基于高斯擬合的自適應多閾值分割算法

(信息工程大學 信息工程學院 ， 河南 鄭州 450002)

摘 要： 提出一種新的基于鄰域平均直方圖的快速高斯擬合函數參數估計的算法，對形態濾波后的鄰域平均直方圖進行峰谷檢出，對各峰區數據單獨進行截斷數據統計分析確定擬合參數，較好地避免了多峰交疊所帶來的干擾，從而實現了復雜圖像的自適應多閾值分割。實驗表明，該算法能有效提高擬合精度和分割的魯棒性。

關鍵詞： 圖像分割； 鄰域平均； 高斯擬合； 參數估計

中圖法分類號： TP391文獻標識碼： A

文章編號： 1001 3695(2006)08 0162 02

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Adaptive Multi method Segmentation Algorithm Based on Gaussian Fitting

LI Lei， PING Xi jian， TONG Li

（Institute of Information Engineering， University of Information Engineering， Zhengzhou Henan 450002， China）

Abstract: To alleviate these undesirable disturbance between peaks， and fit multi peak feature of histogram more accurately， a new and fast estimation algorithm of Gaussian fitting functions’parameters based on local average histogram is introduced in this paper. After morphology filtering， peak and valley are detected in the his togram. Statistical theory for truncated data ana lysis are applied to estimate the parameters of fitting function of each peak area， and get optimum thresholds. Experimental results show that this algorithm can be automatically and effectively applied for the multi threshold segmentation.

Key words: Image Segmentation； Local Average； Gaussian Fitting； Parameter Estimation

閾值法圖像分割的關鍵和難點在于如何取得合適的閾值。近年來，國內外研究人員對這一課題已進行了廣泛深入的研究并提出了多種選取閾值的方法，如直方圖閾值、類間方差閾值、最大熵閾值、最小誤差閾值、模糊閾值等。這些基于單閾值化分割的方法推廣到多閾值的圖像分割中時，需要尋求最佳的多個閾值，傳統的算法是用窮盡的搜索方法來尋求最優解，使計算量急劇增加，從而限制了其使用[1]。

直方圖高斯擬合法優化閾值是圖像多閾值分割中最常用的方法之一。一般具有復雜目標或背景的圖像，其直方圖通常是多峰的。為了能對這種復雜圖像進行順利分割，通過將其直方圖看作多個高斯分布的疊加，其分解，較好地擬合了直方圖的多峰特性，從而得到更為準確的分割效果。

Nakagawa和Rosenfeld根據最小均方誤差準則來擬合高斯模型，使用登山搜尋法求高斯模型參數，其過程復雜、計算耗時。Kitler和Illingworth根據高斯模型設計了一個判別函數，變換閾值使得這個判別函數達到最優，避免了直接求取高斯模型的參數，提高了運算速度，還可以推廣到多高斯模型。盡管它利用遞歸算法減小了運算量，但是多閾值分割和單閾值分割的計算復雜度還是存在數量級上的差別[2]。傅弘[3]引入自適應旋轉投影分解理論，利用直方圖和高斯函數的最大內積來獲得高斯函數的參數。該方法在速度上與Nakagawa的方法相比占有很大的優勢，而且單閾值分割與多閾值分割的計算時間差別很小。但是該方法是基于每次分解的直方圖中只有一個高斯函數的假設，初始值的設定對擬合參數影響較大。由于該算法是尋求最大內積的，當峰間比例較大時，易出現過分割或欠分割現象。

針對以上問題，本文提出了一種新的自動多閾值分割方法。它具有以下特點：①采用了基于二維灰度直方圖的最佳一維投影代替傳統方法所使用的一維直方圖。這種投影既具有二維直方圖的分割精度，又有一維直方圖的分割速度，因而大大提高了圖像分割的性能。②本方法充分利用了統計直方圖的峰谷特性，自動確定分割類數，并對各峰區的截斷樣本分布數據進行深入分析。利用部分樣本點的最小偏度所對應的灰度值作為估計均值，利用各樣本點與估計均值之比得到估計方差樣本，取其截尾均值作為估計方差，消除了噪聲的影響，避免了目標數據間的數據干擾，使擬合值更加精確，從而最終得到最佳分割閾值。與文獻[3]的方法相比，它提高了分割算法的自適應性和分割結果的魯棒性。

1 基本原理及算法描述

1.1 鄰域均值灰度直方圖和形態濾波

傳統的圖像閾值化方法大都根據一維灰度直方圖進行閾值分割。但是由于一維灰度直方圖不能反映圖像的局部空間信息，使得依賴于直方圖的分割方法難以得到令人滿意的效果，當圖像的信噪比遞減時，傳統方法將產生很多分割錯誤。圖像的二維灰度直方圖可以綜合反映灰度分布信息和鄰域空間相關信息，因此利用二維灰度直方圖方法的效果明顯優于傳統方法，但這些方法都是簡單地將一維尋優推廣為二維尋優，導致運算量按指數級增長，難以實用。

文獻[4]利用Fisher線性判別準則函數，求解二維灰度直方圖在組間方差和組內方差之比達到最大意義下的最佳投影，并推導證明了在聚類分布接近二維正態分布的情況下，鄰域平均灰度直方圖能夠更好地分開不同的聚類，其噪聲抑制能力起主要作用。對鄰域平均灰度直方圖進行閾值分割，可以達到二維分割的精度和一維尋優的速度。

設一幅 M×N 的數字圖像表示為一個二維灰度函數 f(x，y)，則(x，y) 點的局部灰度平均值 g(x，y) 為

為了消除鄰域均值直方圖的毛刺噪聲，并同時保持直方圖的峰谷特性，我們運用數學形態學理論對直方圖進行平滑操作。基于集合論的數學形態學是分析幾何形狀和結構的數學方法，可用于信號和圖像的非線性處理，具有快速、穩健和精確的特性[5]。形態學源于填充的概念，而灰值形態學處理的對象是信號波形的拓撲特性。對統計直方圖進行一維形態濾波不僅可以保持峰谷特性，同時也可消除小的毛刺噪聲，平滑直方圖。

本文采用[1 1 △1]的結構元素，對直方圖進行開、閉形態濾波。灰值開運算可以消除直方圖的毛刺即偽峰點，灰值閉運算則可以消除直方圖數據中的偽谷點，以便進行下一步的峰谷檢出，確定分割目標數。

1.2 峰谷檢出確定分割目標

我們所關心的目標或背景區域在本文的統計直方圖上表現為交疊或獨立的峰區，所以檢測直方圖中的峰谷數即可以確定待分割的目標數，從而實現自適應多閾值分割。如果圖像中目標或背景區域在統計直方圖上重疊為一個峰，則該圖像通過灰度直方圖獲取全局閾值來進行分割的方法，都很難達到滿意的效果，自然本文算法也不適用，所以該類圖像不在本文考慮范圍之列。

對于離散數據H(k)，(k=0，1，…，L-1)， 計算直方圖的一階差分 H′(k)=H(k+1) H(k)。 

我們計算 H′(k) 的過零點，由正到負為峰點，由負到正為谷點。定義相鄰谷點間的區域為一個峰區。分離出直方圖的各個峰區進行單獨分析、計算和擬合，從而避免了其他峰區的干擾使擬合數據更精確。

1.3 擬合參數估計和多分割閾值選取

為了避免目標（或背景）數據間的相互干擾，使擬合參數估計更準確，本文對截斷樣本分布數據進行深入分析，充分利用了樣本數據的統計特征來進行參數估計。在數理統計中，偏度是衡量樣本數據相對于樣本均值的對稱性度量。分布的偏度定義為

正態分布（或任何嚴格對稱分布）的偏度為0。若樣本數據的偏度為負時，數據均值左側的離散性比右側的強；若偏度為正時，數據均值右側的離散性比左側的強。

計算峰區中以各灰度級為中心的樣本偏度，取其絕對值最小的偏度所對應的灰度級作為該峰區的均值估計 μ_i ，從而保證其分布的對稱性最佳。

2 實驗數據分析

圖1(a)是一幅具有多目標的自然圖像，圖1(b)是運用本文算法得到的多閾值圖像分割結果。圖1(c)～圖1(e)顯示了本算法流程。由圖1(e)可以看出擬合后的曲線不僅有效地反映了原直方圖的基本走向，而且消除了噪聲和過渡灰度的影響；由圖1(b)的分割結果也可以看出成功分割出了背景，不同顏色灰度的氣球以及手臂等區域部分。

圖1(f)顯示了基于投影分解算法的直方圖擬合分量，人工設定擬合分量數為6，設定方差初值為σ₁=2，σ₂=6，可以看到該基于尋找最大內積的擬合算法在峰間比例相差較大時失效，即算法已開始擬合大峰的擬合殘項，而具有明顯實際意義的獨立小峰還沒有得到擬合估計。所以無論擬合分量數設置為多少，分割結果不是欠分割就是過分割，總之在這種情況下該算法無法達到理想的分割效果。

3 結論

實驗結果表明，本文提出的新的基于高斯擬合的自動多閾值分割方法，能夠自適應確定圖像閾值分割類數，通過統計分析峰區的截斷數據而不是利用全局數據來估計擬合參數，從而減少了噪聲和類間交疊所引起的串擾，提高了擬合精度和分割的魯棒性。

參考文獻：

[1] M Sezgin， B Sankur.Survey over Image Thresholding Techniques and Quantitative Performance Evaluation[J]. Journal of Electronic Imaging， 2004，13(1):146-165.

[2] J S Lee， M C K.Yang. Threshold Selection Using Estimates from Truncated Normal Distribution[J].IEEE Trans. Systems Man. and Cybernet，1989，19(2): 422-429.

[3] 傅弘，閻鴻森，齊春.基于自適應定向正交投影分解的圖像分割方法[J].中國圖像圖形學報，2003，8(3):286-290.

[4] 龔堅，李立源，陳維南.基于二維灰度直方圖Fisher線性分割的圖像分割方法[J].模式識別與人工智能， 1997， 10(1):1-8.

[5] Haralick R M， Stemberg S R，Zhuang X.Image Analysis Using Mathematical Morphology[J].IEEE Trans.Comput.，1987，9(3):532-550.

作者簡介：李磊 (1981 )，男，碩士研究生，主要研究方向為圖像處理、模式識別；平西建(1953 )，男，教授、博導，碩士，主要研究方向為圖像處理、計算機視覺、信息隱藏等；童莉(1978 )，女，博士研究生，主要研究方向為圖像處理、模式識別等。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。