因勢利導 探究學法等

甲、乙兩個運輸隊同時運送一批貨物，運完時甲隊運了這批貨物的4/9。甲隊單獨運8小時運完，乙隊單獨運幾小時運完?

這是一位教師教學“工程問題”時的一道課堂練習題。不少學生認為。題中要求乙隊單獨運幾小時運完．而提供的條件僅是甲隊完成的工作量和甲隊單獨運所需的時間，條件和問題之間好像是兩碼事。

如何面對學生的這一疑問？

師：問題提得很有意義。從題目上看，確實看不出條件和問題有什么聯系。但能不能說這類題目就無法求解呢?

生：不能。

師：既然不能，那已知條件和所求問題缺少聯系，如何著手分析數量關系，進而求解呢？

課堂上一時靜了下來．一會兒有學生舉手。

生₁：能不能先找一找題中有沒有隱含條件?(當即得到一些同學的肯定)

師：你們怎樣去找出題中的隱含條件呢?

問題提出后，課堂氣氛頓時活躍了起來。

生₂：從“甲隊運了這批貨物的蘭”，知道是以這批貨物為單位“1”，還可聯想到乙隊運了1－4/9=5/9；從“甲隊單獨運8小時運完”，可知甲隊單獨運每小時運1/8。

生₃：知道甲隊每小時運這批貨物的1/8，現甲隊運了這批貨物的4/9，可求出甲隊運送貨物的時間是4/9÷1/8=3×5/9(小時)。

生₄：乙隊同時運送，這也是乙隊運送貨物的時間。

生₅：還可以這樣想，“甲隊單獨運8小時運完”，現甲隊運了這批貨物的4/9，可知時間也是用了4/9，這也可求出運送時間為8×4/9=3×5/9(小時)。

師：現在我們回過頭來看一看，從找出的隱含條件中我們知道了哪些有關條件?這時能解答這道題嗎?

生₁：知道乙隊完成的工作量和運送時間。運用分數除法就可求出乙隊單獨運的時間為：(4/9÷1/8)÷(1-4/9)=6×2/5(小時)。

生₂：還可以這樣列式：(8×4/9)÷(1－4/9)=6×2/5(小時)。

生₃：知道乙隊完成的工作量和運送時間，還可先求出乙隊的工作效率，再求出乙隊單獨運完的時間，算式是：1÷[(1一4/9)一(8×4/9)]-6×2/5(小時)。

師：根據找出的隱含條件，這道題還有別的解法嗎?一時想不出來可在小組里先議一議。

生₁：還可以根據兩隊完成的工作量之間的倍數關系進行解答，算式是：8÷[(1－4/9)÷4/9]=6×2/5(小時)。

生₂：或以乙隊完成的工作量為一倍數，列出算式是：8×[4/9÷(1-4/9)]=6×2/5(小時)。

隨著問題的解決。有的學生還說出了他們的體會：解答這樣的應用題，可不能光去分析條件與條件、條件與問題之間的關系，而是先看一看已知條件，想一想有些什么隱含條件。然后將它們聯系起來進行數量關系分析。

這位教師對學生課堂練習中提出的問題，沒有就事論事地講述解題重點或提示解答方法，而是因勢利導，讓學生對自己提出的問題先做一番探究。值得一提的是，這種探究的著眼點不是放在具體的解題方法上，而是引導學生從條件的聯想和分析中活化已有知識，找出隱含條件，溝通知識聯系，探究這類問題的學習方法。在這個過程中，知識從聯想中得到深化，思維在知識的深化中得到發展，在思維的發展中拓展了學生的學習思路。這樣的課堂練習就不僅僅是鞏固新知，形成技能的一個教學環節，而是能使之成為新課的繼續和延伸，充分發揮其促進學生主動學習與開發學生創造潛能的功能。無疑。這樣的課堂練習，不僅能更好地提高學生的學習能力，而且能有效地培養學生的探究精神。

變題引思，矯枉扶正 葉小飛

在小學數學應用題教學中，對待學生解題時出現的錯誤，教師一般采用訂正和評講的方法，讓學生知錯、糾錯。但從發揮學生的主觀能動性和發展學生思維能力的角度看，這種處理方式很大程度是外因在起作用，學生對錯誤的認識與印象并不深刻。其實，我們在更多的時候可以把學生的錯誤作為一種教學資源，以錯為機，采用變題引思的方法矯枉扶正，使學生既長知識又長智慧。

題目：有一批零件，用甲車床加工1/2小時可以完成，用乙車床加工1/3小時可以完成。兩臺車床同時加工，幾小時可以完成?

學生出現以下的錯解：1÷(1/2+1/3)=1×1/5(小時)。

對于這一解法，教師可以不急于表態，而將原題的條件分別變為：

(1)有一批零件，用甲車床加工2小時可以完成，用乙車床加工3小時可以完成……?

(2)有一批零件，用甲車床加工30分鐘可以完成，用乙車床加工20分鐘可以完成……?

然后讓學生解答這兩道題，即：

(1)1÷(1/2+1/3)=1×1/5(小時)

(2)1÷(1/30+1/20)=12(分鐘)=1/5(小時)

這樣，學生很快就會發現錯解的原因，有的從變題(1)中得到啟示，原題中的“1/3”、“1/2”并不是兩臺車床的工作效率；有的從變題(2)中得到啟示，工作效率應是單獨完成任務所需時間的倒數，最終得出正確的解法：1÷(1／1/2+1／1/3)=1/5(小時)。

在肯定了學生的結論后，教師還可以進一步追問：“同學們還能從何處看出前面的解答是錯誤的?”學生回答如有困難時，教師可用教棒指著計算結果予以啟迪，引導學生明白兩臺車床同時加工完成任務的時間，一定不會多于甲、乙兩臺車床單獨完成任務所需的時間，最后再總結出解答工程問題的關鍵。

至此，通過以上變題引思的活動，學生自己深入思考并改正錯誤，從失敗中吸取教訓，形成了清晰、正確的認識。

由此想彼 劉建紅

我是一名小學數學教師，兒子是一名二年級學生，我經常和兒子一起學數學、做數學。

兒子正在做一道思考題：兩根相同的筷子重疊一部分，總長是10厘米，重疊的部分是2厘米，求每根筷子長多少厘米?

兒子在思考著，我也在思考解題方法：(10-2)÷2=4cm，4+2=6cm；同時還在想如何給兒子講解解題方法。看著兒子專注思考的樣子，“對呀，他在想什么呢?”于是。我就試探著問他：“想出來了嗎?”兒子說：“是不是6厘米?”我連忙笑著問他：“你的6厘米是怎樣得出來的?”兒子流利地說出了這樣的算式：“10+2=12cm，12÷2=6cm。”我驚住了，沒想到兒子的解題方法比我的還簡單，連忙笑著問：“說說，為什么呢?”兒子邊講解邊做手勢：“把這根筷子往后拉，總長是10+2=12cm，兩根筷子一樣長．所以用12÷2=6cm。”我向兒子豎起了大拇指，兒子也開心地笑了。

在這段交流對話中，我慶幸沒講出自己的解題方法，而是讓兒子去說，順著兒子的思維感受著、欣賞著、指導著、快樂著，由此，我想到了我們的課堂……

過去的教學中，教師是課堂的主角．處于主導地位。學生被教師“牽”著完成了教學內容，學生是把教師的發現再變成自己的發現。而如今，學生有自己獨特的見解、新異的想法、張揚的個性。為了學生的全面發展，我們要為課堂改變兩點：一是創造一切機會和時間讓學生去說、去做。教師想說的不說。先引導學生去說；教師想做的不做，先引導學生去做。二是教師根據學生的“說”“做”去分析、思考，并走進學生的思維空間。在學生的思維空間里，創設合適的探究空間；在合適的探究空間內，進行指導、點拔。教師幫助學生完成自己的發現和探究過程，使學生在“自我空間”內，在教師的引導下快樂地學習與成長。其實，這也體現了新課標的理念。可怎樣做，才能更好地體現以“學生為主體，教師為主導”的理念呢?這還需要我們深入地研究。

關于“幾和第幾”練習設計的一點修改意見 吳 銘

《義務教育課程標準實驗教科書》(蘇教版)第一冊第五單元(認數)的第3課時。是通過教學讓學生認識序數和基數，使學生能正確區分幾和第幾。教材是這樣安排的：先結合學生熟悉的生活情境(電影院排隊買票)，啟發學生用幾或第幾描述自己觀察到的情況，使學生在情境中初步理解“幾”和“第幾”的含義，并能正確區分“幾”和“第幾”。然后通過“想想做做”的1至5題使學生進一步體會“幾”和“第幾”．學會用數表示事物的個數及事物的順序，并結合有關活動進一步體會左右、前后等方位。

在認真學習了《課程標準》和閱讀了教材及相應的教學參考書后，我認為將本教學內容“想想做做”的1至5題重新做以下調整，更為妥當一些：原本的第1題不變，最后的第5題也不變，其中的第4題放至第2題的前面，而原本的第2題改為第3題，第3題則成為第4題。

為什么要進行這樣的調整呢?原因在于仔細分析每一習題的編排目的與練習的實際價值后，我們發現，原本的第4題答案比較單一，是遵循從前往后的順序來看數，學生比較容易回答。而原本的第2題層次感稍微深一些．特別是其中的第2幅圖．不僅要學生判斷出“幾”和相應的“第幾”，還要求學生學習從不同的角度，既可以從上至下，又可以從下至上地進行觀察與解答。這樣的答案不是惟一，難度也有所加深，與原本的第4題對調比較適宜。原本的第3題不僅使學生鞏固基數和序數的概念，豐富了學生的知識，還及時消除了思維定勢的影響．因此將此題放在第2題的后面比較恰當。最后的第5題，開放且綜合，層次最深，所以仍放在最后。

上述的調整，只是自己的一家之言，很不成熟，或許也不恰當。寫出來的目的只為讓同行與我一起探討，使自己的教學更好地適應學生的認知水平和能力，從而提高課堂教學的實效。

鐘面上與角有關的“追及”問題 王慶浩

鐘面上時針和分針各以均勻的速度轉動，兩針在轉動時，潛伏著一個“追及”問題，同時，時針和分針在追及中也形成了一些特殊的角。下面是兩道與角有關的鐘面問題：

1．從7時到8時，分針在與時針重疊前，何時兩針形成60°夾角?

2．從7時到8時，分針在與時針重疊后，何時兩針形成90°夾角？

通過審題，我們可以看出這兩道題的關鍵都與兩針重疊有關，那么，我們只要求出兩針何時重疊，就能找到解答這兩道題的突破口了。下面我們來討論兩針從7時始到何時重疊。

要求兩針重疊，其實就是求從7時始分針何時追上時針。“追及”應用題求時間的數量關系式是：路程÷速度差＝時間。已知分針走60個格，時針只走5個格，分針的速度是時針的60÷5=12(倍)，時針的速度是分針的1/12(倍)。因為每分鐘分針比時針多走1-1/12=11/12(格)。即兩針的速度差為11/12；又因為從7時始，分針和時針同時出發，此時兩針相距的路程為：5×7=35(格)。所以，當分針追上時針時，所用的時間為：35÷11/12=38×2/11(分)。故分針追上時針時，鐘面上的時間為7時38×2/11分。

兩針重疊的時間解決后，我們就可以討論以上兩個與角有關的鐘面問題了。

解1：鐘面以鐘的中心為圓心，一圈為360°，鐘面有12個數字把鐘面平均分成12等份，所以每2個數字間兩針夾角為360°÷12=30°；又因兩數字間有5個格，所以600夾角對應兩針的路程為10個格．90°夾角對應兩針的路程為15個格。

從7時始兩針同時出發，兩針因為速度不一樣，所以兩針路程逐漸縮小。從相距35個格縮短為10個格(即兩針形成60°夾角時的距離)。通過分析，此時分針所用的時間=分針走35個格所用的時間(兩針重疊時間)一分針走10個格所用的時間(兩針形成600夾角時的路程)，即35÷11/12-10÷11/12=(35-10)11/12=25÷11/12=27×3/11(分)。故兩針形成60°夾角時，鐘面時間為7時27×3/11分。

解2：通過對第一題解法的總結。我們發現兩針重疊后，兩針形成90°夾角，分針所用的時間就是分針走35個格的時間加上時針走15個格的時間(夾角90°對應的路程)的和。分針所用的時間為：(35+15)÷11/12=54×6/11(分)，故相遇后，當兩針形成90°夾角時，鐘面時間為7時54×6/11分。

總之，這類問題從表面上看，時針和分針都在不停地動，問題很復雜，但是通過分析后只要明白兩針的速度差是不變的．分針追時針的路程事先也是可知的。我們就能以不變應萬變，利用關系式求出答案。

你也想嘗試一下嗎?

例：4時30分到5時，分針與時針何時成一條直線(即兩針形成180°夾角)?

答案：注意不要用4時30分作為開始時間，這樣會增加計算的復雜性，可以把4時30分改為4時，這樣就能在不改變結果的前提下使計算更簡便。4時整兩針相距5×4=20(格)，180°角對應的路程為30個格，分針所用的時間為：(20+30)÷11/12=50÷11/12=54×6/11(分)，所以兩針成一條直線時，鐘面時間為4時54×6/11(分)。