韓兆龍，周 岱，陳亞楠，桂曉瀾，李俊龍

（上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240）

譜單元法及其在多圓柱繞流分析中的應用

韓兆龍，周 岱，陳亞楠，桂曉瀾，李俊龍

（上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240）

系統闡明譜單元方法，基于譜單元方法對低雷諾數Re＝200時不同間距下的順排兩圓柱和Re＝150正方形排列的四圓柱繞流及其阻力系數、升力系數等進行數值模擬。研究比較不同間距比L／D（兩圓柱圓心距離與圓柱直徑之比）對兩圓柱和四圓柱繞流的影響，計算分析了渦量圖分布、平均阻力系數和斯托羅哈數隨間距比的變化。研究表明，間距比對順排兩圓柱和正方形四圓柱繞流影響顯著；順排兩圓柱繞流存在臨界間距比，在Re＝200時臨界間距比約為3．6。正方形排列四圓柱存在三種流態。當流場從一種流動形態變成另外一種流動形態時，力學參數發生顯著變化，在某些間距比區間內出現驟升或驟降現象。

譜單元法；順排兩圓柱；正方形四圓柱；間距比；流動形態

0 引 言

自從1977年Gottlieb和Orszag［1］系統性地從數學方面對譜方法進行了理論闡述以來，譜方法被廣泛地應用于更多的領域。1984年，Gottlieb和Hussaini開始將譜方法向計算流體動力學推廣［2］。20世紀80年代初期，Patera結合譜方法的精度和有限元的思想提出了所謂的譜單元法［3］。譜單元法是譜方法與有限元方法結合起來，將求解區域剖分成單元，采用等參元，在每個單元內用N階多項式展開來近似變量，對方程采用Galerkin方法，用Gauss點求積分，得到離散化的方程組。當單元數目固定時，計算精度隨多項式階數N的增加而增加。因此，譜單元法是求解偏微分方程的一種高階加權余量法，它繼承了有限元方法對復雜幾何區域的適應性和譜方法的高精度與收斂特性等優點。

圓柱繞流的理論研究和工程應用意義重大。順排兩圓柱或多圓柱是常見的排列形式，例如發電廠冷卻塔群等。圓柱尾流中的旋渦脫落對圓柱繞流的周期性升力、阻力產生影響，引起壓力脈動、切應力脈動和升阻力系數的脈動。相對于單圓柱的繞流，兩圓柱或多圓柱繞流及其流致受力更為復雜?，F今，有限體積法、Boltzmann等多種數值模擬方法可用于分析圓柱繞流，獲取柱體表面上的作用力和關鍵參數［4-6］。

本文較系統闡述譜單元方法及其表達，運用譜單元方法數值模擬低雷諾數Re＝200下的順排兩圓柱、Re＝150正方形排列四圓柱的繞流及其互擾效應，分析不同間距比對流場特性的影響，揭示平均升阻力系數和斯托羅哈數（旋渦脫落頻率）等隨間距比的變化，并解釋其形成機制。

本文的數值計算采用由Monash大學的Blackburn教授所提供的Semtex程序，對二維計算，該程序采用Gauss-Lobatto-Legendre（GLL）多項式作為譜單元基函數，時間和空間的數值精度可由使用人員自由控制。該方法已成功應用于多項科學研究［7-10］。

1 基本理論和計算公式

二維粘性不可壓縮非定常流動的控制方程為Navier-Stokes方程：

采用基于混合剛性穩定格式的高階時間分裂算法［7］，可將Navier-Stokes方程的求解轉化為如下三部分：

流體壓力滿足泊松方程：

對流體域的空間離散，采用譜單元法，且選取Legendre多項式［7］的極值點作為插值點。

Φ（Ω）（Ω上任意連續函數構成的空間）中的任何連續實函數u（x）可表示為：

插值多項式

（1）在［-1，1］以外為0；（2）在［-1，1］內，φi（xj）＝δij。其中LN（x）為Legendre多項式。

若將式（4）、（5a）、（5b）、（6a）寫成變分形式，則有：

對計算區域Ω采取等參變換，且取φ＝φj，Navier-Stokes方程的離散格式變為：

其中

選取Legendre多項式，并利用Gauss積分，各系數計算公式為

其中

其中，［φb］表示相應變量（壓力或速度）在計算區域邊界點上的未知值，［φi］表示相應變量是在計算區域的內點上的未知值。

先由下式解出邊界上的未知物理量值：

再由下式解出計算區域內點的未知物理量值：

若求解的方程組維數較高，可采用對單元（而不是對計算區域）求解的策略，即先采用類似于式（19）的方程求得各個單元邊界上的未知量值，而后再對各個單元分別求解其內點上的未知物理量值。

2 單圓柱繞流模擬與數值驗證

為驗證計算的準確性和可靠性，茲選用圖1示的單圓柱繞流問題進行數值方法驗證?？紤]直徑為D的圓柱受未經擾動的均勻來流作用，基于圓柱直徑和來流流速的雷諾數取Re＝200。選定計算域為50D×40D，圓柱位于坐標系原點（0，0）。入口邊界和出口邊界分別位于圓柱中心上游20D和下游30D處，流域頂部和底部離圓柱中心20D。相應的邊界條件為：進口處自由來流速度為特征速度，即u＝U∞＝1，v＝0．0；上下邊界條件與進口邊界條件相同；出口邊界處壓力均為0．0，即p＝0．0；圓柱表面處為不可滑移邊界條件，即u＝0．0，v＝0．0。計算域網格劃分采用四邊形非結構化譜單元網格，網格單元數為354，如圖1（a）所示。在靠近圓柱壁面的地方進行幾層細化網格加密，離圓柱壁面最近的一層網格厚度為0．1D，如圖1（b）示。同時，在圓柱尾流區域亦進行加密處理。

圖1 單圓柱繞流的譜單元網格示意Fig.1 Mesh system of spectral element for cross-flow around a single cylinder

研究圓柱繞流流場常用的無量綱化系數包括阻力系數CD、升力系數CL和斯托羅哈數St，定義為：

其中，FD為阻力，與來流方向一致，主要由流體圓柱前后壓力差和繞圓柱柱表面摩擦阻力造成；FL為升力，與來流方向垂直，主要由渦交替從圓柱上下表面脫落產生上下表面壓力脈動造成；fs為旋渦脫落頻率，D為圓柱直徑。

為分析插值函數的階數對計算結果的影響，對單圓柱繞流的三種計算工況進行基于三種不同階數的插值函數的數值模擬。計算工況1中，譜函數插值采用N＝5階Gauss-Lobatto-Legendre多項式形函數；計算工況2中，N＝7；工況3中，N＝9。計算時間步長Δi＝0．005。從表1中看出，采取高階譜插值的譜單元法的計算精度和效率較高，即使對較粗糙網格劃分，當N＝5、7、9時，亦可得到滿意的結果，且與既有文獻中的實驗結果和數值模擬結果吻合。為取得計算精度和計算效率的平衡，本文取N＝7。這樣，計算的空間精度為7階，時間上的精度為2階。

需要說明的是，盡管在本單圓柱擾流的算例中Re＝200有弱三維效應，但是本研究采用二維計算，仍能得到與其他文獻接近的結果。

表1 平均阻力系數和斯托羅哈數（雷諾數Re＝200）Table 1 Average drag coefficients and Strouhal numbers（Re＝200）

3 順排兩圓柱繞流數值模擬

將兩圓柱順排排列放置在流體中，通過改變圓柱軸線之間的距離L，分析流場的變化。取Re＝200，計算時間步長Δi＝0．005，采用N＝7階插值函數，數值模擬間距比L／D＝1．2、1．5、2．0、3．6、4．0、6．0、8．0和10．0情形下的流場。

3.1 計算域和邊界條件

流場計算域和邊界條件與上述單個圓柱繞流數值模擬情形相同，圖2為計算域和邊界條件示意圖。圖3（a）為兩圓柱圓心間距為2．5D時的網格劃分示意圖，共劃分432個網格，在靠近圓柱壁面的幾層進行細化網格加密處理，離圓柱壁面最近的一層網格厚度為0．1D，如圖3（b）所示。同時，在圓柱尾流區域進行加密處理。

圖2 雙圓柱順排排列的計算域和邊界條件示意圖Fig.2 Schematic diagram of the computational domain and boundary conditions

圖3 兩圓柱繞流的譜單元網格示意圖Fig.3 Mesh system of spectral element for cross-flow around two cylinders

3.2 不同間距比下的流態

圖4為不同間距比下的順排兩圓柱繞流渦量圖，從圖4中看出，當兩圓柱串列時存在一個臨界間距，小于臨界間距時，上游圓柱后不存在旋渦脫落；大于臨界間距時，上游圓柱后發生周期性旋渦脫落。據圖4可定性判定出此臨界間距比大約為L／D≈3．6；即當L／D＜3．6時，上游圓柱后沒有產生渦脫落，上游圓柱繞流的分離分界層附著在下游圓柱上，而下游圓柱的后側產生渦脫落，尾流模式類似于單圓柱繞流尾流模式，當L／D＝3．6時，上游圓柱后開始形成渦脫落，當L／D＝4時，上游圓柱的后側已形成Kármán渦街，且旋渦脫落后撞擊下游圓柱前表面，干擾下圓柱的旋渦脫落模式，隨著間距比的繼續增大，上游圓柱后的脫落渦繼續影響下游圓柱的尾流。Re＝200時，圓柱繞流發生三維效應；可以看到上游圓柱后的渦脫落穩定，但下游圓柱后的尾流渦脫落形態變得復雜，因此二維數值模擬不能精確確定臨界間距比周圍的互擾區域。

圖4 雙圓柱不同間距比下的渦量云圖Fig.4 Vorticity contours with different spacing ratios for the two cylinders

3.3 圓柱表面受力特性隨間距比的變化

圖5為兩圓柱繞流平均阻力系數隨間距比的變化。從圖5可以看到，兩圓柱的平均阻力系數均小于單個圓柱的平均阻力系數，圓柱1（上游圓柱）的平均阻力系數要大于圓柱2（下游圓柱）的平均阻力系數。對于小間距比下圓柱1，先觀察到其平均阻力系數隨著間距比的增大而減小，間距比L／D＝3．6的時取得最小值；然后隨著間距比增大，平均阻尼增大，在L／D＝3．6和L／D＝4之間劇增后，其值緩慢增大，逐漸接近于單個圓柱的平均阻力系數。對于圓柱2，間距比L／D＜3．6時，其值隨著間距比增大而增大，在L／D＝3．6和L／D＝4之間劇增，從負值變到相當大的正值，之后又緩慢減小，趨于穩定。從中易見臨界間距比的存在（3．6＜L／D＜4．0）。當間距比小于臨界值時，上游圓柱的分離剪切層附著在下游圓柱上，渦脫落現象只在下游圓柱出現，此時下游圓柱受到較小的阻力，且為負值。當間距比大于臨界值時，上下游圓柱均產生渦脫落，且升力振幅均驟然增大（圖4g），平均阻力系數突然變大，下游圓柱變化更劇烈。之后，隨著間距比繼續增大，上下游圓柱的渦脫落均呈現出穩定性，變化緩慢。

圖5 雙圓柱平均阻力系數隨間距比的變化Fig.5 Variation of mean drag coefficients with different spacing ratios for the two cylinders

3.4 斯托羅哈數隨間距比的變化

本文所有變量均經過無量綱化處理，因此斯托羅哈數即等于渦脫落頻率。渦脫落頻率可通過對升力曲線作FFT分析求得。

圖6為斯托羅哈數隨間距比的變化。總體上，兩圓柱的斯托羅哈數基本保持相等，均隨著間距比的增大先減小再增大，并趨向于單個圓柱繞流時的斯托羅哈數。但間距比在某些區間內對斯托羅哈數的影響顯著，即間距比從3．6增大到4．0時，斯托羅哈數劇烈增大。當間距比小于臨界值時，上游圓柱后無渦脫落，僅下游圓柱后產生渦脫落；當間距比大于臨界值時，上游圓柱和下游圓柱均存在周期性的渦脫落，從而使得斯托羅哈數在臨界間距之間發生顯著跳躍。同樣，在雙圓柱擾流的算例中Re＝200有弱三維效應，二維計算，仍能得到與其他文獻較好擬合的結果。

圖6 斯托羅哈數隨間距比的變化Fig.6 Variation of the Strouhal numbers，St，with different spacing ratios，L／D for the two tandem cylinders

4 正方形順排排列四圓柱繞流數值模擬

把四圓柱繞正方形順排排列放置在流體中，通過改變圓柱軸線之間的距離L，分析流場的變化。取Re＝150，計算時間步長Δi＝0．005，采用N＝7階插值函數，數值模擬L＝1．4D、2．5D、3．5D和4．0D時的流場。在Re＝150這樣的雷諾數下，流體無三維效應。同樣，計算的空間精度為7階，時間上的精度為2階。

4.1 計算域和邊界條件

圖7 四圓柱排列的計算域和邊界條件示意圖Fig.7 Schematic diagram of the computational domain and boundary conditions for four cylinders

流場計算域和邊界條件與上述單圓柱繞流數值模擬情形相同，圖7為計算域和邊界條件示意圖。圖8（a）為兩圓柱圓心間距為2．5D時的網格劃分示意圖，共劃分778個網格，在靠近圓柱壁面的地方進行幾層網格加密，離圓柱壁面最近的一層網格厚度為0．1D，如圖8（b）所示。同時，在圓柱尾流區域進行加密處理。

圖8 四圓柱繞流的譜單元網格示意圖Fig.8 Mesh system of spectral element for cross-flow around four cylinders

4.2 不同間距比下的流態

圖9為不同間距比下的四圓柱繞流的渦量云圖。觀察發現三種不同的流動形態：間距比較?。↙／D＝1．4）時，圓柱互擾以臨近效應為主，上游兩個圓柱后面靠內側的自由剪切層附著在下游兩個圓柱表面，但是靠外側的兩個自由剪切層并未附著在下游兩個圓柱表面，而是覆蓋下游兩個圓柱，并從下游兩個圓柱后面流出，內外兩側的自由剪切層未出現擺動，圓柱尾流呈現為單鈍體繞流流動形態；在中等間距比（L／D＝2．5）條件下，結構互擾以臨近效應和剪切層干擾為主，上游兩個圓柱后面靠內側的自由剪切層再附著在下游兩個圓柱表面，但是靠外側的兩個自由剪切層并未再附著在下游兩個圓柱表面，而是在下游兩個圓柱表面交替出現擺動，此時下游圓柱尾部形成旋渦脫落流態，且干擾上游圓柱尾部旋渦發展并抵制其脫落；圓柱間距比較大（L／D＝3．5／4．0）時，結構互擾以尾流效應為主，此時所有圓柱尾流均充分發展，上游圓柱的自由剪切層形成成熟的渦脫落，然后撞擊到下游圓柱，且剪切層不斷向下游泄送Kármán旋渦，圓柱互擾表現為相鄰剪切層之間的相互干擾。由上可見，流動形態明顯影響圓柱表面的壓力分布，尤其是當從一種流動形態轉變到另一種流動形態，壓力分布變化顯著。

圖9 不同間距比下的渦量云圖Fig.9 Vorticity contours with different spacing ratios for the four cylinders

4.3 圓柱表面受力特性隨間距比的變化

圖10為四圓柱繞流情形下的柱體平均阻力系數隨間距比的變化，同時與相關文獻［11-12］在不同雷諾數下的結果對比。從圖10中看出，圓柱1和2的平均阻力系數CD1和CD2基本上相等，圓柱3和4CD3和CD4也呈現相同的特征，這是對稱性造成的結果，但是在間距比較小時，則有細微差異。另外，比較不同雷諾數的結果，發現雷諾數對阻力系數的影響較大，但是數值在同一數量級范圍內。

圖10 四圓柱平均阻力系數隨間距比的變化Fig.10 Variation of mean drag coefficients with different spacing ratios for the four cylinders

圖11 四圓柱平均升力系數隨間距比的變化Fig.11 Variation of mean lift coefficients with different spacing ratios for the four cylinders

圖11為四圓柱繞流情形下的柱體平均升力系數隨間距比的變化，同時與相關文獻［14-15］在不同雷諾數下的結果對比。從圖中可見，圓柱1和2平均升力系數CL1和CL2相反，圓柱3和4平均升力系數CL3和CL4也相反，這反映出兩對圓柱間互相排斥。隨著間距比的增大，4個圓柱的平均升力系數的絕對值均減小，且趨于0。上游兩個圓柱的平均升力系數絕對值大于下游兩個圓柱。在層流范圍內不同雷諾數的情況下，柱體的平均升力系數接近。但是在湍流情況下，間距越小，平均升力系數會更大。

4.4 斯托羅哈數隨間距比的變化

圖12為四圓柱繞流情形下的斯托羅哈數St1-St4隨間距比的變化。因本文變量均經無量綱化處理，所以斯托羅哈數即等于旋渦脫落頻率。旋渦脫落頻率可通過對升力曲線作傅立葉變換（FFT）分析求得。從圖9中看出，四個圓柱旋渦脫落頻率近乎相同。從L／D＝1．4到L／D＝2．5是從一種尾流形態轉變成另一種完全不同尾流形態，旋渦脫落頻率有所減小，從L／D＝2．5到L／D＝3．5尾流形態再發生轉變，旋渦脫落頻率增大。L／D＝1．4時，尾流形態類似于單鈍體繞流時的尾流，尾流只有一個占主要地位的旋渦脫落；L／D＝2．5時，上下側兩對圓柱尾流中分別形成旋渦脫落，類似于兩對反對稱的串列圓柱，但是每一對串列圓柱后面的尾流又不同于兩串列圓柱時的尾流，尾流中有一個占主要地位的旋渦，還有一個小渦伴隨，而并非兩排相同大小的旋渦；之后隨著間距比繼續增大，旋渦脫落頻率隨之增大，并逐漸趨近于單圓柱繞流時的旋渦脫落頻率，上下兩側尾流形態也類似于兩對串列圓柱尾流形態。

圖12 四圓柱斯托羅哈數隨間距比的變化Fig.12 Variation of the Strouhal numbers with different spacing ratios for the four cylinders

比較雷諾數的影響，發現從層流到湍流范圍內，旋渦脫落頻率在0．05～0．2之間，在同一數量級。

5 結 論

本文系統闡明了譜單元方法的基本原理，基于譜單元方法對低雷諾數和不同間距比下的順排雙圓柱繞流和正方形排列的四圓柱擾流及其阻力系數、升力系數等關鍵參數進行數值模擬和比較分析。

對順排雙圓柱擾流Re＝200，間距比選擇包括1．2、1．5、2．0、3．6、4．0、6．0、8．0和10．0等八種。分析顯示，間距比對兩圓柱繞流流場特性影響明顯，當流場從一種流動形態變成另外一種流動形態時，關鍵力學參數變化顯著，在某些間距比區間內出現驟升或驟降的現象。順排雙圓柱繞流存在臨界間距比，在Re＝200時臨界間距比約為3．6；當間距比較小時（L／D≤3．6），上游圓柱后不發生渦脫落，而僅在下游圓柱后發生渦脫落；間距比增大時（L／D≥4．0），兩圓柱之間產生渦脫落，且上游圓柱后的渦脫落對下游圓柱產生較大的影響。在臨界間距比區間（3．6≤L／D≤4．0），平均阻力系數、平均阻力系數均方根、升力系數均方根和斯托羅哈數變化顯著。

對于正方形排列四圓柱繞流問題在Re＝150，發現了三種不同的流動形態：間距比較?。↙／D＝1．4）時，圓柱互擾以臨近效應為主，圓柱尾流呈現為單鈍體繞流流動形態；中等間距比（L／D＝2．5）時，結構互擾以臨近效應和剪切層干擾為主，此時下游圓柱尾部形成旋渦脫落流態，且干擾上游圓柱尾部旋渦發展并抑制其脫落；圓柱間距較大（L／D＝3．5／4．0）時，結構互擾以尾流效應為主，此時所有圓柱尾流均充分發展，且剪切層不斷向下游泄送Kármán旋渦，圓柱互擾表現為相鄰剪切層之間的相互干擾。圓柱1和圓柱2的平均阻力系數在L／D＝2．5處發生跳躍，四個圓柱的斯托羅哈數均在L／D＝2．5處有一個彎折，之后隨著間距比的增大而增大。

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Numerical simulation of cross-flow around multiple circular cylinders by spectral element method

HAN Zhaolong，ZHOU Dai，CHEN Yanan，GUI Xiaolan，LI Junlong
（School of Naval architecture，Ocean and Civil Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

The details of the spectral element method are presented．Flow past two tandem circular cylinders at the Reynolds numberRe＝200 and four square-arranged circular cylinders with various spacing ratios atRe＝150 are numerically investigated．The effects of spacing ratiosL／D（ratio of center-to-center distance to diameter of cylinder）for the two cases above are main concerned．The relationship between the spacing ratio and the flow patterns，mean drag and lift coefficients as well as the Strouhal numbers are studied．The results reveal that the spacing ratio has a great impact on the flow characteristics of both the two-cylinder andthe four-cylinder cases．There is a critical spacing ratio of around 3．6 atRe＝200 for the case of two tandem cylinders．Three different flow patterns are observed in the case of four-cylinders．Among different flow patterns，a transformation from one pattern to another will change the drag／lift forces and vortex shedding frequencies．The key mechanical parameters jump suddenly in some critical spacing ratio intervals．

spectral element method；two tandem cylinders；four square-arranged cylinders；spacing ratio；flow patterns

O353.4

A doi:10.7638／kqdlxxb-2012.0070

0258-1825（2014）01-0021-10

2012-08-07；

2012-11-22

國家自然科學基金（51078230，11172174，51278297）、上海市優秀學術帶頭人計劃（13XD1402100）項目資助

韓兆龍（1983-），男，工學博士，專業：結構工程，研究方向：風工程與流固耦合．E-mail：han．arkey＠gmail．com

周岱，男（1963-），工學博士，教授，研究方向：大跨空間結構與流固耦合．E-mail：zhoudai＠sjtu．edu．cn

韓兆龍，周 岱，陳亞楠，等．譜單元法及其在多圓柱繞流分析中的應用［J］．空氣動力學學報，2014，32（1）：21-29．

10．7638／kqdlxxb-2012．0070．HAN Z L，ZHOU D，CHEN Y N，et al．Numerical simulation of cross-flow around multiple circular cylinders by spectral element method［J］．ACTA Aerodynamica Sinica，2014，32（1）：21-29．