如何解答與圓有關的問題

圓是高中數學中重要的知識點.與圓有關的問題很多，常見的有求圓的方程、判斷直線與圓的位置關系、求直線截圓所得的弦長、求圓的切線的方程等.解答與圓有關的問題，需靈活運用圓的性質、定義、定理等.下面結合實例，談一談四類與圓有關的問題的解法.

一、求圓的方程

我們知道，（1）圓的標準方程： （x-a）²+（y-b）²=r² 其圓心為 （a，b） ，半徑為 ；（2）圓的一般方程： x²+ y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4Fgt;0） ，其圓心為 半徑 求圓的方程有兩種思路.一是根據圓的對稱性確定圓心的坐標，根據兩點間的距離公式求得圓的半徑，便可直接寫出圓的標準方程.二是運用待定系數法，即先設出圓的方程;然后將已知點的坐標代入圓的方程，求得參數的值，即可求得圓的方程，

例1.已知圓 C 經過原點，以及直線 x+y-2=0 與兩個坐標軸的交點，求圓 c 的方程.

解：令 y=0 ，由 x+y-2=0 得 x+0-2=0 ，解得 x=2

可知直線 x+y-2=0 與 x 軸的交點為（2，0），

令 ?x=0 ，由 x+y-2=0 得 0+y-2=0 ，解得 y=2

可知直線 x+y-2=0 與 y 軸的交點為（0，2），

設圓的一般方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0

而A（2，0），B（0，2）， O（0，0） 都在圓上，

所以 解得 D=-2，E=-2，F=0

故圓的方程為 x²+y²-2x-2y=0

解答本題，需采用待定系數法，先根據直線的方程求得直線與坐標軸的交點，然后設出圓的一般方程 ：x²+ y²+Dx+Ey+F=0 ，再將3個點的坐標代入圓的方程，求得 D，E，F 的值，即可求得圓的方程.一般地，若已知圓的圓心或半徑，則需設出圓的標準方程；若已知圓上3點的坐標，則需設出圓的一般方程.

二、判斷直線與圓的位置關系

直線與圓的位置關系有3種，即相離、相切、相交.判斷直線與圓的位置關系有兩種思路.一是運用幾何法，即先根據點到直線的距離公式求得圓心 （a，b） 到直線Ax+By+C=0 的距離 ，然后判斷 d 與圓的半徑 r 之間的距離.（1）若 dr? 直線與圓相離.二是采用代數法，即先由 構造出一，元二次方程 px²+qx+t=0 ；再判斷判別式 Δ 與0的關系，根據方程的根的個數來判斷直線與圓的交點的個數，以及直線與圓的位置關系.（1）若 Δgt;0? 直線與圓相交；（2）若 Δ=0? 直線與圓相切；（3）若 Δlt;0? 直線與圓相離.

例2.請判斷直線 和圓 x²+y²-2y= 0的位置關系.

解：由 x²+y²-2y=0 得 x²+（y-1）²=1 所以圓心為（0，1）半徑為1，由 可得

所以圓 is（0，1） 到直線 的距離 d=

則直線 和圓 x²+y²-2y=0 相交.

我們需先將圓的方程化為標準方程，以求得圓心的坐標和半徑；再將直線的方程化為一般式，以根據點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離 d ，只要判斷出 d 與 r 的大小關系，即可判斷出直線與圓的位置關系.

例3.已知直線 l：x-y+2=0 與圓 C：x²+y²-2y- 2m=0 相離，則實數 m 的取值范圍是.

A.（-∞，0）

解：由 x²+y²-2y-2m=0 ，得 x²+（y-1）²=2m+1

∴2m+1gt;0 ，解得 美

：直線 l：x-y+2=0 與圓 C：x²+y²-2y-2m=0 相離，

，解得

：實數 m 的取值范圍是 選D.

運用幾何法來判斷直線與圓的位置關系有兩個關鍵點：一是根據圓的標準方程確定圓心的坐標和半徑；二是根據點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離.

三、求直線截圓所得的弦長

求直線截圓所得的弦長有兩種思路.一是分別求得圓的半徑 r_γ 圓心到直線的距離d（弦心距）.由于弦心距所在的直線垂直于弦，所以弦的一半、弦心距、圓的半徑可構成直角三角形的三邊長，由勾股定理可得 r² （設弦長為），即可求得弦長．二是將直線與圓的方程聯立，通過消元構造出一元二次方程，并根據韋達定理求得 x₁+x₂. ， x₁x₂ ，其中交點的坐標分別為 Φ（x₁，y₁）_? （x₂，y₂） ，然后根據弦長公式 來求弦長.若很容易求得直線與圓的交點的坐標，則可以直接用兩點間的距離公式來求弦長.

例4.若直線 ξ_l 過點 P（4，1） ，且被圓 x²+y²=25 截得的弦長是6，求直線的方程.

解：由 x²+y²=25 可知圓 ∵（0，0）. 半徑 r=5 ，因為直線l被圓 x²+y²=25 截得的弦長是6，于是設 a=6 ，弦心距為 d 由勾股定理可得 ，解得 d=4 業若直線 l 的斜率不存在，則直線的方程為 x=4 將其代入圓的方程，得 y=±3 此時該直線被圓截得的弦長為6，符合題意.若直線l的斜率存在，設直線的方程為 即 kx-y-4k+1=0 ，由點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離 d= =4，解得k= ，所以直線 l 的方程為 ，即 15x+ 8y-68=0 綜上可知，直線的方程為 15x+8y-68=0 或 x=4 ：解答本題，需先根據圓的方程確定圓心的坐標和半徑，并根據勾股定理求得弦心距 d ；然后根據點到直線的距離公式求得弦所在直線的斜率和方程.

的連線垂直于切線；（3圓心到切線的距離等于圓的半徑.求圓的切線的方程，需抓住這三個關鍵點.

（1）若已知切點 M（x₀，y₀） ，需先根據圓心 o 和切點M 的連線垂直于切線，即 k_OM?k_l=-1 ，來求切線的斜率；再根據 M 點的坐標求得切線的點斜式方程.（2）若已知點 M（x₀，y₀） 在圓外，則可設出切線的方程： ，并將其化為一般式： kx-y+y₀- kx₀=0 ，然后根據圓心到直線的距離等于半徑，來建立關系式，求得 k ，進而求得切線的方程.值得注意的是，當點 M（x₀，y₀） 在圓外時，切線一定有2條，即方程一般有2個根.若方程只有1個根，則另一條切線的斜率不存在.

常見圓的切線方程有：

（1）過圓 x²+y²=r² 上一點 P（x₀，y₀） 的切線方程是x₀x+y₀y=r² （2）過圓 （x-a）²+（y-b）²=r² 上一點 P（x₀，y₀） 的切線方程是 （x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²; （3）過圓 x²+y²=r² 外一點 P（x₀，y₀） 作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為 x₀x+y₀y=r²

例5.過點 P（1，1） 作圓 E：x²+y²-4x+2y=0 的切線，則切線的方程為.

解：由圓 E：x²+y²-4x+2y=0 得 （x-2）²+（y+1）²=5 則圓的圓心為 ，半徑 ，又 P（1，1） ，由兩點間的距離公式可得 ∣PE∣= 所以點 P 在圓上，且 所以切線的斜率 0則切線的方程為 ，即 x-2y+1=0 故選C.

四、求圓的切線的方程

圓的切線是指與圓相切的直線.當直線與圓相切時，（1）直線與圓只有1個交點，即切點；（2）圓心和切點

我們先將圓的方程化為標準方程，即可確定圓心的坐標與半徑，從而判定點 P 在圓上；再根據直線的斜率公式求出 k_PE ，即可根據圓心和切點的連線垂直于切線，求得切線的斜率.

可見，解答與圓有關的問題，需從數與形兩個角度入手，根據圖形來判斷點、直線、圓之間的位置關系，靈活運用圓的性質、定義來建立幾何關系；根據圓的方程建立代數關系式，通過數形結合求得問題的答案.

（作者單位：甘肅省武山縣第二高級中學）