數學實驗課“正方體中的二面角”的嘗試

“幾何畫板”環境中作出的立體圖形直觀、立體感強，空間位置關系清晰，特別是可以動態地展示空間概念，幫助學生形成良好的空間觀察能力，提高學生的空間想象能力。為此，我們以“幾何畫板”為平臺，創設“數學實驗”的環境，給學生更大的活動空間，讓數學活動課既與課堂內容密切相關又有所發展、有所突破、有所創新。

在我設計的數學實驗課——“正方體中的二面角及其平面角”中，我進行了如下的嘗試：首先，教給學生在“幾何畫板”中作圖的基本方法，然后只提供一個可以轉動的正方體，要求學生盡可能多地找出存在于正方體中的二面角，所有的要求都由學生自己設計、動手完成。實踐中，很明顯地感受到了應用“幾何畫板”創設情境為教學的展開帶來的作用。

幫助學生掌握概念

設計一：正方體中兩個相鄰側面形成的二面角及其平面角。

“幾何畫板”中立體圖形良好的立體感，可以讓學生從各個角度觀察，靈活找到不同的相鄰側面組合，得到不同答案，用不同的線型和顏色給以標示，清晰明了，加深對“二面角”這個基本概念的印象，圖1為學生作品示例。

根據定義標示二面角平面角的過程中，辨析正方體這個特殊幾何體中，線（棱）與線（棱）的平行、垂直關系，利用線面平行、垂直，找出二面角的標示方法。

啟發學生思考問題

提出問題：已知兩個平面相交于直線AB，平面ABCD內一點P，求作經過點P的平面ABCD、ABB'A'所形成的二面角的平面角，如圖2所示。

這個問題的解決需要在理解定義的基礎上，加以變通和靈活設計，使最終得到的角符合定義。同學們在思考和嘗試后，提出兩種重要的方法：三垂線法和棱的垂面法。

其中三垂線法是求二面角的平面角常用的基本方法，學生在畫圖的過程中得到許多直接經驗，這為進一步的邏輯證明問題奠定了良好的基礎。通過這個問題所展示出來的空間直線與平面的位置關系的內在聯系，垂直關系的判定和性質等知識，在線線空間關系、線面空間關系中是一個完整的知識體系，而親手做一做的方式，讓學生深化了對于知識的辨析，更利于學生得到正確的認識。

利于學生自主設計

設計二：畫出平行于正方體側面的截面，標示它與底面形成的二面角的平面角，如圖3所示。

學生對于這個問題的答案有一定實踐體驗，但要準確作圖，要求學生對于空間平面平行關系，平面平行性質定理，直線之間平行、垂直關系以及定理有準確理解，并能逆向應用定理作出截面。

程度不同的學生得到有一定差異的結果，在設計的過程中學生思維顯得積極而活躍，每一位同學都躍躍欲試，教師肯定學生的設計成果，同時結合定義、定理加以完善，從而使學生自覺地和更深層次地參與到教學活動之中，學到的知識也更為牢固。

培養學生探索精神

在完成設計二之后，教師提出問題“正方體中還存在怎樣的截面和二面角”，學生立刻提出了很多新的設想：

1.平行于底面的截面；

2.過上下底面對角線的截面；

3.過不在同一表面上三點的截面等等；

4.截面、側面、底面之間形成的二面角。

課堂學習氣氛熱烈，學生積極參與討論問題，有話能說、有話可說、有話想說，多了許多成功的愉悅。在良好的課堂氛圍中，學生發展了探索能力，培養了創新精神。

在學生提出的問題中，已出現了一些典型圖形，教師不妨結合一些典型例題給以講解，使問題的層面逐步加深，由易到難，循序漸進，進一步提高學生的空間分析、空間邏輯思維能力。

開拓學生創新能力

開放性問題，已知條件概括而寬松，沒有明確的結論，答案不唯一，考察學生的創新意識。解決時需對題目條件綜合分析得出相應的結論并給予正確的證明。解題過程中，涉及的知識面廣、可供選擇的方法多，對于提高學生的理解能力、觀察能力、分析歸納問題、解決問題的能力，提高思維品質、培養數學素養有很大的幫助。

學生提議：作出過正方體一條棱的截面，標示它與底面形成的二面角。

教師示例，如圖4所示。正方體中，AB=12，分別過DC和A'B'的兩個平行平面把正方體分為體積相等的三個部分，那么DG等于多少。

圖4

解題時體現出過一條棱的截面不唯一，提示學生注意分析截面的形狀、截得的幾何體的形狀、類型，更深刻理解棱柱的概念。

數學實驗課上設計要求由淺入深，面向全體學生，使每一位學生都可以不同程度完成設計，有所提高。中途的設計不成功暴露出學生在理解上存在的問題，通過再思考、再設計，糾正理解偏差。許多同學提出新問題、進行新設計，自覺靈活運用數學規律，探索解題方法，在探索過程中，體會到成功的喜悅。積極、活躍的氣氛貫穿了整個過程，這極大地調動了學生的學習積極性，對優化教學環境、提高課堂教學效果、提高學生的綜合數學能力都發揮了積極的促進作用。

（作者單位：河北省邢臺市二中 054001）