一道值得研究的思考題

作為一名數(shù)學(xué)教師，總有美好的期待，希望能用數(shù)學(xué)內(nèi)在的魅力，深深地吸引學(xué)生去探索數(shù)學(xué)的奧秘，感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，從而投身于數(shù)學(xué)研究。今年四月份，全國著名特級教師劉德武老師在寧波推出最新的觀摩課——“衛(wèi)生紙的長度”。在課上劉老師用他精湛的教學(xué)技藝引導(dǎo)學(xué)生積極參與“做數(shù)學(xué)”的過程，探索衛(wèi)生紙的厚度、圈數(shù)，并解決衛(wèi)生紙的長度，他還特意花了二三分鐘時間用米尺測量出這卷衛(wèi)生紙的長度。最后，劉老師意味深長地問：“我們?yōu)槭裁匆谜还?jié)課的時間去探索只需二三分鐘就能解決的問題呢?而且得出的還是誤差很大的結(jié)果。”其中一位學(xué)生動情地說：“我認(rèn)為今天得到的結(jié)果并不重要，重要的是我們學(xué)會探究的方法，體驗到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值……這節(jié)課我認(rèn)為很有意義。”這一段精彩的對白在臺下聽課的老師中贏得了熱烈的掌聲，臺上、臺下產(chǎn)生了強(qiáng)烈的情感共鳴。

其實，數(shù)學(xué)的魅力就在于它具有誘人的美，而一道構(gòu)思精巧的習(xí)題會讓你回味無窮。劉德武老師的“衛(wèi)生紙的長度”這節(jié)課，使我回想起第六屆“華杯賽”復(fù)賽中一道耐人尋味的幾何題。這道幾何題原意是這樣的：

下圖是一卷緊緊纏繞在一起的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為8厘米的卷軸。已知紙的厚度為0．4厘米，試求這卷牛皮紙展開后大約有多長?(π=3．14)

當(dāng)時在數(shù)學(xué)活動課上向?qū)W生出示這道題目時，我預(yù)想得很簡單，按照一般的“演繹”思路“按部就班”地進(jìn)行講解：這卷紙共有(20-8)÷2÷0．4=15(圈)，設(shè)這卷紙的總長為C厘米，每圈的長度分別為C₁、C₂、C₃……C₁₅₀

C₁≈π×(8+O．4×2)

C₂≈π×(8+0．4×4)

C₁₅≈πx(8+O．4×30)

C≈π×[8×15+0．4×(2+4+6+……+30)]

=216π

=678．24(厘米)

算到這里，該題已經(jīng)解決了。沒有想到旁邊的一位學(xué)生提出異議：“老師，我覺得每圈牛皮紙的長度不應(yīng)該這樣算。我覺得……”他邊說邊拿起講臺上的粉筆在黑板上畫圈，即◎。他接著解釋道：“每圈牛皮紙展開后的長度應(yīng)比外圈的周長短，比內(nèi)圈的周長長一些，取中間這部分(指著虛線)的長度才合理呀。”真有見解!我不由得鼓掌表揚(yáng)他愛動腦筋，并接著問：“如果按你的想法，這道題該怎樣計算呢?”他自信地拿起粉筆在我原來的算式上改動起來。

C₁≈π×(8+0．4×1)

C₂≈π×(8+0．4×3)

……

C₁₅≈π×(8+O．4×29)

C≈π×[8×15+0．4×(1+3+5+……+29)]

=659．4(厘米)

“真聰明，每圈的直徑都少1個0．4厘米。”也許正是這位學(xué)生的大膽質(zhì)疑引起了其他學(xué)生的思考，教室里頓時鴉雀無聲。這時，另一位學(xué)生舉手發(fā)言：“老師．這樣做是否太麻煩?我認(rèn)為求15圈牛皮紙的總長度，不如先求出這15圈的平均長度，再乘以15。”我聽了不禁一愣。對呀!這15圈的長度其實就是等差數(shù)列，用中間數(shù)求和，是再方便不過了。

“你有什么高明的方法解決這15圈牛皮紙的平均數(shù)呢?”我反將他一軍。

他想了想說：“這卷牛皮紙共有15圈，第8圈的長度就是它們的平均數(shù)。”邊說邊神氣地在黑板上演算起來。

3．14×(8+O．4×15)＝43．96(厘米)

43．96×15=659．4(厘米)

厲害!我差點喊出聲來。此時，我真為我的學(xué)生感到驕傲。這道題就在我們師生互動中解決了。后來幾天，我也沒把這道題放在心上。一周過去了，上次第一次挑毛病的學(xué)生找到了我，悄悄地對我說：“老師，上次那道牛皮紙的題目，還有更簡便的方法。”我一下子被他吊起了胃口：“真的嗎?”他自信地點點頭，于是他拿出紙慢慢地畫了起來。他的大概意思就是將這卷紙全部展開后，它的正側(cè)面可以近似地看作一個長方形。這個長方形的長就是這卷牛皮紙的長度，寬就是牛皮紙的厚度，所以長方形的面積應(yīng)近似地等于原來這卷牛皮紙的側(cè)面積(圈環(huán)的面積)。

紙的長度＝長方形的面積／長方形的寬

≈紙卷側(cè)面積／紙的厚度

＝3.14×10²-3.14×4²／0.4

＝659.4(厘米)

一語激醒夢中人!本來看似一道普通的數(shù)學(xué)題目。經(jīng)過“化曲為直”的轉(zhuǎn)化后，變成一道求長方形長的題目，難度頓時化解，其道理與方法竟是如此的淺顯。此題將圈環(huán)轉(zhuǎn)化為近似長方形，這與課本中將圈環(huán)拉直為線段，將圓面割拼成近似長方形，將圓柱的側(cè)面展開成長方形的數(shù)學(xué)思想，竟有如此多的異曲同工之處。而這“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想正是我們探索曲線、曲面必備的數(shù)學(xué)思想與方法，我暗暗驚訝于學(xué)生豐富的想像力、敏銳的觀察力和大膽的創(chuàng)造力。接下來的好長一段時間，我陷入了沉思之中。

回顧探索這卷牛皮紙長度所經(jīng)歷的過程，覺得此時。獲得問題的結(jié)果對我們來說已不重要了，重要的是師生們在思維的碰撞中，不斷豐富內(nèi)心體驗。不斷積累數(shù)學(xué)感覺。作為一名數(shù)學(xué)教師，該拿什么奉獻(xiàn)給我們的學(xué)生?一道充滿靈性的數(shù)學(xué)題，不正如一把開啟智慧之門的鑰匙?讓我們的學(xué)生在探索數(shù)學(xué)問題中，不斷被數(shù)學(xué)的奧秘所吸引，不斷獲得成功的滿足和精神的愉悅。我想，這應(yīng)該是這道思考題留給我們的另外一個思考吧!