點(diǎn)到平面的距離的兩種求法解析

求點(diǎn)到平面的距離，往往需過該點(diǎn)作平面的垂線，則該垂線的長度即為點(diǎn)到平面的距離.點(diǎn)到平面的距離問題側(cè)重于考查同學(xué)們對(duì)兩點(diǎn)間的距離公式、線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理等的掌握情況.下面結(jié)合實(shí)例，談一談點(diǎn)到平面的距離的兩種求法.

一、等體積法

有時(shí)，我們很難快速作出或求得平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段.此時(shí)不妨轉(zhuǎn)換思路，運(yùn)用等體積法，通過求三棱錐的高線長來間接求出點(diǎn)到平面的距離.首先將平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)連接，構(gòu)造出三棱錐；然后將所求的點(diǎn)到平面的距離視為三棱錐的頂點(diǎn)到底面的高線長，并根據(jù)三角形的面積公式求得該底面的面積；再轉(zhuǎn)換三棱錐的底面和高，根據(jù)同一個(gè)三棱錐的體積相等，建立關(guān)系式來求得三棱錐的高線長，進(jìn)而求得點(diǎn)到平面的距離.

例1.如圖1，在四棱錐 O-ABCD 中，底面ABCD是矩形，其中 AB=1，AD=2，OA⊥ 底面 ABCD，OA=2，M 為OA的中點(diǎn)， ，N 為 BC 的中點(diǎn).

（1）證明：直線MN//平面 ocD （2）求點(diǎn) B 到平面 ocD 的距離.

圖1

圖2

解：（1）過程略；

（2）如圖2，連接 .BD ，由題意可知 xAB=1，AD=2，OA=2 ： OA⊥ 底面 ABCD ，由線面垂直的性質(zhì)定理可得OA⊥AD，OA⊥CD. ∴ ΔOAD 是等腰直角三角形，由勾股定理可知 ：矩形ABCD中 AD⊥CD，∴CD⊥ 平面 OAD ：： ?CD⊥OD，∴ΔOCD 是直角三角形，

.CD=AB=1 ： OA⊥ 底面 ABCD，∴OA 是三棱錐 θ-BCD 的高.：底面ABCD是矩形， ：點(diǎn) B 到平面 ocD 的距離就是三棱錐B-OCD的高 h 由 V_o-BCD=V_B-OCD 得 即 ，解得： ，即點(diǎn) B 到平面 ocD 的距離為

解答本題，主要用了等體積法.首先添加輔助線，構(gòu)造出三棱錐 B-OCD ，則點(diǎn) B 到平面 ocD 的距離就是三棱錐 B-OCD 的高 h ;然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求得 ΔOCD，ΔBCD 的面積以及 OD 的長度，即可根據(jù)三棱錐的體積公式建立關(guān)系式，從而求得 h 的值，即點(diǎn) B 到平面 ocD 的距離.

例2.如圖 3，P 為菱形 ABCD 外一點(diǎn)， PD⊥ 平面ABCD， ∠BAD=60^°，E 為棱 BC 的中點(diǎn).

（1）求證：ED⊥平面 PAD （2）若 PD=AD=2. 求 E 到平面 PAD 的距離.

解：（1）過程略；

（2）因?yàn)锽CIIAD，所以BCI/平面 PAD ，

則 BC 到平面 PAD 的距離即為點(diǎn) E，B 到平面 PAD 的距離，設(shè)點(diǎn) B 到平面 PAD 的距離為 d ，因?yàn)?PD=AD=2 ∠BAD= 60^° ，四邊形ABCD為菱形，

圖3

所以 ΔABD 為等邊三角形，所以S△ABD= 而 PD⊥ 平面ABCD，所以V

因?yàn)?V_B-PAD=V_P-ABD

所以

解得 ，即 E 到平面 PAD 的距離為 業(yè)

本題中BC//平面 PAD ，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知 BC 到平面 PAD 的距離即為點(diǎn) E，B 到平面 PAD 的距離，于是設(shè)點(diǎn) B 到平面 PAD 的距離為 d ，求得 ΔABD 的面積，并轉(zhuǎn)換三棱錐的底面和高線，即可根據(jù) V_B-PAD=V_P-ABD ，運(yùn)用等體積法求得 E 到平面 PAD 的距離.

二、向量法

運(yùn)用向量法求點(diǎn)到平面的距離，需分別求得平面的法向量與斜線的方向向量，再靈活運(yùn)用向量的數(shù)量積公式求解.如圖4，設(shè)A是平面 α 內(nèi)的一點(diǎn)（與 Q 不重合），過平面 α 外的一點(diǎn) P 作平面 α 的垂線，垂足為 Q ，則平面 α 的法向量 為 ，由數(shù)量積公式可得 則點(diǎn) P 到平面 的距離

圖4

圖5

例3.已知正方形ABCD的邊長為 1，PD⊥ 平面ABCD，且 PD=1，E，F(xiàn) 分別為 _AB，BC 的中點(diǎn).求點(diǎn) D 到平面 PEF 的距離.

解：以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP為 x 軸 ?^y 軸 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖5所示，

因?yàn)?PD=1，E，F(xiàn) 分別為 AB，BC 的中點(diǎn)，

所以 P（0，0，1） ，A（1，0，0），C（0，1，0）， 所以 設(shè)平面 PEF 的法向量為 ，則 令 ?=2 ，可得 ，

所以點(diǎn) D 到平面 PEF 的距離

本題中底面ABCD為正方形， PD⊥ 平面ABCD，于是以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為 x 軸 ?^y 軸 I 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)已知條件求得斜線 DE 的方向向量DE以及平面PEF的法向量，便可直接根據(jù)數(shù)量積公式求得點(diǎn)到平面的距離.

例4.如圖6，已知三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 的側(cè)棱與底面垂直 ，AA₁=AB=AC=2，AB⊥AC，M 是 CC₁ 的中點(diǎn)， _，N 是BC的中點(diǎn)， P 是 A₁B₁ 的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面MNP的距離.

圖6

圖7

解：如圖7，以A為原點(diǎn)， .AB，AC，AA₁ 所在的直線為 x 軸 ?y 軸 ?z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz ，

因?yàn)?AA₁=AB=AC=2，M 是 CC₁ 的中點(diǎn)， Ω，N_Ω 是 BC 的中點(diǎn) ，^P 是 A₁B₁ 的中點(diǎn)，則 M（0，2，1），N（1，1，0），P（1，0，2）， 所以 設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量 則 令 ?y=2 ，則 x=3，z=1 ，所以平面PMN的一個(gè)法向量 ，所 h 即點(diǎn)A到平面PMN的距離為

我們根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)很容易找到垂直關(guān)系，據(jù)此即可建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出AM、，便可直接運(yùn)用數(shù)量積公式求得點(diǎn)A到平面PMN的距離.

等體積法和向量法的特點(diǎn)、適用情形均有所不同，同學(xué)們需注意區(qū)分.無論運(yùn)用哪種方法解答點(diǎn)到平面的距離問題，都需要注意以下幾點(diǎn)：（1）靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想；（2）添加合適的輔助線；（3）仔細(xì)研究圖形，以根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇合適的解題方法.

（作者單位：江蘇省泰州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)）