離離原上草

唐朝白居易在16歲時就寫下了《賦得古原草送別》這首詩，前四句是：“離離原上草，一歲一枯榮；野火燒不盡，春風吹又生”。他歌頌的是那堅韌不拔的野草，具有無窮旺盛的生命力。然而每年我們接觸到當年的公元年份趣題時，不免也會浮現出這樣的感慨。

什么是公元年份題？原來每年的公元數都不相同。有的是質數、有的是合數、還能分成奇數或偶數，于是數學競賽就喜歡用它們來命題，每年推陳出新，舊貌換新顏。其中不乏絕妙的好題，值得賞玩。這些題也像野草，具有極強的生命力，生生不息，永無止境。

今年是2007年，那么能用2007來出題嗎？答案是肯定的。

例如可以問：“能否從某個自然數中去減掉它的全部數字，從而使結果等于2007？如果可能，那么會有多少個答案？”

不難看出這種數起碼是四位數。不妨設它為:

1000a+100b+10c+d

在減掉它擁有的四個數字a，b，c，d后，就能得到：

1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)

=999a+99b+9c=9(111a+11b+c)

據題意，可列出方程999a+99b+9c=2007，化簡后是：

111a+11b+c=223

顯然a比1要大，但比3要小，所以a只能等于2。接著就有11b+c=1。由于b和c都是數字，所以只能有b=0與c=1。但是d呢？原來它竟然能等于任何數字！敢情從2010直到2019，不管你取那個數都行。不妨就取2018吧，這時就有2018-(2+0+1+8)=2007。

還有人提出：是否有這樣的自然數，它既是2007的倍數，而它全部數字的總和也等于2007。其實我們只要注意2007=3×3×223，于是200720072007……2007（這里的2007被重復了223次）就是能滿足題目要求的，你想，223個(2+7)不就是2007了嗎？本題妙趣橫生，令人叫絕。

下面我們再來介紹1×2×3×4×……×2006×2007這個數，它叫階乘數，用2007！來表示。請問這個數能被2007除盡嗎？如果連續用2007去除這個數，那么能整除多少次？

由于2007分解質因數是3×3×223，所以如果讓2007！也來分解質因數時，因數3就會出現極多的次數，其頻率大大高于223。所以我們只需考慮在1×2×3×……×2006×2007中能出現幾個223的倍數就可以了。它們當然就是223、446、669、……直至2007為止，總數只有9個。所以2007！肯定能被20079整除，但無法被200710除盡。

以上介紹的是幾則2007的公元題，盡管歲月流逝，這類題同樣是一歲一枯榮，真所謂“公元年代題，歲歲放異彩；待到風流盡，春風吹又生”呢。