代數重建法中的一種快速投影系數計算方法

摘要：提出了一種快速投影系數計算方法。該方法只需通過簡單的增量運算，即可確定射線穿過的網格編號并計算相交長度。實驗結果表明該方法非常有效，與Siddon算法相比，重建速度提高了六倍多。

關鍵詞：代數重建法;圖像重建；投影系數；Siddon算法

中圖分類號：TP391．75文獻標志碼：A

文章編號：1001－3695(2007)05－0038－03

0引言

CT(Computerized Tomography)技術是核物理、核電子學、精密機械和計算機科學相結合的產物。代數重建法(ART)是一種經典的CT重建算法，適合于不完全投影數據的圖像重建，抗噪聲干擾能力強；另外可以結合一些先驗知識進行求解[1～3]。該算法最大的缺點是計算量大、重建速度慢，從而影響了其應用。眾多學者從不同的角度提出了提高ART重建速度的方法，包括投影數據的訪問方式[4]、松弛因子的選擇[5]和并行計算[6]等。這些方法在一定程度上提高了重建速度，但都沒有從根本上解決重建速度慢的問題。

筆者通過大量的實驗發現投影系數的計算占整個重建時間的90%以上，成為制約ART重建速度的瓶頸。Siddon注意到了這個問題，并于1985年提出了著名的Siddon 算法[7]。該算法能夠有效地計算出投影系數以及對應的網格編號，但合并數組和計算網格編號仍消耗大量時間，所以效果不是很理想。

理論上投影系數可以根據像素布置與射線的幾何結構事先計算出來，但存儲和檢索都很困難。假設有360個投影，每個投影512條射線，重建圖像為512×512，則投影系數矩陣為184 320×262 144矩陣，每個元素按Double型數據存儲，需360 GB內存空間。倘若存在硬盤上，則檢索投影系數的時間耗費更是無法忍受。因此必須設計一種快速、實時的投影系數計算方法，同時解決投影系數的存儲和檢索問題。

1ART算法的原理

2快速投影系數計算

如圖1所示，重建區域是一個邊長為n個網格的正方形區域，中心在平面坐標原點，網格總數N= n2，對網格從左向右、從上到下按順序進行編號，像素寬為δ。由于重建對象通常處于以原點為中心，以R=n×δ/2為半徑的圓域中，圓外的像素對射線沒有貢獻。將重建區域限定在半徑為R的內切圓中，即只考慮射線與圓域相交像素的重建，這樣處理可以節省近22%的重建時間。

2．1投影系數的存儲和檢索

由前面的討論得知，投影系數矩陣R是一個超大型稀疏矩陣，非零元素只占總元素極小的一部分，所以只需存儲R中非零元素即可。又因為R中的元素使用頻繁，故還需要設計查找方法，以提高查找效率。

考慮到ART算法是射線驅動的，每次迭代只用到一條射線信息，而與一條射線相交的網格總數不超過2n個，因此開辟兩個大小為2n的一維數組{u}和{v}，分別記錄射線穿過的網格編號和相交長度，即射線穿過網格u[i]對應的長度為v[i]。經過一次迭代后，再計算并存放下一條射線的信息于此內存中，直到所有的操作結束。由于這種方法只考慮一條射線相交的情況，節省了大量的內存空間，檢索也很迅速，大大提高了重建效率。

2．2投影系數的計算

3實驗結果及分析

使用Visual C++ 6.0作為開發工具，測試計算機配置為P4 2.4GHz、256MB DDR內存，重建模型為通用的Shepp－Logan頭模型[8]。該模型由一系列位置、大小、方向、密度各異的橢圓組成，象征一個腦斷層圖像。

4結束語

在代數重建法中，投影系數的計算占用了絕大部分重建時間，嚴重影響了該算法的應用。本文的快速投影系數計算方法很好地解決了投影系數的計算、存儲和檢索問題，計算方法簡單；同時由于采用了增量計算，提高了運算效率。與Siddon算法相比，重建速度提高了六倍多。由于代數重建法特別適用于三維錐束重建，下一步將研究三維情況下的快速投影系數計算，這對于實現代數重建法的快速三維重建將具有重要的意義。

參考文獻：

［1］KAK A，SLANEY M. Principles of computerized tomographic imaging [M]. New York: IEEE Press， 1988.

［2］莊天戈. CT原理與算法[M].上海:上海交通大學出版社，1992.

［3］MULLER K. Fast and accurate three－dimensional reconstruction from cone－beam projection data using algebraic methods [D]. [S.l.]:Ohio State University， 1998:32－43.

［4］GUAN H，GORDON R.A projection access order for speedy convergence of ART:a multilevel scheme for computed tomography [J].Physics in Medicine and Biology，1994，39(11):2005－2022.

［5］HERMAN G，MEYER L.Algebraic reconstruction can be made computationally efficient [J].IEEE Trans.Med.Img.，1993，12(3):600－609.

［6］蔣廣勝，魏彩屏.并行ART算法在曙光一號上的設計與實現[J]. 計算機研究與發展， 1996，33(6): 450－452.［7］SIDDON R. Fast calculation of the exact radiological path for three－dimensional CT array [J]. Med.Phys.，1985，12(2):252－255.

［8］SHEPP L，LOGAN B.The fourier reconstruction of a head section [J].IEEE Trans.Nucl.Sci.，1974，21(1):21－43.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”