證明： EF⊥PD ;(2)求平面 PCD 與平面 PBF 所成角的正弦值.

一、構造向量

運用向量法解答二面角問題，需先根據題目中的垂直關系建立空間直角坐標系；然后根據平面的法向量與平面內直線之間的垂直關系建立方程組，求得平面的法向量；再利用向量的夾角公式計算兩個平面法向量的夾角的余弦值.

解：(1)如圖1所示，連接 EC 在△PEC中， 所以 PE²+EC²=PC² ，得 PE⊥EC (2)由(1)知AD⊥EF，PE⊥EF.所以 PE⊥ 平面ABCD，故建立如圖1所示的空間直角坐標系.易知 則 ） ：設平面 PCD 的法向量為 ，由 可得 設平面 PBF 的法向量為 ，由 可得 所以 則 所以平面 PCD 與平面 PBF 所成角的正弦值為

圖1

圖2

我們需先根據已知的邊角關系，運用勾股定理和線面垂直的判定定理證明AD⊥EF、PE⊥EF、PE⊥平面ABCD，進而確定三條坐標軸，建立空間直角坐標系；然后運用待定系數法求得平面PCD與平面PBF的法向量；最后根據夾角公式求得問題的答案.

二、運用定義法

求二面角的大小，往往需靈活運用二面角的平面角的定義，即過二面角的棱上的一點在兩個半平面內作棱的垂線，則這兩條垂線的夾角即為二面角的平面角；然后添加輔助線，構造出三角形、平行四邊形，便可直接利用三角形的性質、平行四邊形的性質、勾股定理、正余弦定理等求得平面角的大小.

解：如圖2，延長 AB 與 _DC ，使之交于點 G 則 AG= _10，DG=5 過點 D 作 DH⊥PG 于 H_; 過 H 作 HJ⊥PG ，交 AG 于 J 連接 PG，EG，PA，DJ. 則 ∠DHJ 是平面 PCD 與平面 PBF 所成角的平面角.在Rt△DEG中，由勾股定理可得 ，在Rt△PEG中， PG=8 則 D 到 PG 的距離為 在△GHJ中 1得 在 ΔDGJ 中，由余弦定理得 在△DHJ中，由余弦定理得 則 所以平面 PCD 與平面 PBF 所成二面角的正弦值為

運用定義法求解二面角問題，關鍵在于根據二面角的平面角的定義準確找到二面角的平面角，并利用平面幾何知識求得平面角的大小.

相比較而言，定義法比較常用，向量法的適用范圍較窄.同學們需熟悉兩種方法的特點、運用步驟.無論運用哪種方法解題，都要借助圖形來確定點、線、面的位置，分析邊角關系，從而提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省如東縣掘港高級中學）55