曲面品質分析方法研究
2007-01-01 00:00:00紀小剛龔光容
計算機應用研究 2007年3期
摘 要：在對目前所有的曲面品質分析方法進行分類的基礎上，詳細介紹了各種方法的思路、原理和計算過程，并分析了基于一階微分曲線的分析方法之間的內在聯系。最后，通過實例對最常用的反射線法、等照度線法和高亮線法的曲面品質分析過程進行了詳細闡述，這些方法證明能對曲面品質進行有效的分析。
關鍵詞：曲面品質分析； 反射線法； 等照度線法； 高亮線法； 逆向工程； 計算機圖形學
中圖分類號：TP391.41文獻標志碼：A
文章編號：1001—3695(2007)03—0085—04
隨著計算機技術、測量技術的飛速發展和廣泛應用，逆向工程技術在制造業中占據了越來越重要的地位。隨著應用的逐步深入，人們對逆向工程的質量和精度提出了更為苛刻的要求。人們總是希望重構的CAD模型更為光滑，看上去更為順眼，即曲面本身是光順的、保凸的，曲面之間的連接是連續的，曲面中不存在局部平面和局部波動，沒有拐點、臍點和平點等。然而曲面檢查是一個非常帶有主觀色彩的過程，很難用量化的方法進行檢查，一般是通過顯示終端由用戶自己評判。由于終端分辨率的局限性以及用戶經驗的限制，很難直接對所重構的曲面進行科學的檢查和評判。相繼出現了很多曲面品質檢查的直接及間接方法。
1 曲面品質分析方法分類
對曲面品質的檢查，一般通過曲面上滿足某種條件的曲線來間接反映。根據曲線的計算與曲面法向矢量的關系，可以對曲面品質分析方法進行如下分類。
1.1 零階微分曲線
零階微分曲線與曲面的法向矢量無關，只能直接反映曲面的表面問題，一般只作為輔助的檢查手段。常用的方法有截交輪廓線法和等參數曲線法等。
1.2 一階微分曲線
一階微分曲線由曲面的兩個一階偏微分求出，而曲面的法向矢量也由這兩個一階偏微分求出。因此，一階微分曲線能夠揭示曲面中暗藏的法向缺陷。這種方法通常也稱為光照模型法，如反射線法、等照度線法、高亮線法、等傾線法和剪影輪廓線法等。
1.3 二階微分曲線
二階微分曲線可直接反映曲面的曲率缺陷。常用的方法有焦點曲面法、等曲率線法、曲率曲線法、曲率方圖法和曲率編碼投影法等。這里的曲率包括高斯曲率、平均曲率和主曲率等。
1.4 線性變換模型
除了以上三類方法外，還可以通過基于幾何含義的線性變換來反映曲面的缺陷。常用的方法有極曲面法和k階規范曲面法等。
2 曲面品質分析方法介紹
2.1 截交輪廓線法
截交輪廓線是一組等間距平行平面與曲面的截交線，由一系列的平面曲線構成，如果輪廓線變化均勻，則可以認為曲面品質良好。輪廓線適用于檢查曲面的特征形狀，如脊、谷、極大值和極小值等。極大值和極小值一般由封閉的輪廓圓環包圍，但輪廓線只能區分C0連續的曲面。
2.2 一階微分曲線
2.2.1 反射線類
反射線法是出現最早、應用最為成熟的一種曲面分析方法，由Klass R和Kaufmann E分別于1984年和1988年提出。在汽車制造行業，轎車車身的曲面品質檢查是通過一組放置于屋頂的平行光源在車身上的反射光的扭曲來評判曲面品質優劣的，反射線法的靈感正是來源于此，是對汽車車身曲面品質分析的計算機仿真。
通常，反射線用來檢查曲面上的細微缺陷，它可以通過反射線的不規則扭曲得到具體的反映；同時它也可以用于檢查曲面的連續性，反射線的連續性比對應的曲面的連續性降低一階。如果曲面是Cr連續的，則反射線Cr-1連續。
與反射條紋類似，Gershon E對反射光線作了新的限制，提出了反射圓法。具體算法如下：符號定義如圖1(b)所示，給定一點Ps，以Ps為圓心畫一圓，若反射光線與圓相切，則反射點P是反射圓上的一點，P的軌跡構成一反射圓曲線。反射光線R與圓相切，實質上就是要保證反射光線R與PPs構成的角α相等，即〈R， Ps-P〉=cos α=Const。取不同的圓直徑，即取不同的α，可以生成一系列的反射圓。反射圓法也可用于連續性的檢查，功能與反射線法類似，但效率沒有反射線法高。
2.2.2 等照度線法
等照度線法是Poeschl T于1984年首次提出的。所謂等照度線，就是曲面上具有相同光照度的點所形成的曲線。如圖2所示，入射光為一組平行的光源，平行光線的方向矢量為l，參數曲面S(u，v)， n(u，v)為平行光線與曲面S(u，v)交點P處的法向矢量。如果用平行光線的方向矢量與對應法向矢量的夾角來標定光照度的話，等照度線上的點P滿足〈 l， n(u，v)〉=cos α=Const，等照度線為所有點P的軌跡。取不同的α值可以建立一系列的等照度線。
等照度線可以用于曲面的連續性來檢查。與反射線法一樣，如果曲面是Cr連續的，則等照度線Cr-1連續。由于平行光線的方向矢量l是固定的，因此等照度線不受視點的影響，是對反射線法的一種改進。應該看到，如果曲面是一個平面，則n(u，v)將固定不變，從而導致平面上的所有點都成為交點，等照度線失去唯一性，因此，等照度線不適用于平面或幾乎是平面的情況。
2.2.3 lv曲線法
曲線是Lang J于1988年首次提出的，它取決于光源射線方向矢量l和視角方向矢量v。在定義域u，v∈[0，1]內定義一個函數
由于lv曲線僅依賴于方向矢量n和曲面的一階偏微分，lv曲線法可用于曲面連續性的檢查，如果曲面是Cr連續的，則lv曲線Cr-1連續。
研究發現，當v≡n，l=Const時，lv曲線退化成等照度曲線。
2.2.4 高亮線類
反射線法雖然得到了廣泛的應用，但是其受視點的影響，使得反射線法的效果在很大程度上取決于視角的選擇和檢查人員的經驗水平。1994年，Beier K P和Chen等人對反射線進行了簡化，取消了視點，提出了一種新的曲面檢查方法，即高亮線法。簡化原理如下：如果取圖1(a)中〈n， R′〉=〈n， v〉=1，即入射線、反射線和法向量重合，則反射線簡化為高亮線。其實質就是使得通過高亮線的法線直線與平行光線的垂直距離等于零。如圖4所示，參數曲面S(u，v)上點P處的法向矢量為n(u，v)，平行光線為Li(t)=Ai+Bt，過點P的法向直線為E(t)=P+n(u，v)t。根據微分幾何學，兩直線之間的垂直距離可表示為
根據高亮線的定義，取d=0，則對于確定的Li(t)和S(u，v)，可以解得一系列的點P組成高亮線，不同的Ai可以確定一系列的高亮線。
高亮線可以通過計算等高線獲得，具有較快的計算速度，是一種有效的、適用于實時品質檢查的方法，它可用于檢查曲面的連續性和凹凸性。與反射線法和等照度線法一樣，如果曲面是Cr連續的，則高亮線Cr-1連續。
事實上，實際光源均具有一定的寬度，相應的反射線也應該存在一定的寬度，一般稱這種有寬度的高亮線為高亮帶。設光源半徑為r，所有滿足式d≤r的高亮點構成高亮帶。高亮帶法不僅繼承了高亮線法的所有優點，而且還可以根據帶寬的變化來反映曲面的局部細微波動，是目前廣泛采用的曲面品質分析方法之一。
2.2.5 等傾線法
Gershon E于2001年提出了等傾線法，原理與等照度線法類似。如圖5所示，設v為一固定的視角方向，對于給定的參數曲面S(u，v)，其上一點P(u，v)處的法向矢量為n(u，v)，若〈n(u，v)， v〉=cos θ=Const，則稱滿足該條件的點P(u，v)的軌跡為等傾線，取不同的θ，可以確定一系列的等傾曲線。由于v固定，點P繞v選取，因此，完整的等傾線是一條封閉曲線。與等照度線法相似，等傾線法可用于曲面的連續性檢查，但同樣也不適用于平面或幾乎是平面的情況。
若法向矢量與固定的視角方向垂直，即θ=90°時，一般稱此時的等傾線為剪影輪廓線。
基于一階微分曲線的各種方法均是通過曲面的兩個偏微分以及視點、光源之間的關系來確定的，它們之間有著內在的聯系，圖6給出了這些關系。
基于一階微分曲線的各種方法均是通過曲面的兩個偏微分以及視點、光源之間的關系來確定的，它們之間有著內在的聯系，圖6給出了這些關系。
2.3 二階微分曲線
2.3.1 焦點曲面法
焦點曲面的思想來源于微分幾何，它是焦點曲面在曲面品質檢查中的具體應用。焦點曲面法最早由Hagen H于1992年提出。首先介紹焦點曲面的概念。給定參數曲面S(u，v)，一條單位矢量為z(u，v)的直線與曲面相交于點P(u，v)，則焦點F(u，v，ω)定義為
δ為比例因子，用于對焦點曲面進行等比例縮放，以便于對感興趣的區域進行詳細而有效的檢查。從公式可以看出，焦點曲面實質上是對曲面的基于不同曲率的偏置，焦點曲面與被檢查曲面對于法向矢量n是一一對應的。不同的f可以檢查不同的曲率特征。
2.3.2 等值線
等值線是曲面上某種特征值相等的點的集合。最常用的是等曲率線，即曲面上某種曲率相等的點連成的曲線，所采用的曲率有高斯曲率、平均曲率和主曲率等。下面給出等曲率線的具體算法，對于給定的參數曲面S(u，v)，對應的某種曲率k是曲面的固有特性，由曲面唯一確定，取k(u，v)= k(S(u，v))，用它可以定義曲面
計算該曲面與一組平行平面W的交線，所得交線即為參數空間的等曲率線。等曲率線的條數由平行平面的個數確定，將參數空間的等曲率線映射到曲面S(u，v)上即得等曲率線。
等曲率線的計算非常耗時，一般采用簡化算法。等曲率線可用于曲面的連續性檢查，若曲面是Cr連續的，則等曲率線Cr-2連續。
2.3.3 曲率映射
曲率映射法是曲面曲率在被檢查曲面上的反映，由Barnhill R E等人于1988年提出。常用的曲率映射方法有兩種，即基于顏色編碼的映射和基于亮度編碼的映射，不同的顏色值和亮度對應于不同的曲率值。根據顏色和亮度的規則變化判定曲面的凹凸變化，也可通過特定的編碼方式識別曲面中的各類二次曲面。
2.3.4 曲率方圖
通過反映自由曲面的曲率值檢查自由曲面的品質也是一種有效的方法。在待測方向給定一個平面與自由曲面相交，獲得一條平面曲線，以曲線的弧長為橫坐標，相應點的曲率為縱坐標所形成的圖稱為曲率方圖。該方法特別適用于不規則波動方向已知的情況。
2.4 線性變換模型
2.4.1 極曲面法
極曲面法是Hoschek J于1984年提出的。假設參數曲面及其切平面均不通過原點，而是通過線性變換，曲面上的點P被映射到了極平面上，根據Hoschek J的論述，有
零高斯曲率常引起曲面的局部波動，極曲面可以很好地反映出相應點處的尖齒狀、楔形和邊角等缺陷，因此極曲面可以檢查這樣的壞點(域)。
2.4.2 k階規范曲面法
k階規范曲面是Hoschek J和Hagen H分別于1985年和1992年提出的。給定一參數曲面S(u，v)，點G不在曲面S及其任一切平面上，點G關于一系列切平面的鏡像構成一曲面，稱為曲面S關于點G的k階規范曲面。其參數形式為
其中，n(u，v)為曲面S的單位法向矢量，k為階數。與極曲面一樣，規范曲面可用于檢查零高斯曲率點，當高斯曲率消失或改變符號時，規范曲面將出現自交等異常情況。
3 實例分析
在實際工業應用中，曲面品質分析最常用的是基于一階微分曲線的分析方法。為此，本文將通過實例，分析該類方法中反射線法、等照度線法以及高亮線法對曲面品質分析的效果。
圖7(a)是反射線法對一連接曲面進行檢查的效果圖。從圖中可以看到，曲面的左半部分反射線非常彎曲，是一個曲率比較大的曲面；而右半部分的反射線比較直，是一個接近平面的曲面；兩部分反射線不僅間距不同，而且不連續，因此可以斷定，曲面的左右兩部分僅C0連續；反射線波動平穩，因此曲面本身的波動性不大。
圖7(b)是等照度法對一連接曲面進行檢查的效果圖。從圖中可以看到，曲面左右兩部分的反射線都很彎曲，是兩個曲率較大的曲面的結合；兩部分反射線在連接的地方相連，但是兩邊的切矢不同，因此可以斷定，曲面的左右兩部分是C1連續的；反射線波動平穩，因此曲面本身是光順的。
圖7(c)是高亮線法對一連接曲面進行檢查的效果圖。從圖中可以看到，曲面左右兩部分的反射線都很彎曲，是兩個曲率較大的曲面的結合，而左邊的部分彎曲程度更大；兩部分反射線在連接的地方不但相連，而且兩邊的切矢也相同，因此可以斷定，曲面的左右兩部分是C2連續的；反射線波動平穩，因此曲面本身的波動性不大。
(a) 反射線法對拼接曲面的分析效果
(b) 等照度線法對拼接曲面的分析效果
(c) 高亮線法對拼接曲面的分析效果
圖7 三種方法對曲面品質分析的效果圖
在實際應用中，一般采用各種方法的不同集成來對曲面進行分析，以達到取長補短，實現最佳的檢查效果。
4 結束語
曲面品質分析是一個十分復雜的過程，要在滿足精度和使用要求的前提下，不僅檢查出曲面的各種缺陷，如拐點、臍點、平點、凹凸性和曲面波動等，還要使曲面滿足審美的要求。本文首先根據各種分析方法的計算原理對目前各種曲面分析方法進行了分類；并對各種方法的原理、計算方法進行了詳細的闡述；最后通過三個例子，對實際應用中廣泛使用的反射線法、等照度線法和高亮線法的檢查過程進行了詳細的分析，解釋了它們的分析過程和評判方法。這些曲面品質檢查方法能夠滿足實際使用過程中絕大部分的分析要求。
本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
