◎ 汪曉勤

一、引 言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“《標準》”）將“四基”“四能”“核心素養”和“情感信念”列為數學課程的目標。其中，關于“情感信念”目標的表述是：“通過高中數學課程的學習，提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值；進一步促進學生全面、可持續發展。”［1］這里，學習興趣、自信心、習慣、科學精神都屬于數學學科德育的內涵，而數學的價值則與數學文化密切相關。

《標準》在“課程結構”中指出，“把數學文化融入課程內容中”。《標準》在“教學建議”中要求：“在整個數學教學中，教師應當有意識地結合相應的教學內容，引導學生了解數學的發展，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，體會數學的科學價值、應用價值和文化價值，提升學生的科學精神、應用意識和文化素養。”［1］

由上述可見，提升數學文化修養，將數學文化融入數學教學，是數學課程對每一位數學教師的要求。普通高考考試大綱中對于數學文化內容的要求，又引發了中學教師對數學文化的特別關注。然而，高考題中的數學文化只充當了“標簽”的角色；數學文化在中學的境遇依然是“高評價低應用”，數學文化融入數學教學的理想案例并不多見，數學文化應有的教育價值在實踐中并沒有得到充分體現。究其原因，是人們對數學文化的內涵還沒有清晰的認識，所掌握的適合于教學的數學文化素材少之又少，對于數學文化素材的運用方式也不甚了了。

數學史是數學文化的重要組成部分。實踐表明，在數學教學中，數學史可以揭示知識之諧，呈現方法之美，營造探究之樂，達成能力之助，展示文化之魅，實現德育之效［2］。但在HPM（History and Pedagogy of Mathematics）領域，迄今尚未有人對“文化之魅”的價值展開深入的分析和討論。

本文試圖根據西方學者關于數學史教育價值的討論，結合課程標準，對課堂上基于數學史的數學文化元素進行分類，并通過HPM課例的分析，說明分類框架的適用性，為數學文化融入數學教學提供一定的參考。

二、基于數學史的數學文化內涵

根據西方學者所總結的數學史的教育價值以及課程標準所提出的數學的四類價值，我們將課堂上的數學文化內涵分成知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂和多元文化五個維度，具體內容見表1。

表1 基于數學史的數學文化內涵分類框架

早在19世紀以前，很多文化名人都已對數學的教育價值有過探討［7］。圖1呈現了一些主要的觀點。其中，學科基礎、現實應用、消遣娛樂分別對應于數學文化五個維度中的學科聯系、社會角色和審美娛樂。

圖1 數學的教育價值

五個維度在《標準》中都有涉及。“知識源流”指的是某個知識點的歷史發展過程以及相關的人物、事件、思想等。《標準》在必修課的函數主題上，要求“收集函數概念的形成與發展的歷史資料，撰寫論文，論述函數發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻”；關于對數函數，要求“收集對數概念的形成和發展的歷史資料，撰寫論文，論述對數發明的過程以及對數對簡化運算的作用”［1］。在必修課的代數與幾何主題上，要求“收集幾何發展的歷史資料，撰寫論文，論述幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻”［1］；關于數列，要求“收集我國關于數列方面的研究成果，撰寫論文，論述發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻，例如，以‘楊輝三角'、《四元玉鑒》等重要成果為例”［1］。在選修課的對應主題上，也有類似要求。

“學科聯系”指的是數學與其他學科之間的關聯。M·克萊因曾將“文化原理”列為數學課程四大原理之一，認為數學教學中應該將數學與其他學科知識聯系起來。［8］《標準》在“課程性質”中指出：“數學是自然科學的重要基礎，并且在社會科學中發揮越來越大的作用。”［1］在“課程理念”中要求“注重數學文化的滲透，強調數學與生活以及其他學科的聯系”［1］；在“教學建議”中要求教師“了解數學與生活、數學與其他學科的聯系，創造出符合學生認知規律、有助于提升學生數學核心素養的優秀案例”［1］。

“社會角色”指的是數學對人類文明進步、社會發展所起的重要作用。《標準》在“課程性質”中稱：“數學與人類生活和社會發展緊密關聯……數學的應用已滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面……數學直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展。”［1］

“審美娛樂”指的是數學美與趣味數學。《標準》在D課程中設置了“美與數學”，包括“美與數學的簡潔”“美與數學的對稱”“美與數學的周期”“美與數學的和諧”等。但《標準》幾乎沒有涉及趣味數學。

“多元文化”指的是不同文明、不同地域在同一數學課題上的成就和貢獻。《標準》在“教科書編寫建議”中強調：“要把數學文化融入到數學學習內容中，充分體現數學的文化價值，體現數學對于人類文明發展的貢獻。在內容中，既要結合數學史適時吸收一些體現中華民族優秀傳統文化的素材；也要借鑒異域文化的優秀成分，展現高中數學教科書應有的國際視野。”［1］

三、HPM課例中的數學文化

數學文化內涵與課程標準所說的數學的四類價值之間的聯系如圖2所示。

圖2 數學文化各維度與數學價值的對應關系

（一）知識源流

在HPM視角下的數學教學中，教師以不同方式運用了有關的數學史料（人物、事件、概念、術語、命題、思想、方法、工具、符號等），這些課例都讓學生或多或少地了解、感悟數學知識的源與流。歌德（J. W. von Goethe）云：“一門科學的歷史就是這門科學本身。”［9］按照詹克維斯特（Jankvist）的“工具—目標”二元論［6］，數學史本身就是數學學習的目標之一；在課堂上追溯知識之源，是揭示數學的文化價值的重要途徑之一。

課例“平方差公式”［10］展示了趙爽的幾何方法和他的治學精神；課例“同底數冪的運算”［11］再現了古希臘數學家阿基米德（Archimedes）數沙的方法和他與敘拉古王子的故事；課例“全等三角形的應用”［12］融入了古希臘數學家泰勒斯（Thales）的測量方法并講述了他的故事；課例“可化為一元一次方程的分式方程”［13］以13世紀斐波那契（L. Fibonacci）的雇工付酬問題來引入新課題；課例“一元二次方程的配方法”［14］采用了阿拉伯數學家花拉子米（al-Khwarizmi）的幾何解法；課例“函數的概念”［15］追溯了“函數”概念從解析式定義到變量依賴關系定義的歷程以及“函數”一詞的來歷，等等，這些課例往往都涉及一個人物、一個問題、一種方法、一個主題，使課堂洋溢著文化的芬芳。

（二）學科聯系

數學史告訴我們，數學與人類其他知識領域（自然科學、人文與社會科學、藝術等）息息相關，數學史正是溝通數學與其他學科的一座橋梁。因此，數學與其他學科之間聯系乃是課堂上數學文化的重要內涵之一。

在課例“勾股定理”［16］中，教師嘗試從海涅（H. Heine）的一首詩開始：

真理，她的標志是永恒

暗昧世界始見她的光明

畢氏定理今猶在

恰似初授時的情形

繆斯女神把這光芒饋贈

畢達哥拉斯要把祭禮行

百牛烤熟又切片

難表心中感激之情

從那天起，當它們臆測

又一個真理揭開了面容

在地獄般的圈欄

暴發出一陣陣哀鳴

難阻真理發現者的暴行

畢氏讓它們永不得安寧

它們瑟瑟顫抖著

絕望地閉上了眼睛

這首詩表達了詩人對弱者的同情之心，詩中的施暴者正是發現勾股定理（后人稱之為“百牛定理”）的畢達哥拉斯學派。教師由此提出問題：究竟是怎樣的一個幾何定理，能讓數學家和牛結下“千古仇怨”呢？

利用文學作品來教數學，是數學教學中體現學科聯系的途徑之一。體現學科聯系的HPM課例富有吸引力，令人耳目一新。

（三）社會角色

數學在人類文明史上扮演著舉足輕重的作用，應用的廣泛性正是數學的基本特點之一。比利時-美國科學史學者薩頓（G. Sarton）甚至認為，數學史是文明史的核心。數學的“社會角色”，主要指的是數學的應用價值。

荷蘭HPM學者范馬南（van Maanen）曾將14世紀意大利的一個法律案例用于課堂教學［17］：如圖3所示，甲、乙兩塊土地的主人都想獲得洪水過后所產生的肥沃的淤積地，問：兩人如何分配這塊淤積地？意大利法律教授巴托魯斯（Bartolus）給出了分配方案：淤積地離誰家原有土地的邊界更近，就歸屬誰家。學生經過探究得出，圖中兩條邊界線所構成角的平分線就是兩家各得的淤積地的分界線。接著，將邊界線換成圓弧以及更一般的曲線，讓學生進一步探究淤積地的分配方法。這是用數學解決法律問題的例子。

圖 3 淤積地分配問題

在課例“相似三角形的應用”［18］中，教師將古希臘薩默斯隧道的設計問題用于課堂教學，深受學生的喜愛。

薩默斯隧道全長1036米，橫斷面寬和高均為1.8米，被譽為古代水利工程的奇跡。教師在介紹該隧道的基本信息之后，提出問題：公元前6世紀的古希臘人究竟是如何設計隧道的？他們何以能將隧道開鑿得如此精準？在學生熱烈討論之后，教師揭開了隧道背后的秘密。如圖4所示，隧道的北、南入口分別為A和B。從南入口B出發，在山外筑一條水平的道路BCDEFGHIJ，接近北入口，這條路由若干直線段首尾連接而成，相鄰兩段互相垂直。再從北入口A筑一條路AK垂直于IJ，垂足為K。過A作CB反向延長線的垂線，垂足為L，連接AB，于是得RtΔALB，利用山外路段的長度，易于算出直角邊AL和BL的長度。分別在AK和BC上取點M和N，過點M作AK的垂線段MP，過點N作BC的垂線段NQ，使得PM:AM = QN:BN = AL:BL，于是 RtΔAMP、RtΔBLA、RtΔBNQ兩兩相似，因此，P、A、B、Q四點共線。因此，只要在P、Q兩處放置標志物，南北兩個工程隊在開鑿過程中始終能看到標志物，即能確保方向正確了。

圖4 古希臘數學家海倫所記載的隧道設計方法

海倫所記載的上述隧道設計方法讓學生驚嘆幾何學的應用價值和神奇力量，真切感受到了數學與現實生活之間的密切聯系，深刻體會到了數學的社會角色。

（四）審美娛樂

世界因數學而美麗，數學因教育而精彩。雖然數學美無處不在，但這種美是針對具備一定鑒賞力的學生而言的。而學生對于數學美的鑒賞，需要教師在課堂上創造機會、并給予引領。在課例“字母表示數”［19］中，教師用英國幽默作家杰羅姆（J. K. Jerome）《懶人懶辦法》中的一段文字來說明字母表示數的意義：

“12世紀的青年墮入情網，你可別指望他會后退三步，凝視情人的眼睛，然后告訴他：你太美了，美得簡直不像活人。他會說他要到外邊去看看。倘若正好碰上那么一位仁兄，并打破他的腦袋——我指的是另外那個家伙的腦袋，這就說明他——前一個人的情人是個漂亮姑娘。但要是另一個家伙打破他的頭——不是他自己的，這是你知道的，而是另一個家伙的——另一個家伙是對第二個家伙而言的，這就是說，因為事實上另一個家伙僅僅對于他來說是另一個家伙，而不是第一個家伙——好了，如果他的頭被打破，那么他的女孩——不是另一個家伙的，而這個家伙——你瞧，如果A打破了B的頭，那么A的情人就是一個漂亮女孩；反之，如果B打破了A的頭，那么A的情人就不是個漂亮女孩，而B的情人才是。”

盡管這段文字無關數學，但從側面展示了數學的簡潔之美。而在課例“完全平方公式”中，教師介紹了古希臘數學家歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》卷二中給出的命題：“任意分一線段成兩段，則整段上的正方形等于兩分段上的正方形與兩分段所構成矩形的兩倍之和。”讓學生感受今日符號語言的簡潔之美和對稱之美。

歷史上的趣味數學問題是HPM課例的重要素材。在課例“一元一次方程”中，教師運用了《希臘選集》中的丟番圖的墓志銘；在課例“二元一次方程組的概念”中，教師采用了古希臘數學家歐幾里得的著名趣味問題：“騾子和驢馱著酒囊行走在路上，為酒囊重量所壓迫，驢痛苦地抱怨著，聽到驢的怨言，騾子給她出了這樣一道題：“媽媽，你為何眼淚汪汪，滿腹牢騷，抱怨的應該是我才對呀！因為，如果你給我一袋酒，我負的重量就是你的2倍；若你從我這兒拿去一袋，則你我所負重量剛好相等。”好心的先生，數學大師，請你告訴我，他們所負酒囊各幾袋？”

歷史上的趣味問題仿佛陳年佳釀，歷久彌香。學生仿佛穿越時空，與古人一起感受數學帶來的愉悅。

（五）多元文化

歷史上不同時空的數學家對于同一個數學主題往往都做出了各自的貢獻，數學史揭示了數學文化的多元性。因此，“多元文化”構成了數學文化的重要內涵。

在課例“一次方程組的應用”［20］中，教師運用了古代中國、古巴比倫、中世紀歐洲的數學問題。學生認為，古代數學問題讓他們體會到古代不同文明的數學文化，開闊了他們的視野。在課例“分數指數冪”［21］中，教師展示了14世紀法國數學家奧雷姆（N. Oresme）、16世紀荷蘭數學家斯蒂文（S. Stevin）、17世紀荷蘭數學家吉拉德（A. Girard）、英國數學家牛頓（I. Newton）等對分數指數冪概念和符號表達的貢獻（見圖5），呈現了多元文化。

圖5 分數指數冪概念和符號的歷史演進

四、結語

以上我們看到，數學文化內涵的五個維度——知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂、多元文化在HPM課例中都有體現。但在實踐中，不同維度的利用并不均衡。HPM視角下的數學教學，是指以解決某個教學問題為主旨，借鑒、運用數學史的課堂教學。因此，所有的HPM課例都會涉及知識源流。HPM課例力求凸顯知識的必要性，因而往往會體現數學的社會角色。但在學科聯系、審美娛樂、多元文化三個維度上，已有的課例做得并不理想。無疑，要在教學中深刻、全面體現數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，優化數學史的教育價值，我們還需要在已有課例研究的基礎上開展更深入、系統的數學史文獻研究和實踐研究。