相關鏈接：談解題后的反思

問題已知△ABC中，a=1，b=2，∠C=90°，則c等于多少?

任何一個學過勾股定理的人都能輕易求得c=5，如果思維就此結束，那么這個問題并無多大意義，此時教師應引導學生作進一步的反思和探索。

1．對結論的反思

問題1已知AABC中，a=1，A＝2，上C=90°，你能求出些什么？

事實上，此問題的本質是三角形兩邊夾角確定后，其所有的基本量，如邊c，周長L，面積S，∠A，∠B等都隨之確定，同時，與△ABC的一切相關量如外接圓、內切圓半徑的大小，高線、中線、角平分線的長、四心的位置等等同時確定，都應是能求出的對象，由此，學生就能體會到有些問題用現有的知識就能解決，而有些問題則將導致新知識的產生，如求∠A的度數就需要三角函數的知識．對結論的反思，有很多切入點，如：為什么會有這樣的結論?結論合理嗎?是否會有什么規律？可以推廣嗎?等等，經常在解題后思考這類問題，有助于學生養成研究性學習的好習慣，對培養他們的探索精神和發現能力大有好處。

2．對條件的反思

(1)弱化條件

把問題1中的條件上C=90°略去，就有

問題2已知△ABC中，a=1，b＝2，你能求出些什么?

比較問題1和問題2，由于上縱確定變為不確定，學生看到了一個動態的△ABC，原來能求出的一些基本量相應地都隨∠C的變化而成為變量，能求出的應是這些量的范圍，如1＜c＜3，0＜s≤1等。筆者曾就此問題要求學生當堂編題，一學生就提出了下面這個很有價值的問題并提供了很有創意的解法：

問題2'已知△ABC中，a=1，b＝2，求∠A的范圍。

解顯然，點B的軌跡是以C為圓心，1為半徑

(2)增加條件

在問題2中增加一個合適的條件，動中取靜，也許在某特殊條件下會有什么有趣的現象出現。

如

問題3 已知△ABC中，a=1，A＝2，周長L為整數，則這樣的△ABC有幾個?形狀如何?

學生解答這種問題一定會興味盎然，如果這個問題是他們自己提出來的，那就更棒了!

(3)變換條件

事實上，問題1中的條件∠C＝90°變為任意一個確定的角，其本質不變，只不過不能直接用勾股定理求解罷了，那就轉化吧!如

問題4 已知△ABC中，a=1，b＝2，∠C=60°，求c．

對條件的反思，往往會產生新的數學問題，當學生學會了提出問題，便會自覺地去嘗試解決，因為他一定希望自己是第一個解決它的人．此時，我們不僅使學生懂得了數學，更使他們學會了創造數學。

3．對解題過程和解題策略的反思

(1)一般化和特殊化

將數學問題特殊化，往往能找到有效的特例，也往往成為解決一般問題的前奏，這在解題教學中已受到廣大教師的重視。另一方面，將數學問題一般化，試著將某些結論進行推廣，也許會成為發現真理的導火索。

認真反思問題1和問題4，此時，一個一般化的問題的提出是自然而然的，即

問題5 已知△ABC的兩邊a，b和夾角C，如何求第三邊c?

此時，一個一般性的公式c²=a²+b²-2abcosC(余弦定理)的發現便水到渠成了!

(2)一題多解

“還有其他解法嗎?”這是數學課堂經常聽到的一句話，遺憾的是這句話更多的是出自教師之口．我們應該鼓勵學生在問題解決后習慣地對解題過程進行反思或與他人交流意見，自覺尋求其他的解法，值得注意的是，決不能片面追求解法的新巧。一題多解的美感及其價值在于其思維的多樣性和殊途同歸的必然性。

例如問題4，比較學生的各種解法是很有意義的：

解法1(轉化思想)作高BD，轉化為兩個Rt，△后得解。

解法2(同一法)作AB'⊥BC于B'，證B'與B重合后得解。

解法3(折半法)取AC中點M，由正△BCM得解。

解法4(加倍法)延長CB到D，由正△ACD得解。

解法5(構造法)作△A'B'C'，使上B=90°，a'=1，b'=2，由△A'B'C'≌△ABC得解。

比較的主要目的是為了激發學生思維的靈活性和體驗解題策略的多樣性，而不是要得出什么是最佳解法。當然，明白各種解法的普遍性或特殊性是必要的。

(3)反過來想想

對逆命題(交換條件與結論)的敏感度是一個人基本的數學素質，解題后考察原命題的逆命題，有助于培養學生思維的嚴密性和批判性．

在自由探究的氣氛中，學生每得到一個結論，都會有一種發現的驚喜和成功的愉悅．在這里，人人都可以發表自己的見解，哪怕是一個非常幼稚的念頭都可能在集體討論中成長為一個美妙的結果，哪怕是再聰明的同學也很難獨立得出“完整的答案”，其實，學生能得出多少結論并不重要，真正重要的是，在這種完全開放的課堂刺激中，學生明白了不但要學會自主探索，而且要學會傾聽他人的意見，懂得與他人交流、合作的重要性。

(4)換個角度思考

定向思維易使創新思維受阻，培養創新意識，要重視鼓勵學生進行發散思維、逆向思維等，要敢于批判，敢于質疑，所謂“橫看成嶺側成峰”，正面直對，似乎懸崖峭壁；換個角度，也許柳暗花明，對解題的反思也是如此。

(作者單位：浙江省溫州市第二中學)

(摘自《中學教研·數學)

(責任編輯／宋一兵)