統一形式凸顯本質

柯西不等式結構整齊，是證明不等式和求函數最值的有力工具；柯西不等式形式多變，其代數、幾何、向量、概率等各種表現形式體現了數學各分支間的緊密聯系和內在溝通．高中新教材新增了向量、概率等高等數學內容，這使得柯西不等式煥發了新的生機和與活力，利用其向量和概率形式解題的研究論文如雨后春筍般涌現．本文試歸納總結這些表現形式，并由此思考在解題教學中如何有效利用柯西不等式這個解題工具和教學素材．

1柯西不等式的幾種表現形式

2對柯西不等式的思考

2．1關于各種形式的統一

代數型、向量型、概率型柯西不等式的證明方法均是構造二次函數、配方并利用判別式，由此可見這種方法乃是柯西不等式的本質證明方法，其他所謂證明只不過是幾種表現形式間的相互詮釋．例如，點到直線距離公式等幾何推論的證明，除了本文給出的利用代數型柯西不等式外，也可利用向量型柯西不等式②．證明方法的相同和所處理問題的相似(均是求最值問題的工具)，暗示了這四種表現形式之間的內在統一性．

2．2關于構建知識網絡

在知識網絡的交匯點處命題是近年來高考命題的指導思想，因此教師在平時教學和復習中巧妙設計問題，適時的將中學數學知識串聯起來，幫助學生構建知識網絡，就顯得十分的必要．由于柯西不等式的表現形式多樣，涵蓋了代數、幾何、向量、概率等眾多內容；因此，在教學中以柯西不等式為出發點設計問題，串聯三角、向量、復數、圓錐曲線等知識塊，以點帶面的將知識綜合化系統化，必能取得良好的教學效果．

由于柯西不等式問題涉及向量、概率等新增內容，因此，以柯西不等式的探究為橋梁，可以溝通新增內容與其他知識間的聯系，實現新、舊知識和思想方法的融合，促進新增內容的教學．

2．3關于一題多解

一題多解在解題教學中具有特殊的地位，適當的引導學生一題多解確實可以起到融會知識開拓思路的作用：然而，如果只是羅列多種解法，盲目的要求學生尋求“多解”，則會陡增學生負擔，浪費教學資源．^［３］很多中學數學雜志喜歡發表有關一題多解的文章，其中有些文章中，對同一問題常會羅列出“利用柯西不等式”、“利用點到直線距離”、“利用向量數量積性質”、“利用方差”等多種解法，而由上面的論述可知這些方法本質上是相同的；如果我們把握了問題的實質也就無須挖空心思的拼湊“多種解法”或“巧妙解法”，而是將主要精力放在通性通法的學習和掌握上，這無疑更有利于學生數學素質的培養．

當然，有時由于教學中的具體需要，也可以適時的介紹柯西不等式的各種表現形式．比如說為了增強學生對方差的概念和性質的理解和靈活運用，不妨介紹構造方差模型的方法；為了突出向量性質的重要性，不妨介紹一下利用數量積不等式的應用，如此等等．

2．4關于教師的自主學習

以前人們常說“要給學生一杯水，教師就應該有一桶水”，這句話屢遭批駁，但從某種角度上講總是有些道理的．教師作為教學活動的主導者，應該具有對教學活動的宏觀控制能力；對于具體數學問題，教師應善于居高臨下的加以把握：這就要求教師在大學專業學習的基礎上，不斷的自主學習，增強對數學教材和數學問題的整體理解和把握能力，柯西不等式問題就是個很適合教師自主學習研修的數學問題．內積空間和概率論是大學知識，“點到直線距離公式”等都是中學內容，而教師自主學習的目的就是聯系初、高等知識，尋求不同表現形式的統一形態，凸現數學問題的本質內核，從而能夠居高臨下的處理問題，使學生領會問題的實質及相應的數學思想方法．

參考文獻

1張禾瑞，郝钅丙新．高等代數^［M］．北京：高等教育出版社，1999

2林正炎，蘇中根．概率論^［M］．浙江大學出版社，2001

3任念兵．淺談解題教學中值得注意的幾個傾向性問題．數學教學通訊，2005（2）

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