拋光機器人軌跡連續(xù)性規(guī)劃與仿真

張 棟，贠 超，何競擇，宋 濤

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

0 引言

隨著對產(chǎn)品質(zhì)量要求的提高，在更多產(chǎn)品中使用拋光加工以提高表面質(zhì)量。目前，復雜幾何形狀工件的拋光工藝主要由人工完成。人工拋光加工，勞動繁重，環(huán)境惡劣，生產(chǎn)效率低，且對工人經(jīng)驗要求較高，產(chǎn)品一致性差[1,2]。

與數(shù)控機床拋光相比，機器人拋光更具柔性和靈活性，適合復雜曲面的拋光操作[3]。而通用機器人在結(jié)構(gòu)剛度上表現(xiàn)欠佳，不能完全滿足拋光加工力較大的要求，且存在一定的振動，因而拋光質(zhì)量，效率和適用范圍受到制約[4]。而對專用的拋光機器人進行軌跡規(guī)劃研究，將有助于提高其加工能力和質(zhì)量，減少對示教的依賴。

1 拋光機器人結(jié)構(gòu)分析

本文所述的拋光機器人系統(tǒng)，專為復雜曲面的拋光加工設計，同時具備了機器人運動靈活和機床結(jié)構(gòu)剛度高的優(yōu)點，在較大拋光力作用下，較高速的拋光加工中，表現(xiàn)突出。從而可以適應較復雜曲面，獲得較高的質(zhì)量、精度和效率。

該拋光機器人系統(tǒng)為兩工位同步運動的3P3R型，6自由度機器人，如圖1所示。其中，拋光輪安裝部分具有2個自由度，分別是沿豎直方向的移動自由度Z，以及與Z軸和拋光輪旋轉(zhuǎn)軸線均垂直的轉(zhuǎn)動自由度A；工件裝卡結(jié)構(gòu)部分具有4個自由度，分別是水平面內(nèi)相互垂直的移動自由度X和Y，軸線沿豎直方向的轉(zhuǎn)動自由度B，以及軸線與B軸垂直的轉(zhuǎn)動自由度C。

圖1 拋光機器人結(jié)構(gòu)

另外，拋光輪輪軸的軸承座，通過滑塊導軌，安裝于拋光輪支架上，在振動汽缸的帶動下，可沿拋光輪旋轉(zhuǎn)軸線方向振動。振動頻率在每分鐘30～200次，以適應加工要求。拋光輪會隨著拋光加工的進行發(fā)生磨損，本機安裝的拋光輪許用直徑為300mm～600mm。

為獲得較理想的靈活空間，需使用拋光輪上不同位置進行加工，所以，拋光加工點所在的扇區(qū)位置，被認為是一個可由操作人員指定的自由度。而變換扇區(qū)由人為設置，即只能設定離散的值，即會造成實際拋光軌跡的不連續(xù)。為解決因扇區(qū)改變造成的不連續(xù)，首先，應盡量避免同一工件加工中不必要的扇區(qū)更改，即盡量通過A, B,C, X, Y, Z等6個自由度調(diào)節(jié)機器人姿態(tài)，完成拋光作業(yè)；其次，在拋光路徑上，扇區(qū)改變時，連續(xù)插入多個示教補充點，且這些點應為工件坐標系下一定規(guī)律曲線上的點。

2 拋光機器人運動學分析

2.1 D-H方法

為描述相鄰桿件問平移和轉(zhuǎn)動的關系，Denavit和Hanenberg于1955年提出了一種為關節(jié)鏈中的每一桿件建立附體坐標系的矩陣方法。對于旋轉(zhuǎn)關節(jié)關節(jié)角是關節(jié)變量，其余參數(shù)固定不變；對于移動關節(jié)，偏置是關節(jié)變量，其余參數(shù)固定不變。

2.2 建立D-H坐標系

通用的6R型工業(yè)機器人一般以世界坐標系作為第0坐標系，進行建模。而本拋光機器人的自由度分列于工件和工具兩部分，為研究拋光加工點，在工件坐標系內(nèi)的運動，以工件坐標系作為第0坐標系。原點建于BC軸交點上。并根據(jù)拋光機器人結(jié)構(gòu)尺寸，按照D-H方法依次建立各坐標系。為描述拋光加工時所使用的拋光輪上弧段的區(qū)域，建立第7坐標系。如圖2所示。

相應各桿件的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運動參數(shù)，如表1所示。與該套建系方案相對應，須規(guī)定各關節(jié)的正方向及移動或轉(zhuǎn)動范圍。則第8系原點為加工點，Z8指向加工法向，X8指向拋光速度方向。

表1 拋光機器人D-H參數(shù)表

2.3 機器人運動學正解

圖2 拋光機器人D-H建模圖

解得各項如下：

依次繞固定坐標系的X0，Y0，Z0軸旋轉(zhuǎn)γ角，β角，α角。可由矩陣形式描述為：

則有，在cosβ≠0時，

所求得的px，py，pz和α，β，γ即可描述拋光加工點的位置和姿態(tài)。

2.4 機器人運動學逆解

在已知拋光點在工件坐標系中的位置，法線方向和拋光速度方向的條件下，要求得各關節(jié)的移動或轉(zhuǎn)動量，就需要求解運動學的逆解。對機器人運動學正解，進行觀察求解可得：

式（19）!式（24）中，b1＝51.5。

3 三次參數(shù)曲線插值

波音公司的弗格森（1963）首先引入?yún)?shù)三次方程，用于在飛機設計中進行曲線和曲面的定義。

參數(shù)三次（parametric cubic）曲線，簡稱PC曲線，

用冪基表示：

將式（25）對參數(shù)t求導：

用t＝0，1分別代入式（25）和式（26）中，有

其矩陣形式即：

將式（25）代入式（31）。可以得到用兩斷電及其切矢表示的參數(shù)三次曲線段：

某拋光軌跡，共有n個點，其中第i個點，當1＜i＜n時，令該點處的導數(shù)為線段（pi-1，pi）和線段（pi，pi+1）的斜率的均值，則有：

即可得到一條由n-1段參數(shù)三次曲線拼得的一條連續(xù)可微的曲線段（p1，p2，…，pn）。

4 軌跡規(guī)劃仿真

以一條35個點的拋光示教軌跡為例，根據(jù)上述三次參數(shù)曲線插值的方法，對該軌跡進行插值。令式（32）至式（35）中 p 分別以上述px，py，pz和?，?，?為研究對象，帶入三次參數(shù)曲線方程中，進行插值計算，獲得響應的插值點，同時包括加工點的位置和角度信息。

利用matlab進行仿真，可以得到松弛方法獲得的拋光加工軌跡如圖3中左圖所示，較大程度上偏離了工件表面，拋光輪吃入量時大時小，尤其在工件表面曲率較大處較為明顯。而圖3中右圖所示，為采用三次參數(shù)曲線插值方法獲得的加工路徑，可以看出各加工點均勻平滑，且拋光加工的方向和主速度方向變化連續(xù)。

在X-Y平面和X-Z平面內(nèi)觀察軌跡，如圖4和圖5所示，可明顯體現(xiàn)出應用三次參數(shù)曲線插值的方法，規(guī)劃得到的拋光加工軌跡與工件表面契合程度高，軌跡光順，變化連續(xù)與實際工件表面最大距離小于1mm；而松弛的拋光軌跡在示教點之間運動規(guī)律隨機性較大，特別是在曲率變化較大的局部偏離加工面的現(xiàn)象嚴重，與工件表面點最大偏離超過4毫米，將嚴重影響加工質(zhì)量。

當控制條件為最大關節(jié)速度恒定時，各關節(jié)驅(qū)動電機中轉(zhuǎn)速最高的電機的轉(zhuǎn)速為定值，則兩點間的運行時間：

圖3 軌跡連續(xù)控制方法與松弛位置方法的軌跡對比

圖4 X0-Y0平面內(nèi)軌跡投影對比（橫軸為X0，縱軸為Y0，單位mm）

圖5 X0-Z0平面內(nèi)軌跡投影對比（橫軸為X0，縱軸為Z0，單位mm）

在較小長度范圍內(nèi)，認為兩點間的拋光軌跡為直線，則有拋光軌跡速度

采用軌跡連續(xù)的控制策略時，已知相鄰兩點間的距離和各關節(jié)中的發(fā)生最大位移量的關節(jié)。所以，在速度過快時，可以通過改變nmax，以限制最高速度，實現(xiàn)進給運動的速度穩(wěn)定。圖6為伺服電機最高轉(zhuǎn)速為1200r/min時，在工件坐標系內(nèi)，拋光加工點移動速度的對比。

松弛的拋光軌跡，速度變化突然，波動范圍大，最高速度達到270mm/s，大大超過了拋光加工所要求的進給速度。應用連續(xù)軌跡控制方法，速度波動范圍較小。變化相對連續(xù)。基本在50mm/s至80mm/s速度范圍內(nèi)，符合工藝要求。

5 結(jié)論

本文在拋光機器人的結(jié)構(gòu)分析、運動學分析和軌跡規(guī)劃等三個方面的結(jié)論如下：

1)專用型拋光機器人，結(jié)構(gòu)剛度高、運動靈活、適應復雜曲面和加工質(zhì)量高；

2) 應用D-H方法，獲得運動學正反解，以實現(xiàn)對機器人姿態(tài)和加工軌跡的控制；

3）基于三次參數(shù)曲線，設計軌跡規(guī)劃方法，以實現(xiàn)拋光機器人加工軌跡，位置和姿態(tài)連續(xù)變化的規(guī)劃，解決各示教點間拋光軌跡偏離和加工姿態(tài)不理想的問題。

圖6 工件坐標系內(nèi)拋光加工點移動速度對比曲線圖

[1] 洪云飛, 李成群, 贠超. 用于復雜空間曲面加工的機器人磨削系統(tǒng)[J]. 中國機械工程, 2006, 8(17): 150-152.HONG Y F, LI C Q, YUN C. Robot Grinding System for 3D Complex Surface Processing[J]. China Mechanical Engineering, 2006, 8(17): 150-152(in Chinese).

[2] S. J. Go, M. C. Lee, and M. K. Park, “Development of Automatic Polishing System and Fuzzy-Sliding Mode Cont-rol Based on Genetic Algorithm”, Proc. Of the American Control Conference, pp.25-27, 2001.

[3] LIAN G, SUN z Q, MU c D. Optimal motion planning passing through kinematic singularities for mbet arm8[C]IROS 2006. Beijing: IEEE Press, 2006: 4349-4351.

[4] R-S Lin, Y Koren, Efficient tool-path planning for machining free-form surfaces, Journal of Engineering for Industry, Transactions of the ASME. vol.118, pp. 20-28,april, 1996.

[5] 張紅強, 章兢, 王耀南, 等. 機器人關節(jié)空間B樣條軌跡設計的混沌優(yōu)化[J]. 電機與控制學報, 2007, 1l(2): 174-177.

[5] ZHANG H Q, ZHANG J, WANG Y N, et a1. Chaos optimization0f B-splines path plannihg for robot in joint space[J]. Electric Machines and Control, 2007, 1l(2): 174-177. (in Chinese).

[6] Chen, Y. -Ch.: Solving Robot Trajectory Planning Problems with Uniform Cubic B-Splines. Optimal Control Applications and Methods 12 (1991), pp. 247-262.

[7] A. I. F. Vaz and E. M. Fernandes, “Tools for robotic trajectory planning using cubic splines and semi-infinite programming,” in Recent Advances in Optimization, A.Seeger, Ed. Springer, 2006, pp. 399-413.

[8] H. Chen, N. Xi, Z.Wei, Y. Chen, and J. Dahl, “Trajectory integration for a surface with multiple patches,” in Proc.IEEE Int. Conf. Robotics and Automation, 2003, pp. 3984–3989.