對一道源自課本的高考試題的再探究

周長春

(北京市第二中學 100010)

文[1]對該題進行了深入的探究，不僅給出了5種不同的解法，而且得到了3個一般化的結論，讀后讓人深受啟發.筆者對該題“再”探究，思考如下問題：

①該題還有沒有別的解法？

③將②推廣到一般情形后的結論又是怎樣的？

筆者通過挖掘|a·e|+|b·e|的幾何意義，借助幾何直觀，得到如下解決過程．

1 利用幾何意義求解

(1)構造|a·e|+|b·e|的幾何意義

圖1

這就是|a·e|+|b·e|的幾何意義.

(2)求|a·e|+|b·e|的最大值

下面利用|a·e|+|b·e|的幾何意義求 |a·e|+|b·e|的最大值.

圖2

當θ=0或θ=π時，上述結論也成立.

因此，將問題一般化，利用|a·e|+|b·e|的幾何意義可得出如下結論：

設a，b為非零向量，則對任意單位向量e，有(|a·e|+|b·e|)max=max{|a+b|,|a-b|}.

設a，b為非零向量，|a|=m，|b|=n，利用上面的方法很容易得到文[1]的3個結論，這里就不贅述了.

2 幾何意義的應用

(1)變式探究

故當e⊥b時，(|a·e|+|b·e|)min=sinθ.

若θ=0或π，則當e⊥b時，(|a·e|+|b·e|)min=0=sinθ.

綜上，(|a·e|+|b·e|)min=sinθ.

此題如果不采取上述方法，解決起來往往非常麻煩，有興趣的讀者不妨一試.

(2)推廣探究

將上述變式推廣到一般情形，筆者經過探索得到了如下一系列結論：

結論1已知非零向量a,b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，a與b的夾角為θ，e為任意單位向量，則當且僅當e⊥b時，(|a·e|+|b·e|)min=msinθ.

結論2已知非零向量a，b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，若對任意單位向量e，均有|a·e|+ |b·e|≥r，其中r為正常數，則當且僅當r≤m時，a，b存在.

結論3已知非零向量a，b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，若對任意單位向量e，均有|a·e|+ |b·e|≥m，則a⊥b.

這些結論的證明方法與上述變式求解過程完全相同，這里略去.

本文是對一道源自課本的高考試題的“再”探究.在探究過程中，一方面強調換個角度思考，深入挖掘|a·e|+|b·e|的幾何意義，借助幾何直觀、數形結合來解決問題；另一方面強調變式，并試著做一般化處理.在平時教學中，教師如果能在引導學生多角度思考問題(一題多解)以及對題目進行變式求解(一題多變)方面多花功夫，對于提升學生的數學核心素養、培養學生靈活運用所學知識分析問題和解決問題的能力，是大有裨益的.