基于最大熵的光學層析圖像重建

(1.曲阜師范大學 計算機科學學院， 山東 日照 276826； 2.蘇州大學 計算機科學與技術學院， 江蘇 蘇州 215006)

摘 要：基于最大熵的光學層析圖像的正則化重建方法是將圖像重建問題轉化為對目標函數的優化問題，進而用基于梯度的迭代圖像重建方法實現對目標函數的求解。針對此優化問題，給出了一個具體的梯度求解方法。實驗證明，該方法能夠降低光學層析圖像重建的病態性，提高圖像重建質量。

關鍵詞： 光學層析成像; 迎風差分離散坐標方法; 聯合差分方法

中圖法分類號： TP445.9; TP391文獻標識碼： A

文章編號： 1001 3695(2006)08 0157 02

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Reconstruction for Optical Tomography Based on Maximum Entropy

SI Guang tao 1，2， CAO Bao xiang1， MENG Jing2

( 1.College of Computer Science，Qufu Normal University， RizhaoShandong 276826， China; 2.College of Computer Science Technology， Suzhou University， Suzhou Jiangsu 215006， China)

Abstract: A regularized reconstruction algorithm for Opitical Tomography (OT) based on Maximum Entropy(ME)is propused.In this algorithm， the reconstruction problem is considered as an optimization problem that can be solved by the Gradient based Image Iterative Reconstruction (GIIR) scheme. A gradient calculation strategy is proposed for solving the aforementioned optimization problem. Experimental results show that the algorithm proposed in this papercan decrease the ill poseness in OT reconstruction， and improve the reconstruction quality.

Key words: Optical Tomography(OT); Upwind difference Discrete ordinates Method; Adjoint Differentiation Scheme

光學層析（Optical Tomography， OT）圖像重建是對組織內部光學參數（吸收系數和散射系數）的重建。近年來，光學層析成像技術在醫學成像領域受到了廣泛的關注，主要原因在于：與其他成像技術(如CT，MRI)相比，OT成像對人體無損傷，可用于對人體組織進行長期觀測。當前，大多數的重建方法都是基于傳輸方程的近似形式——擴散方程的重建[1，2]，然而，當散射系數不遠大于吸收系數或兩者都較小時，基于擴散方程的重建會失敗。因此，有必要實現直接基于傳輸方程的重建。傳輸反傳輸方法[3]和聯合差分方法[4]是基于輻射傳輸方程OT重建的主要方法。另外，OT重建問題是一個不適定的病態問題，測量數據中的誤差會在重建過程中被放大，所以，合適的正則化項的選擇對于重建結果非常關鍵。針對上述問題，本文給出了一種以圖像熵為正則化項的基于輻射傳輸方程的OT正則化重建方法，以圖像熵為正則化項，基于最大熵的光學層析圖像的正則化重建是本文的重點。實驗表明，該方法可以提高圖像的重建質量，加快收斂速度。

1 前向計算

光子在散射介質中的傳播可以描述為與時間無關的輻射傳輸方程：

其中，ψ(r，ω )是在空間 r 位置處方向角為ω時的輻射；S(r，ω)是光源的強度；p(ω，ω′) 稱為散射相函數，表征角度的散射分布；μa和μs 分別為吸收系數和散射系數。式（1）可用有限差分和有限元方法求解，文中采用的是迎風差分、離散坐標法。下面首先引入該方法用到的數學符號和含義：設圖像為 A ，將圖像所在區域離散化，設在 X 軸的網格點數為I，網格點間距為Δx ，在Y軸的網格點數為J ，網格點間距為Δy ，離散方向為ω_k(k=1，2，…，K)共K 個方向，其在 X方向和Y 方向的分量用 ξ k和η k 表示， ξ_k =cos (ω_k)，η_k =sin (ω_k)。ψ_k，i，j表示在網格點(i，j)處方向為k 時的角輻射率。求解過程中角度ω被分為四種情況：

詳細的推導過程見參考文獻[5]。

2 OT的正則化重建

OT重建問題可以轉化為優化問題求解，關鍵在于目標函數的定義和梯度的計算。

2.1 目標函數

給定初始光學參數分布，由前向計算可得到一系列的預測值，預測值與測量值之間的差別是OT重建目標函數中的關鍵部分，它可用數學公式表述為

其中， μ為介質中的光學參數矢量，P_i(μ)是預測數據中的第i個元素，M_i是實際測量數據中的第i個元素。

由于OT重建問題是一個不適定的病態問題，測量噪聲會在重建結果中放大，因此，我們必須在目標函數中加入圖像的先驗信息抑制噪聲。圖像熵函數是對圖像平滑性的測量，已廣泛用于信號處理中，顯示了良好的效果。本文將圖像熵引入到OT重建中，作為目標函數的第二項，數學表達式如下：

3 實驗結果及討論

試驗模型為21×21的正方形網格，網格間距為0.1cm；光源放在每條邊的中間位置，對應每個光源在其余三條邊（除去光源所在邊）的第2～20個網格點上放置探測器，探測器間的間距為0.1cm，這樣總共構成了4×3×19個探測器對。圖1給出光源在底邊時的重建模型，箭頭表示光源位置，小黑色矩形表示探測器的位置。

模型光學參數設置：背景散射系數為1.0cm^-1；右下角白色區域為高散射區，散射系數為1.2cm^-1；左上角黑色區域為低散射區，散射系數為0.8cm^-1。本實驗是針對散射系數的重建，整個模型吸收系數保持不變均為0.01cm^-1。

為了驗證本文提出的方法對噪聲的有效性，一個信噪比為10dB的泊松噪聲被加入到測量數據 中，實驗結果如圖2所示。圖2(a)是采用非正則化重建方法經過30次迭代后的重建結果;圖2(b)是采用正則化重建方法經過30次迭代后的重建結果( τ =5e 4)。

為了對實驗結果做進一步分析，下面引入一個衡量圖像重建質量的量：歸一化根平均平方（Normalized Root Mean Square， NRMS）誤差，其定義為

從表1可以看出，正則化參數 τ 的取值對圖像重建結果非常關鍵，如果 τ 取值太小（如1e 4），則幾乎不能提高圖像的重建質量； 相反，如果 τ 取值太大（如1e 3），則會降低圖像重建質量。目前，還沒有確定性的計算正則化參數的方法，本文采用的是試探法。

4 總結

本文實現了基于最大熵光學層析圖像的正則化重建，并給出了一種具體的梯度計算方法。實驗結果表明：該重建方法能進一步提高圖像的重建質量，加快收斂速度，降低OT重建的病態性。在正則化重建的框架下，可以得到更加精確平滑的實驗結果，但同時感興趣區域與背景區域間的邊緣被模糊化了。在今后的工作中，我們將對重建方法做進一步研究，使重建結果在保證整體平滑的同時，保留清晰的邊緣。

參考文獻：

[1] Jae Hoon Lee， Seunghwan Kim，Tae Kim. Finite Element Method for Diffuse Light Propagation in Index mismatched Media[J]. Optics Express， 2004，12 (8): 1727-1740.

[2] Hamid Dehghani， Ben Brooksby，Karthik Vishwanath. The Effects of Internal Refractive Index Variation in Near infared Optical Tomography：A Finite Element Modeling Approach[J]. Physics in Medicine and Biology，2003，48(16):2713-2727.

[3] Dorn O A.Transport backtransport Method for Optical Tomography[J]. Inverse Problems， 1998， 14(5): 1107-1130.

[4] Alexander D Klose，Andreas H Hielscher. Optical Tomography Using the Time independent Equation of Radiative Transfer，Part 2:Inverse Model[J]. Journal of Quantiative Spectroscopy and Radiative Transfer， 2002， 72(5): 715-732.

[5] Alexander D Klose， Uwe Netz， Jürgen Beuthan. Optical Tomography Using the Time independent Equation of Radiative Transfer，Part 1:Forward Model[J]. Journal of Quantiative Spectroscopy and Radiative Transfer， 2002，72(5):691-713.

作者簡介：司廣濤(1977 )， 男，山東曲阜人，碩士研究生，主要研究方向為醫學成像、圖像處理；曹寶香(1956 )，男，山東曲阜人，教授，碩士，主要研究方向為圖像處理；孟靜(1977 )，女，山東曲阜人，博士研究生，主要研究方向為醫學成像、圖像處理。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。