巧用生成顯精彩

一、借助生成的“差錯”，啟迪學生探因

下面是我在教學中遇到的一例：

把一個長12分米、寬5分米的長方形彩紙裁成長3分米、寬2分米的小長方形紙（不得剪拼），最多能裁多少張？

有的學生這樣列式：5-1=4（分米），（12÷3）×（4÷2）=8（張）；也有的學生這樣列式：（12×5）÷（3×2）=10（張）。

針對這些思路，我組織學生進行了討論：你認為哪種思路正確？

不少學生認為第一種方法有道理，理由是：大長方形長正好是小長方形長的整數(shù)倍，而大長方形寬卻不是小長方形寬的整數(shù)倍，裁出來有剩余。對于后面的方法，也有部分學生認為是正確的。

我組織學生進行了討論：用第一種方法裁出的張數(shù)比第二種方法裁出的少了幾張？能不能正好裁成10張？

通過畫示意圖，學生發(fā)現(xiàn)：前者只從“大長方形長是否是小長方形長的整數(shù)倍”和“大長方形寬是否是小長方形寬的整數(shù)倍”這一層關(guān)系上思考，裁的方法缺少變化；其實，裁的方法是多樣的，還可以從“大長方形長是否是小長方形寬的整數(shù)倍”等關(guān)系上進行思考，變換一下裁的方向，如下圖（單位：分米）：

先沿著長裁出4張，再沿著長裁出6張，沒有剩余。

因此，用大長方形面積除以小長方形面積是正確的。

為了了解學生是否真正理解，我將題目中的數(shù)據(jù)進行改動，長不變，寬是8.5分米。

有的學生仿照上題用大長方形面積除以小長方形面積，又生成了新的錯誤：（12×8.5）÷（3×2）=17（張）。

能不能裁出17張呢？我指導學生畫圖思考，并進行小組討論。這時學生發(fā)現(xiàn)大長方形的寬是小數(shù)，而小長方形的長、寬都是整數(shù)，無論怎樣變換裁的方向，不可能出現(xiàn)整數(shù)倍關(guān)系，總有剩余，所以用大長方形面積除以小長方形面積是錯誤的。最多能裁：

8.5-0.5=8（分米） （12÷3）×（8÷2）=16（張）

接著，我又讓學生進一步思考：什么情況下可以直接用大長方形的面積除以小長方形的面積？

教師巧妙利用了兩種差錯，啟發(fā)學生對錯誤成因作了深層分析，學生解決問題的思路更加明晰，思維的敏捷性、深刻性得到培養(yǎng)。

二、解決生成的“問題”，促進能力發(fā)展

在一節(jié)數(shù)學思維訓練課上，我編擬了這樣一題：

如圖A：大正方形邊長是6厘米，小正方形邊長是4厘米，求陰影甲的面積比陰影乙的面積大多少平方厘米？

不少學生列成：6×6-（6+4）×6÷2

唯有一名學生提出這樣的問題：我覺得還可以用大正方形的邊長乘大、小正方形邊長的差再除以2，即6×（6-4）÷2，這種方法是否有一定的道理？

我為學生提出了這樣的猜想而感到興奮，針對學生提出的問題，我從數(shù)形結(jié)合的角度進行了巧妙點撥：能不能在圖中構(gòu)造一個新的圖形，與兩條邊的差有一定的聯(lián)系？學生進行了熱烈的討論，他們在紙上畫出了不少圖示，真夠豐富的：

圖B構(gòu)造出了一個新的梯形，丙的面積等于乙的面積，面積正好相當于陰影甲的面積比陰影乙的面積大的部分。梯形上底與下底的和正好等于大正方形的邊長，梯形高正好相當于大、小正方形邊長的差，所以可列式為：6×（6-4）÷2。

有的小組利用乘法分配律進行了推理，如圖C:兩個陰影部分同時加上空白三角形的面積，求陰影面積的差就是用大正方形面積的一半減去小正方形面積的一半：

6×6÷2-4×6÷2=6×（6-4）÷2

當問題拋給學生后，學生的思維被激活，也使這一問題迎刃而解，體現(xiàn)了必要的研究價值，促進了學生解決問題能力的發(fā)展。

三、肯定生成的“方法”，激勵思維創(chuàng)新

學生在解決問題的過程中，有時會生成一些新的方法，對于這類方法，只要合理、正確，就要加以肯定。

我在教學中碰到過這樣一例：

有的學生更為疑惑：2從哪兒來的？我也沒想到她竟列出了這樣的方程！我讓她將思路說一說，原來她是這樣想的：圓柱與圓錐等底等高時，他們的體積和是體積差的2倍。

這種方法確實很有道理。我不僅加以肯定，而且鼓勵同學們學習她那種敢于求異的精神！

責任編輯 楊博

注:“本文中所涉及到的圖表、公式注解等形式請以PDF格式閱讀原文。”