梅放心

思維能力是數學核心能力。數學習題通過難度大小體現思維水平高低。從習題構造和解剖角度看，中學數學習題的難度由維度、梯度、跨度、隱度（簡稱“四度”）四個要素構造而出。“四度”符合中學數學習題實際。基于中學數學習題構造要素的高度提煉和概括，具有以下八點學科意義。

意義一，能夠清楚表達數學思維的含義。數學習題作為客觀現象的模擬體，以概念、符號、圖形模擬單個事物，以數量及其關系模擬多個事物。即數學思維是對數學概念、符號、圖形的本質屬性以及對多個數量的內在聯系的反映。此文劃分，以構造要素“維度、隱度”體現客觀的“數學概念、符號、圖形的本質屬性和數量的內在聯系”，以“梯度、跨度”體現主觀的“反映”。

意義二，能夠指導命題。依據此文劃分，針對繁瑣水平，可以就某個知識點從一維開始命題，不設置隱匿關系，例如圍繞概念的本質內涵，依據思維的梯度和跨度由小到大，依次構造概念的完全的外延形式。也可以繼續糅合二維、三維。針對內隱或外隱水平，一樣可以就某個知識點從一維開始命題，設置隱匿關系由淺入深，思維梯度和跨度由小到大，逐步埋伏數量關系的起源形態和演變形態。一樣可以繼續糅合二維、三維。通過構造維度、梯度、跨度由簡到繁，隱度由淺入深，形成連貫的甚至近乎微調的二次命題、三次命題……從而構造出思維水平逐步提升的系統化習題集。

意義三，能夠分解還原習題的來龍去脈，清晰解讀命題意圖。絕大多數教師沒有精力自行命題，但儲存的習題量十分豐富。此文劃分，可以指導逆向解剖習題。通過逆向解剖，分解出習題的“四度”，然后對數量關系的來龍去脈、數學方法的來龍去脈進行溯源性鋪墊構想，再結合此文劃分，產生自我命題。

意義四，能夠量化數學思維水平。此文劃分，針對繁瑣水平可以以“維度，梯度，跨度”為自變量，思維水平為它們的函數，得到一個三元函數;或者用四維向量空間的一個點描述一個狀態。針對內隱或外隱水平可以以“隱度，維度，梯度，跨度”為自變量，思維水平為它們的函數，得到一個四元函數;或者用五維向量空間的一個點描述一個狀態。數學模型理論建立是成立的，但數學技術超出了本文水平。對數學教學實際需要來說，能夠判斷習題的構造要素屬于幾維、幾梯、幾跨、幾隱，以構造要素的水平量化思維水平也就足夠了。

意義五，能夠分類量化《普通高中數學課程標準》。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》作為學科總綱，分類囊括了“四基”“四能”“六大核心素養”的要求，分類很明確，但“質量水平描述”無法細致。依據此文劃分，可以通過分類命題形式系統地、遞進地、細致地、深入地量化“質量水平描述”，也就可以將《普通高中數學課程標準》“質量水平描述”轉化為具體的教學目標。

意義六，能夠定點精確測量或診斷學生思維水平。

意義七，能夠分目標、分等級循序漸進地提高學生數學思維水平，指明提高學生思維水平的起始著手點、延伸方向、落腳點。

意義八，能夠擺脫傳統數學思維水平劃分的困惑。實際教學中，靈活運用通常是由于隱匿關系造成的，看清了隱匿關系，才能選擇恰合的知識和方法，即靈活運用知識和方法，其水平大多高于綜合運用。例如，由維度、梯度、跨度構成的繁瑣水平，就包含著綜合運用能力水平，如果無隱匿關系，那么純粹的繁瑣水平構成的綜合運用能力并不是高級水平;綜合運用只有設置了隱匿關系才能成為高級水平。再次，從包容性和根源性看，此文劃分的每一級水平都可以從“四度”要素根源上構造出基本運用、靈活運用、綜合運用，并且量化水平。

綜上所述，基于構造和解剖的數學思維水平劃分，依據數學習題構造要素劃分思維水平，揭示了習題蘊含思維水平的結構原因，描繪了思維水平的發展線索，對數學思維順序化教學、量化教學具有目標明確、思路清晰、操作易行的指導意義。

【本文系2021年度廣東省教育研究院研究課題“高中數學學困生的歸因分析及學法研究”研究成果，立項編號：GDJY-2021-M142】

責任編輯? ? 徐國堅