元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為研究

摘要：基于元胞自動(dòng)機(jī)演化行為研究與仿真系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)的一、二、三維演化行為的研究，從統(tǒng)計(jì)和漸進(jìn)的角度對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)行了分類，將元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)圖與沃爾弗拉姆對(duì)于元胞自動(dòng)機(jī)的分類對(duì)應(yīng)起來(lái)研究。這些從不同視角得到的結(jié)果有助于對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為進(jìn)行深入研究；但從統(tǒng)計(jì)和漸進(jìn)的角度對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)行分類是否具有普適性，是需要進(jìn)一步研究探討的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：元胞自動(dòng)機(jī)； 演化行為； 統(tǒng)計(jì)； 漸進(jìn)； 復(fù)雜系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：TP391.41文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001－3695(2007)08－0038－04

元胞自動(dòng)機(jī)是21世紀(jì)科學(xué)研究中一個(gè)異常活躍的前沿領(lǐng)域，是復(fù)雜性科學(xué)的核心技術(shù)之一。元胞自動(dòng)機(jī)是一種時(shí)間、空間、狀態(tài)均離散，具有時(shí)空計(jì)算特征的網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)模型，是一個(gè)集數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)等多學(xué)科交叉的邊緣領(lǐng)域，有廣泛應(yīng)用前景的研究方法[1]。當(dāng)前，其應(yīng)用領(lǐng)域廣泛涉及到社會(huì)學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、地理、環(huán)境、軍事學(xué)等，并取得了豐碩成果，如用于腫瘤細(xì)胞的增長(zhǎng)機(jī)理、人類大腦的機(jī)理探索、航天軍事作戰(zhàn)模擬以及地理信息系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)等。

但是，元胞自動(dòng)機(jī)作為一種全新的方法，目前的研究仍然不完整。無(wú)論是對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)本身的演化行為及相關(guān)理論的研究，還是應(yīng)用元胞自動(dòng)機(jī)機(jī)理來(lái)研究其他學(xué)科，都成為研究的前沿與熱點(diǎn)[2]。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)也有一些相關(guān)的應(yīng)用性研究，但要么停留在理論上，要么僅僅是某方面的應(yīng)用仿真[3]。因此，對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為進(jìn)行研究與仿真，并設(shè)計(jì)一個(gè)元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為仿真與應(yīng)用系統(tǒng)是非常有必要的。本文在此基礎(chǔ)上，開(kāi)發(fā)出了元胞自動(dòng)機(jī)演化行為研究與仿真系統(tǒng)軟件，對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為機(jī)理進(jìn)行了深刻刻畫(huà)。該軟件可廣泛地應(yīng)用于社會(huì)學(xué)、生物學(xué)、信息科學(xué)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域，將為這些學(xué)科的科學(xué)研究提供一種全新的研究技術(shù)。

1元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為統(tǒng)計(jì)特征

1．1 一維元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為

元胞自動(dòng)機(jī)是探討復(fù)雜系統(tǒng)中局部—整體互動(dòng)關(guān)系最簡(jiǎn)單的模式，可視為演化分析的基本計(jì)算模型。通常用兩種方法來(lái)了解元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為，即計(jì)算機(jī)仿真及數(shù)學(xué)推演。元胞自動(dòng)機(jī)體現(xiàn)了整體辯證思想：用簡(jiǎn)單的局域相互作用表現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)的整體行為及其時(shí)間演化。它有三個(gè)顯著的特點(diǎn)，即大規(guī)模同步并行、局域相互作用和簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)。這些特點(diǎn)使其能高效地模擬許多復(fù)雜現(xiàn)象[5，6]。由于在元胞自動(dòng)機(jī)中選擇不同的規(guī)則能產(chǎn)生各種不同的演化模式，通過(guò)對(duì)其演化規(guī)則和演化行為的研究來(lái)探索復(fù)雜系統(tǒng)的演化過(guò)程。

沃爾弗拉姆（S. Wolfram）在詳細(xì)分析研究了一維元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為，并在大量計(jì)算機(jī)仿真的基礎(chǔ)上，將所有元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為歸納為四類[1]：

a)Ⅰ 平穩(wěn)型（homogeneous）。自任何初始狀態(tài)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間演化和若干步運(yùn)算后便停留在一個(gè)固定的狀態(tài)。

b)Ⅱ 周期型(periodic)。經(jīng)過(guò)一定時(shí)間演化后，在幾種狀態(tài)之間周期循環(huán)。

c)Ⅲ 混沌型(chaos)。自任何初始狀態(tài)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間演化后，處于一種完全無(wú)序隨機(jī)的狀態(tài)，幾乎找不到任何規(guī)律。

d)Ⅳ 復(fù)雜型(edge of chaos)。在演化過(guò)程中可能產(chǎn)生復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)既不是完全的隨機(jī)混亂，又沒(méi)有固定的周期和狀態(tài)。

在元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為研究與仿真系統(tǒng)中觀察分析元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為，如圖1（a)~（d)所示。

(a)132號(hào)規(guī)則平穩(wěn)型演化行為(b）208號(hào)規(guī)則周期型演化行為

(c）203號(hào)規(guī)則混沌型演化行為(d)Chaotic gliders復(fù)雜型演化行為

在一維最簡(jiǎn)元胞自動(dòng)機(jī)的情況下（狀態(tài)數(shù)是2，半徑是1），從圖1(a）觀察132號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)變成了一條豎線，表明132號(hào)規(guī)則的元胞自動(dòng)機(jī)被吸引到了一個(gè)固定的狀態(tài)。

圖1(b）中208號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)是若干條斜線。由于邊界是循環(huán)的，可以預(yù)言，經(jīng)過(guò)若干個(gè)時(shí)間周期的運(yùn)行后，元胞自動(dòng)機(jī)將回復(fù)到原來(lái)的狀態(tài)，這樣的元胞自動(dòng)機(jī)是循環(huán)的。兩個(gè)相同狀態(tài)之間經(jīng)歷的時(shí)間步長(zhǎng)為這種元胞自動(dòng)機(jī)的周期。

圖1(c)中203號(hào)元胞自動(dòng)機(jī)既沒(méi)有固定的周期也沒(méi)有被吸引到一個(gè)點(diǎn)，它們處于一種混亂的、無(wú)序的狀態(tài)，稱這種狀態(tài)為混沌狀態(tài)。通過(guò)反復(fù)運(yùn)行最簡(jiǎn)元胞自動(dòng)機(jī)程序可見(jiàn)，所有的256種元胞自動(dòng)機(jī)都能被歸為固定值、周期循環(huán)、混沌三類。

是不是所有元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為只有這三種類型呢？考慮稍微復(fù)雜一點(diǎn)的情況，狀態(tài)數(shù)為2，鄰居半徑為2的一維元胞自動(dòng)機(jī)的情況。在這樣的元胞自動(dòng)機(jī)中，除了上面敘述的三種類別依然存在外，還發(fā)現(xiàn)了另一種類型，如圖1(d)所示。其運(yùn)行圖好像一棵倒掛的葡萄藤。這種葡萄藤是一種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，它既不等同于完全的隨機(jī)，又沒(méi)有固定的循環(huán)跡象。這種復(fù)雜結(jié)構(gòu)正是筆者感興趣的一種類型。因?yàn)樗葲](méi)有被吸引到固定的點(diǎn)或周期狀態(tài)而變得死板，又沒(méi)有因?yàn)殡S機(jī)而過(guò)于活躍；它既保證了一定的流動(dòng)活性，同時(shí)又能產(chǎn)生具有記憶性的結(jié)構(gòu)。該運(yùn)行情況顯然不同于前面敘述的三種類別，稱其為復(fù)雜型。幾乎所有的一維元胞自動(dòng)機(jī)運(yùn)行的演化行為都能歸到沃爾弗拉姆所劃分的四類之中。

經(jīng)過(guò)沃爾弗拉姆研究，發(fā)現(xiàn)可用參數(shù)λ來(lái)劃分元胞自動(dòng)機(jī)的類型。定義參數(shù)

根據(jù)參數(shù)λ的取值不同，分析元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為：

a)當(dāng)λ=0~0.1，所有的元胞被吸引到一種固定的狀態(tài)，即為第一類元胞自動(dòng)機(jī)。

b)λ=0.2附近，系統(tǒng)在一些固定狀態(tài)之間周期循環(huán)，這相當(dāng)于第二類元胞自動(dòng)機(jī)。λ=0．3的元胞自動(dòng)機(jī)相比λ=0.2的在開(kāi)始時(shí)具有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。

c)λ在0.3~0.6時(shí)，會(huì)出現(xiàn)相當(dāng)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。這些結(jié)構(gòu)既不屬于固定周期或固定值，也不屬于完全的隨機(jī)。因此這些元胞自動(dòng)機(jī)屬于第四類即復(fù)雜型。隨著λ的增長(zhǎng)，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的維持時(shí)間會(huì)變得越來(lái)越大。

d)λ≥0.6時(shí)，復(fù)雜結(jié)構(gòu)消失，系統(tǒng)將被吸引到一種完全隨機(jī)的混沌狀態(tài)。

綜上所述，隨著λ的增大，元胞自動(dòng)機(jī)展現(xiàn)出來(lái)的結(jié)構(gòu)將逐漸變得復(fù)雜。當(dāng)λ介于一個(gè)中間值時(shí)，演化行為會(huì)達(dá)到最大的復(fù)雜性；隨著λ的進(jìn)一步增大，復(fù)雜結(jié)構(gòu)會(huì)逐漸被隨機(jī)結(jié)構(gòu)所取代。

根據(jù)λ的連續(xù)變化，能夠得到四種元胞自動(dòng)機(jī)之間的過(guò)渡轉(zhuǎn)換形態(tài)：

元胞自動(dòng)機(jī)的第Ⅲ類型是完全隨機(jī)、無(wú)序，這類系統(tǒng)過(guò)于松散，不可能產(chǎn)生有價(jià)值的結(jié)構(gòu)。第Ⅳ類元胞自動(dòng)機(jī)剛好存在于從有序到無(wú)序之間一個(gè)狹小的空間中。在這里，復(fù)雜結(jié)構(gòu)形成了神奇的王國(guó)，會(huì)不斷地看到若干局部結(jié)合成有趣的結(jié)構(gòu)與秩序，但同時(shí)這些結(jié)構(gòu)和秩序永遠(yuǎn)不會(huì)被凍結(jié)，它們偶爾會(huì)被破壞，但新的結(jié)構(gòu)馬上又會(huì)生成。這樣的狀態(tài)被人工生命之父郎頓稱為混沌與秩序的邊緣。科學(xué)家們已經(jīng)對(duì)有序、隨機(jī)的性質(zhì)有了清楚的研究，然而對(duì)于從有序到無(wú)序轉(zhuǎn)變的過(guò)程則仍然沒(méi)有足夠認(rèn)識(shí)。原因在于這樣的狀態(tài)具有太多復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，很難預(yù)言它的具體性質(zhì)。第Ⅳ類元胞自動(dòng)機(jī)也是這樣，下一時(shí)刻元胞自動(dòng)機(jī)會(huì)是怎樣的情況？除了按照其物理規(guī)律運(yùn)行外別無(wú)他法，因?yàn)閺?fù)雜的元胞自動(dòng)機(jī)的行為不能預(yù)言。

復(fù)雜的結(jié)構(gòu)誕生于混沌的邊緣。把混沌邊緣的概念推廣，也就是把秩序、周期這些動(dòng)態(tài)情況看做是一種凝固的吸引力，它保證了系統(tǒng)能夠固定于某一種結(jié)構(gòu)；另一方面，隨機(jī)、混沌形成了另一種張力，使得系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定，但同時(shí)為系統(tǒng)提供了創(chuàng)新的動(dòng)力。僅僅當(dāng)這兩種力處于一種恰到好處的平衡態(tài)時(shí)，也就是系統(tǒng)處于混沌的邊緣條件下，該系統(tǒng)才會(huì)更加有活力，并且演變得越來(lái)越復(fù)雜。

1．2 二維及多維元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為

通過(guò)前面對(duì)一維元胞自動(dòng)機(jī)機(jī)理的分析，可見(jiàn)元胞自動(dòng)機(jī)是通過(guò)簡(jiǎn)單的規(guī)則進(jìn)行演化，產(chǎn)生復(fù)雜的行為，并在大量的計(jì)算機(jī)仿真基礎(chǔ)上，將所有元胞自動(dòng)機(jī)的演化行為歸納為平穩(wěn)型、周期型、混沌型和復(fù)雜型四大類。

對(duì)最簡(jiǎn)單的初等元胞自動(dòng)機(jī)的分類尚且如此困難，而二維以至三維的規(guī)則更多，演化行為更為復(fù)雜，對(duì)二維或三維元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)分類就更是難以進(jìn)行。目前，國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有相關(guān)的較好的研究成果。下面將對(duì)二、三維元胞自動(dòng)機(jī)的分類從統(tǒng)計(jì)和漸進(jìn)的角度進(jìn)行探索。

1）統(tǒng)計(jì)漸進(jìn)分類的原理

在理論上，元胞自動(dòng)機(jī)的演化空間通常在各維上是無(wú)限延展的，這有利于在理論上的推理和研究。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，無(wú)法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)這一理想條件，因此，需要定義不同的邊界條件。歸納起來(lái)，邊界條件主要有三種類型，即周期型、反射型和定值型。在應(yīng)用中，這三種邊界條件為更加客觀、自然地模擬實(shí)際現(xiàn)象，還有可能采用隨機(jī)型，即在邊界實(shí)時(shí)產(chǎn)生隨機(jī)值。

a)周期型(periodic boundary)是指相對(duì)邊界連接起來(lái)的元胞空間。對(duì)于一維空間，元胞空間表現(xiàn)為一個(gè)首尾相接的圈；對(duì)于二維空間，上下相接、左右相接，形成一個(gè)拓?fù)鋱A環(huán)面(torus)。周期型空間與無(wú)限空間最為接近，因而在理論探討時(shí)，常以此類空間型作為試驗(yàn)。本文以周期型邊界為前提來(lái)進(jìn)行討論。

b)反射型(reflective boundary)是指在邊界外，鄰居的元胞狀態(tài)是以邊界為軸的鏡面反射。

c)定值型(constant boundary)是指所有邊界外，元胞均取某一固定常量，如0、1等。

d)隨機(jī)型（random boundary）是指邊界元胞取實(shí)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)值。

在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)漸進(jìn)分類時(shí)有三個(gè)前提：

邊界條件是周期型；

元胞狀態(tài)是兩狀態(tài)的，即生和死；

初始條件是一個(gè)中心元胞狀態(tài)為生，其他元胞狀態(tài)為死。

在上述前提下，某一規(guī)則的元胞自動(dòng)機(jī)演化到一定步數(shù)后，若其生的元胞比例趨于穩(wěn)定，則為穩(wěn)定型；若出現(xiàn)周期性的變化，則為周期型；若無(wú)明顯規(guī)律，則為復(fù)雜型。

可以看到，這種分類方法是根據(jù)元胞演化過(guò)程中的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)來(lái)分類的，并且是一種漸進(jìn)（極限）情況下的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。在具體判斷某一規(guī)則是否為穩(wěn)定型時(shí)，本文使用元胞自動(dòng)機(jī)演化行為仿真系統(tǒng)。

2）二維演化行為的漸進(jìn)統(tǒng)計(jì)分析

(1)穩(wěn)定型

某一規(guī)則是穩(wěn)定型是指當(dāng)其初始條件為一個(gè)中心元胞狀態(tài)是生時(shí)，在經(jīng)過(guò)有限步演化后，生的元胞比率趨于平穩(wěn)（或不變）。

其中：Si表示元胞在i時(shí)刻的狀態(tài)；Si+1表示元胞在i+1時(shí)刻即下一時(shí)刻的狀態(tài)； f(4)中的4表示鄰居類型為4鄰胞，其取值表示鄰居狀態(tài)為生的元胞數(shù)目之和。圖3是演化到第26步時(shí)的行為，可以看到明顯的自相似現(xiàn)象。當(dāng)演化到第64步時(shí)就已經(jīng)穩(wěn)定（不變）了，這時(shí)元胞為生的比例為λ=0．635 2，在沃爾弗拉姆的分類中，表示復(fù)雜型演化行為。

圖2自相似圖形的動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)圖圖3演化的自相似圖形

從演化行為的仿真例子可以看到穩(wěn)定型的兩種類型：a)演化到一定步數(shù)后生的元胞比例恒為某一個(gè)常數(shù)不變；b)演化到一定步數(shù)后趨于穩(wěn)定，但不是常數(shù)，有一定的上下波動(dòng)，但波動(dòng)幅度非常小。

（2）周期型

某一規(guī)則是周期型是指當(dāng)其初始條件為中心一個(gè)元胞狀態(tài)是生時(shí)，在經(jīng)過(guò)有限步演化后，生的元胞比率趨于某一周期性的變化。

圖5是其演化到第10步和15步時(shí)的圖像，其周期為57，這個(gè)規(guī)則的圖像非常奇特有趣。對(duì)應(yīng)地，在沃爾弗拉姆的分類中，表示穩(wěn)定型演化行為。

從演化行為的仿真例子可以看到周期型的兩種類型：a)演化到一定步數(shù)后，生的元胞比例是一種簡(jiǎn)單周期，即周期為幾類圖案交替出現(xiàn)；b)演化到一定步數(shù)后也出現(xiàn)周期，但周期較長(zhǎng)，且每一個(gè)周期內(nèi)部還存在小周期（部分周期）。

（3）復(fù)雜型

不屬于以上兩種類型的統(tǒng)稱為復(fù)雜型，即其動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)圖是無(wú)規(guī)則波動(dòng)的曲線。

圖7是演化到第154步和155步時(shí)的圖像。這類情形僅從統(tǒng)計(jì)圖上來(lái)看還不是太復(fù)雜，雖然波動(dòng)幅度稍微有點(diǎn)大，但還算是比較穩(wěn)定。由于其演化圖非常復(fù)雜，沒(méi)有什么規(guī)律，歸為復(fù)雜類。對(duì)應(yīng)的λ=0.468，在沃爾弗拉姆的分類中，表示復(fù)雜型演化行為。

3）三維演化行為的漸進(jìn)統(tǒng)計(jì)分類探索

（1）三維元胞自動(dòng)機(jī)統(tǒng)計(jì)漸進(jìn)分類的原理

類似于二維元胞自動(dòng)機(jī)統(tǒng)計(jì)漸進(jìn)分類的原理，可以給出三維元胞自動(dòng)機(jī)統(tǒng)計(jì)漸進(jìn)分類的原理。三個(gè)前提是：

邊界條件是定值型；

元胞狀態(tài)是兩狀態(tài)的，即生和死；

初始條件是各元胞狀態(tài)以0.5的概率為生。

與二維元胞自動(dòng)機(jī)統(tǒng)計(jì)漸進(jìn)分類的前提相比：a）條件變成了定值型。這是因?yàn)橹芷谛偷娜S邊界在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)比較困難（包括算法和運(yùn)算速度兩個(gè)困難），但這個(gè)對(duì)分類來(lái)說(shuō)并沒(méi)有太大影響。b）初始條件變成了隨機(jī)型的初始條件。這個(gè)對(duì)于對(duì)初始條件特別敏感的規(guī)則來(lái)說(shuō)影響較大，但可以通過(guò)多次重復(fù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)消除影響。

在上述前提下，某一規(guī)則的元胞自動(dòng)機(jī)演化到一定步數(shù)后，若其生的元胞比例趨于穩(wěn)定，則為穩(wěn)定型；若出現(xiàn)周期性的變化，則為周期型；若無(wú)明顯規(guī)律，則為復(fù)雜型。

（2）三維演化行為的漸進(jìn)統(tǒng)計(jì)分析

①穩(wěn)定型演化規(guī)則

2結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，沃爾弗拉姆對(duì)于元胞自動(dòng)機(jī)的分類以及混沌邊緣的概念，不僅僅適用于一維元胞自動(dòng)機(jī)，對(duì)于二維甚至多維元胞自動(dòng)機(jī)仍然適用。本文從統(tǒng)計(jì)和漸進(jìn)的角度對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)行了分類，從實(shí)際仿真情況來(lái)看，大多數(shù)屬于穩(wěn)定型和周期型，復(fù)雜型比較少。在實(shí)際仿真時(shí)發(fā)現(xiàn)，在統(tǒng)計(jì)上有規(guī)律的在其演化行為上可能表現(xiàn)得非常凌亂和無(wú)規(guī)律；而有些在演化圖形上非常有規(guī)律的，在統(tǒng)計(jì)上局部卻看不到什么規(guī)律，但從長(zhǎng)期來(lái)看，卻是周期的或是穩(wěn)定的。可以認(rèn)為這些是局部復(fù)雜的，但全局服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

本文對(duì)于二維和三維元胞自動(dòng)機(jī)分類的探討只是初步的。本文最有意義的工作是開(kāi)發(fā)出了一個(gè)完整的元胞自動(dòng)機(jī)演化行為研究與仿真系統(tǒng)。元胞自動(dòng)機(jī)演化行為的仿真是進(jìn)行元胞自動(dòng)機(jī)演化行為研究及應(yīng)用的必要手段，本系統(tǒng)可以提供一個(gè)很好的平臺(tái)。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”