對一道三角形取值范圍問題解法的探究

三角形的取值范圍問題比較常見.解答這類問題，需靈活運用三角形的性質、三角函數的定義、正余弦定理、勾股定理、基本不等式等.解答此類問題的方法很多.下面結合一道例題，談一談解答此類問題的三種方法，供讀者參考.

例題：已知在銳角 ΔABC 中，角 ^A，B，C 所對的邊分別為 求 cosA+cosB+cosC 的取值范圍.

一、基本不等式法

運用基本不等式法解答三角形的取值范圍問題，需先利用正余弦定理將邊角統一，用邊或角的關系式表示出目標式；然后通過分離常數、湊系數等方式配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值，即可運用基本不等式求出目標式的取值范圍.

解：因為銳角 ΔABC 中，角 ^A，B，C 均為銳角，所以 可得 因為 由余弦定理可得 a²+c²-ac ，貝 所以 ： 我們先根據正余弦定理將\"角化邊”，把目標式化為關于三條邊的關系式;然后通過分離常數配湊出兩式的和 ，而這兩式的積為定值，直接運用基本不等式即可求得最值.

二、利用三角函數的性質

在解答三角形取值范圍問題時，可以先利用正余弦定理將“邊化角”，把目標式用角的關系式表示出來；然后根據兩角和差公式、輔助角公式、誘導公式等將目標式化為只含有一種函數名稱的式子，便可直接根據正余弦函數的單調性、有界性求得目標式的取值范圍.

解：因為 則 因為在銳角 ΔABC 中，角 ^A，B，C 均為銳角，所以

可行

則

所以

故 cosA+cosB+cosC 的取值范圍是

我們先根據誘導公式與兩角和差公式，將目標式化簡為只含有一種函數名稱的式子；然后根據已知條件確定自變量的范圍，即可根據正弦函數的有界性和單調性求得最值.

三、導數法

有些問題中的目標式較為復雜，如含有二次式、三次式，此時可以采用導數法來求目標式的取值范圍.首先將目標式化簡，并確定自變量；然后對該式求導，研究其導函數的零點、符號，以判斷出函數的單調性，進而根據極值的定義確定函數的極值，從而得到問題的答案.

解：因為 則 則 令 ?f^′(x)=0 得 （所以 f(x) 在 內單調遞增，在 內單調遞減，而 所以V3+1 我們將目標式視為關于角 A 的三角函數式，然后對函數求導，即可根據極值的定義求得函數的極值，進而確定目標式的范圍.

相比較而言，第一、二種方法比較常用，第一、三種方法的適用范圍較窄.無論運用哪種方法解答三角形取值范圍問題，都要注意以下幾點：(1)根據已知條件和隱含條件確定邊、角的范圍；(2)靈活運用三角形、函數、不等式知識來解題；(3)靈活運用正余弦定理進行邊角互化.

（作者單位：江蘇省鹽城市明達高級中學）