怎樣的路徑最短

課堂上，老師問：小貓看見魚，小狗看見骨頭，會怎樣向著食物運動?

學生：沿直線運動．

師：其中蘊含什么道理嗎?

生：兩點之間，線段最短．

師：尋求優化是人類的一種本能，整個大自然都充斥這一現象．現在讓我們起來探討路徑最短的問題．

問題1：如圖1-1，已知A、B在直線l的兩側，在直線l上求一點P，使PA+PB最小．

生(紛紛舉手)：根據“兩點之間，線段最短”，連接AB，AB與直線l的交點P就是所求的點．(如圖1-2)

師：這個問題較容易，它是解決路徑最短問題的基礎．下面我們來看平面幾何中的“將軍飲馬問題”．

問題2：相傳，古希臘亞歷山大里亞城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思未得其解的問題：從圖2-1中的A地出發，到筆直的河岸邊去飲馬，然后再去B地，怎樣走距離最短?

生1(思考一會兒)：是不是過點A作河岸的垂線，垂足為M，MA+MB最短?(如圖2-2)

師(微笑地說)：是嗎?嘗試在河岸線上找一些點比較．

生2：不對，我在河岸線上另取一點M′，測量到M′A+M′B比他提供的還要小．

師：能否把問題2轉化成問題1?在河岸線另一側找一點A′，在河岸線上任一點到A、A′的距離相等．

生1(恍然大悟)：噢，可作點A關于河岸線的對稱點A′，連接A′B，A′B與河岸線的交點為M，則從A地到M點去飲馬，再從M點到B地去距離最短．(如圖2-3)

師：我為你們而驕傲．當時海倫稍加思考，也是這樣圓滿解答了這個問題，并給出說明．如圖2-4，因為對于河岸上任何異于M點的N點都有AN+NB=A′N+NB>A′B=A′M+MB=AM+MB．(如圖2-4)此題利用軸對稱將直線同側點最短路徑問題轉化為直線異側點最短路徑問題．下面請同學們繼續探討．

問題3：如圖3-1，A、B兩村在一條河的兩邊，該河的兩岸平，要在河上造一座橋，使A、B之間行走的路線最短．問：橋址應選在什么地方?(注意從經濟角度考慮，橋必須與河岸垂直)

生(沉默一會兒，自言自語)：連接AB不行，作對稱點也不行……

師：我們一起來分析。可假設橋在某一位置，如圖3-2，從A村到橋頭的距離AE加上橋長(河的寬度)EF再加上B村到橋頭的距離BF最短，即AE+EF+FB最短，意味著什么最短?

生：由于河的寬度不變，不論修到哪里，橋是必經之路，且橋長為一定值，只要AE+FB最短．

師：很好，AE+FB最短能否轉化成直線問題，即問題1呢?

生(思考)：可平移FB至EC，轉化為在直線l₁上找一點E使EA+EC最短．(如圖3-3)

師：真棒!找這樣的點E，必須先找到這樣的點C，怎樣找呢?大家討論．

生(討論后)：連接BC．四邊形EFBC為平行四邊形，BC∥EF，BC=EE．所以從B村沿垂直于河岸l₂方向走完橋長就能找到點C．(如圖3-4)

師：真聰明!現在你們能設計橋址嗎?

生：過點B作河岸的垂線，在垂線上截取BC的長等于河寬，連AC交A村一側的河岸l₁于E點，作EF垂直于另一岸l₂于F點，則EF為架橋的位置，也就是說，AE+EF+FB是最短路徑．(如圖3－5)

師：這道題可假設河的寬度為零，將河岸l₂與B村一起向河岸l₁平移，l₂與l₁重合，相應地，點B平移至點C，這樣就轉化成問題1．(如圖3-6)

師：這節課，同學們探索的熱情很高，思維很活躍．我們通過軸對稱、平移等方法轉化成直線問題來尋求最佳路徑．“兩點之間，線段最短”真是奧妙無窮，以后我們還會探索不在同一平面上的最短路徑問題．下面的一道思考題，相信聰明的你會找到最佳的路徑．

某班舉行文藝晚會，桌子擺成兩條直線(如圖4中OA、OB)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿糖果，坐在C處的學生小明先拿橘子，再拿糖果，然后回到座位，請你幫他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短．

責任編輯／沈紅艷bbshy@e172．com