縱向規(guī)則波中參數(shù)橫搖的數(shù)值模擬

付麗坤，蔣志鵬

（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200030）

參數(shù)橫搖是阻尼較小的船在頂浪和接近頂浪的情況下，遭遇一定頻率的波浪時，伴隨著顯著的縱搖、升沉運動，船舶將在短時間內(nèi)產(chǎn)生很大橫搖角的現(xiàn)象［1］。發(fā)生參數(shù)橫搖的條件包括：橫搖周期約為波浪周期的兩倍，波長近似船長，波高超過定值，橫搖阻尼較低。

參數(shù)橫搖的研究工作在20世紀(jì)30年代已經(jīng)開始，當(dāng)時人們主要基于簡化的數(shù)學(xué)模型對方程進行解析解研究，目的僅限于定性分析［2］。1998年10月集裝箱船APL CHINA號發(fā)生參數(shù)橫搖事故后，研究重點轉(zhuǎn)向了設(shè)計階段對參數(shù)橫搖的實際預(yù)報，以避免運行中船舶傾覆的危險。

1 參數(shù)橫搖研究的幾種經(jīng)典模型

在頂浪或隨浪中，當(dāng)波峰、波谷經(jīng)過全船時，船體周圍的壓力不斷變化，這種壓力差引起垂蕩，結(jié)果不再是常數(shù)，而是變化的。取正弦波的簡單情況，在頂浪情況下方程為：

式中：φ——船舶橫搖角位移；

a——橫搖的虛質(zhì)量慣性矩系數(shù)；

b——阻尼力矩系數(shù)。

上述馬休（Mathieu）方程［3］是研究參數(shù)橫搖的基礎(chǔ)，雖然不同的學(xué)者采用了不同的數(shù)學(xué)模型，但是基本的理論都來源于Mathieu方程。馬休方程的特點是：在無阻尼情況下，當(dāng)頻率為某些值時，解趨近于無窮大。這些頻率所對應(yīng)的周期值為：是船的固有周期。

基于經(jīng)典的馬休方程理論，目前已有多種參數(shù)橫搖的數(shù)學(xué)模型，均可有效模擬參數(shù)橫搖幅值。

Alberto Francescutto、Gabriele Bulian 和Claudio Lugni［4-6］提出了一種簡潔的數(shù)學(xué)模型——1.5自由度的橫搖方程：

式中：d（φ）——阻尼方程；

ω0——靜水中的橫搖固有周期；

（φ，xc）——波浪中的復(fù)原力臂。

對于確定的簡諧波，可以采用船模試驗和靜水力計算的方法確定橫搖方程中的未知項。

Marcelo A.S.NEVES、Nelson A.PéREZ［7］等人提出了升沉-橫搖-縱搖三種運動完全耦合的參數(shù)橫搖模型：

式中：Jx——為橫搖慣性矩系數(shù)；

z、θ——是升沉和縱搖的線性響應(yīng)。

η代表波浪，有關(guān)參數(shù)激勵的系數(shù)K都與水線面幾何性質(zhì)的微分有關(guān)，阻尼系數(shù)Kφ·可以由半經(jīng)驗程序得到或者由橫搖衰減試驗得出，水動力系數(shù)利用三維平板的方法來確定。

S.Ribeiro e Silva、T.Santos和 C.Guedes Soaves［8］考慮了甲板入水和船舶復(fù)原力矩非線性項的影響，在時域內(nèi)運用了非線性的五自由度（橫蕩、升沉、橫搖、縱搖、首搖）船舶運動的數(shù)值模型：

式中：M44+A44——橫搖慣性矩系數(shù)；

B441——線性阻尼系數(shù)；

B442——二次方阻尼系數(shù)，可以通過船模自由衰減試驗獲得；

C44——復(fù)原力矩系數(shù)。

橫搖方程中的未知項可以采用船模試驗和靜水力計算的方法確定［9～10］。

另外，Jerzy Matusiak［11］運 用 了 二 階 方 法（two-stage approach）處理參數(shù)橫搖的非線性模型問題。Naoya Umeda和 Hirotada Hashimoto［12］等人認識到傅汝德-克雷洛夫方法在模擬參數(shù)橫搖時會過高估計波浪對橫搖復(fù)原力矩的影響，也會高估參數(shù)橫搖導(dǎo)致船舶傾覆的危險。

2 基于ITTC模型的參數(shù)橫搖數(shù)值模擬

ITTC對頂浪情況下規(guī)則波中船舶的參數(shù)橫搖方程提出了建議：

式中：ζ——橫搖阻尼比；

C3——復(fù)原力矩系數(shù)；

ωz——遭遇頻率；

h——GM的相對變化值。

方程中的橫搖阻尼系數(shù)可采用船模試驗或半經(jīng)驗公式確定。Subrata Chakrabarti［13］提出總阻尼由等效線性阻尼項來估計：

式中：Beq——等效線性阻尼系數(shù)。

阻尼系數(shù)成分如下：Bf是船體摩擦阻尼，Be是船體漩渦阻尼，Bw是自由表面興波阻尼，BL是升力阻尼，BBK是舭龍骨阻尼。

在無船速和有船速兩種情況下公式（7）中各成分都有相應(yīng)的估算表達式。

波浪中復(fù)原力臂的變化可采用壓力積分法［9］、快速模擬法［14］等多種方法確定。快速模擬法將船體剖面船寬，相對于龍骨線的剖面慣性矩和剖面面積因瞬時水線的變化用平均吃水T（x）處的泰勒級數(shù)來表示：

式中：z——表示剖面水線變化的變量。

用r（x，t）（船相對于波浪表面的相對運動）來代替變量z，它可以由升沉和縱搖的傳遞函數(shù)［15］求得。最后，在縱向規(guī)則波或不規(guī)則波中船舶的GM變化可表示如下：

其中：KG（x）——剖面重心，

KG（x）＝KG+x·（η5-atrim）

η5——波浪引起的縱搖角；

atrim——靜水中的縱傾角。

3 實例分析結(jié)果

將基于ITTC數(shù)學(xué)模型的參數(shù)橫搖預(yù)報方法應(yīng)用于一艘滾裝船模型，參數(shù)橫搖的實驗在意大利INSEAN船模實驗室完成［5］。船模主要參數(shù)參考表1。

表1 滾裝船模型主要參數(shù)

數(shù)值模擬和水池試驗均針對三種規(guī)則波：波陡Sw＝，波長和船長比為0.750，0.932，1.000。在每一種規(guī)則波條件下，以若干航速點進行模擬和試驗，同時采用ITTC解析公式進行驗證，對比結(jié)果分別列于圖1中。在數(shù)值模擬時，采用四階／五階龍格-庫塔算法，初始橫搖角取為2°，給定的初始橫搖角并不影響后期的諧搖運動幅值，只是縮短了發(fā)生參數(shù)橫搖運動的時間［11］。

圖1 波陡，波長船長比0.75的橫搖角

圖2 波陡，波長船長比0.932的橫搖角

圖3 波陡，波長船長比1的橫搖角

4 結(jié)論

從數(shù)值模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的對比可以看出：本文所采用的數(shù)學(xué)模型和算法對于規(guī)則波中參數(shù)橫搖的預(yù)報是準(zhǔn)確有效的。

由于此方法是基于傅汝德-克雷洛夫假設(shè)的，高估了GM變化以及最終的橫搖幅值，驗證了最近Umeda等人的結(jié)論。

與其他方法比較，本文方法應(yīng)用簡單，計算快速。在設(shè)計初期，只需要知道船舶的主要參數(shù)和型線即可模擬參數(shù)橫搖，避免諧搖現(xiàn)象的發(fā)生。但是當(dāng)較大時或者波高較高時，預(yù)報結(jié)果比試驗數(shù)據(jù)偏高，預(yù)報準(zhǔn)確性仍有待提高。

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